一、 定义：

　，这一公式表示的定理叫做二项式定理，其中公式右边的多项式叫做的二项展开式；上述二项展开式中各项的系数 叫做二项式系数，第项叫做二项展开式的通项，用表示；叫做二项展开式的通项公式．

二、 二项展开式的特点与功能

1. 二项展开式的特点

项数：二项展开式共（二项式的指数+1）项；

指数：二项展开式各项的第一字母依次降幂（其幂指数等于相应二项式系数的下标与上标的差），第二字母依次升幂（其幂指数等于二项式系数的上标），并且每一项中两个字母的系数之和均等于二项式的指数；

系数：各项的二项式系数下标等于二项式指数；上标等于该项的项数减去1（或等于第二字母的幂指数；

2. 二项展开式的功能

注意到二项展开式的各项均含有不同的组合数，若赋予a，b不同的取值，则二项式展开式演变成一个组合恒等式．因此，揭示二项式定理的恒等式为组合恒等式的“母函数”，它是解决组合多项式问题的原始依据．

又注意到在的二项展开式中，若将各项中组合数以外的因子视为这一组合数的系数，则易见展开式中各组合数的系数依次成等比数列．因此，解决组合数的系数依次成等比数列的求值或证明问题，二项式公式也是不可或缺的理论依据．

三、 二项式系数的性质

1. 对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等．

2. 单调性：二项式系数（数列）在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间（项）取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数, 相等，且最大．

3. 组合总数公式： 　即二项展开式中各项的二项式系数之和等于．

4. “一分为二”的考察：二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即．

例题练习

1. 二项式定理及其展开式

【例1】 求的展开式．

【解析】=

=+5+10x+10+5+

【例2】 0．9915的近似值（精确到0.001）是  

【解析】0．9915=(1-0．009)5=1-5×0．009+10×(0.009)2 …

≈1-0.045+0．00081≈0.956　

【例3】 求证：（1）能被整除；

【证明】为利用二项式定理，对中的底数n变形为两数之和（或差）．

　 　∵，且， ∴

　 　于是有

　　(※)

注意到，且，故　

因此由(※)式知能被整除；

2. 二项式系数

【例4】 在的展开式中的系数是（　　 ）

　　A． –14　　　　　　 B． 14　　　　 C． –28　　　　　　 D． 28

【分析】对于多项展开式中某一项的总数的寻求，“化整为零”为基本方法之一， = ，又的展开式中的系数为，的系数为．

∴ 原展开式中的系数为，应选B．

【例5】 设则的展开式中的系数不可能是（　　 ）

　　A． 10　　　 B． 40　　 　 C． 50　　　　D． 80

【分析】立足于二项展开式的通项公式：

　　∴ 当k=1时，r=4，的系数为；

　　当k=2时，r=3，的系数为；

　　当k=3时，r=2，的系数为；

　　当k=4时，r=1，的系数为．

　　∴ 综上可知应选C．

【点评】关于二项展开式中某一项的问题，一般要利用二项展开式的通项公式．

【例6】 在的展开式中，的项的系数为（　　 ）

A． 74　　　　 B． 121　　　　 C． –74　　　　 D． –121

【分析】考虑求和转化，原式

　　又的展开式中系数为，的展开式中系数为

　　∴ 原展开式中项的系数为，应选D．

【例7】 已知的展开式中奇数项的二项式系数之和等于512，试求：

　　 （1）二项式系数最大的项；　　（2）系数的绝对值最大的项；　　（3）系数最大的项．

【解析】由题意得

∴

∴二项展开式的通项公式为　　

（1）∵，

∴二项展开式共11项

∴二项展开式的中间一项即第六项的二项式系数最大

又

∴所求二项式系数最大的项为

（2）设第r+1项系数的绝对值最大，

　则有

解之得，注意到，故得r=3

∴ 第4项系数的绝对值最大

　∴ 所求系数绝对值最大的项为

（3）由通项公式的特征可知，系数最大的项应在项数为奇数的项内，即在取偶数的各项内

又取偶数0，2，4，6，8，10时，相应的各项系数分别为, , , , ,．

　　即分别为1， ， ， ，,

　　由此可知，系数最大的项为第5项(r=4)，即

点评：

　　（1）解决二项式问题要注意区分两种系数：一种是某一项的系数，按通常的多项式系数去理解、认定；一种是某项的二项式系数，仅指这一项中所含的那个组合数．二者在特殊情况下方为同一数值．

（2）这里展开式中系数绝对值最大的项，实际上是展开式中系数最大的项，必要时可适时转化．

（3）本题解法“一题两制”：对于（2），我们运用一般方法进行推导；对于（3），我们运用认知、列举、比较的方法导出目标．当指数n数值较小时，（3）的解法颇为实用．

【例8】 设，求

　　　　①展开式中各二项式系数的和；

②展开式中各项系数的和；

③的值

④的值

⑤的值

【解析】令

①注意到这里n=200，故展开式中各二项式系数的和

②展开式中各项系数的和

③ 注意到，

④仿③得，又

　　∴

⑤解法一（直面原式）：

∴，又

∴

再由二项式的展开式知，

∴　

点评：对于二项展开式中各奇数项系数的和或各偶数项系数的和或其它有关多项式中系数的和，一般可根据问题的具体情况，对未知数x赋予适当的数值，运用特取法求出和式的值．

3. 二项式展开式的通项公式

【例9】 求的二项展开式中的系数．

【解析】展开式的通项为

根据题意，有，解得m=3

因此，的系数为

【例10】 求的二项展开式中，第4项的系数和第4项的二项式系数．

【解析】的二项展开式的第4项为

所以第4项的二项式系数为

第4项的系数为

【例11】 求的二项展开式的第6项．

【解析】．

【例12】 二项式的展开式中常数项的值为______．

【解析】展开式的通项为由题意知6-2r=0，即r=3，故有展开式中常数项 的值为．

【例13】 展开式中的常数项是______．

【解析】．

　　 依题意，，即．

　　 所以展开式的常数项是．

【例14】 （2010江西卷理6）展开式中不含项的系数的和为（ ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

【答案】B

【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反．采用赋值法，令得：系数和为1，减去项系数即为所求，答案为0．

4. 二项式定理在解决整除性问题中的应用

【例15】 今天是星期一，再过天后的那一天是星期几？

【解析】因为前面各项都是7的倍数，故都能被7整除．因此余数为，所以应为星期二．

【例16】 除以100的余数是（ ）．

【解析】转化为二项式的展开式求解．

　　　　．

上式中只有最后两项不能被100整除．

8281除以100的余数为81，所以除以100的余数为81．

5. 信息迁移

【例17】 若，

=　_______．（用数字作答）　

【解析】设

　　则，．

　　∴ 原式== 　应填2004．

【例18】 已知函数，求证：对于任意不小于3的自然数n，都有．

【证明】要证，只要证，即证．

而，故原命题显然成立．

【例19】 求证：

【证明】

=

=2+×+×+…+×

< 2++++…+< 2++++…+

=2+=3-

显然所以．

课堂总结

1. 在使用通项公式时，要注意：

①通项公式是表示第r＋1项，而不是第r项

②展开式中第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数不同

③通项公式中含有a，b，n，r，五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）这里必须注意n是正整数，r是非负整数且r≤n

2. 证明组合恒等式常用赋值法

3. 二项式定理应用通常有以下几类题型：

①通项应用型：利用通项公式研究具体某一项系数的性质等问题

②系数配对型：展开两因式乘积或可化为两因式乘积的三项式，求某项系数

③系数性质型：灵活应用二项式系数性质或赋值求系数和

④利用二项式定理求近似值，证明整除性或求余数问题，证明恒等式或不等式

⑤在概率等方面的应用

课后检测

【习题1】（2010全国Ⅰ卷理5）的展开式中的系数是（ ）

A． -4 B． -2 C． 2 D． 4

【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力．

【答案】B

【解析】

故的展开式中含x的项为,所以x的系数为-2．

【习题2】的展开式中的系数是（ ）

A 6 B 12 C 24 D． 48

【答案】C

【解析】，在中，x的系数为．

【习题3】的展开式中常数项是（ ）

A 14 B -14 C 42 D -42

【答案】A

【解析】设的展开式中的第r+1项是，

当，即r=6时，它为常数项，∴

【习题4】（2010陕西卷理4）展开式中的系数为10，则实数等于（ ）

A．-1 B．0．5 C．1 D．2

【答案】D

【解析】∵，又令得，∴由题设知．

【习题5】若的展开式中的常数项为84，则n=_____________

【答案】9

【解析】．

令3n－r=0，∴2n=3r

∴n必为3的倍数，r为偶数

试验可知n=9，r=6时，

【习题6】已知展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求的值

【解析】由题意,

即，

∴n=6∴第4项的二项式系数最大

∴，即．

∴x=10或x=

【习题7】(2010安徽卷理12）展开式中，的系数等于________．

【解析】，所以的系数等于15．

[高教版]中职数学拓展模块：3.2《二项式定理》教学设计