中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. -2的相反数是（　　）

A. 2 B. -2 C. D.

2. 下列计算中正确的是（　　）

A. 2a+3a=5a B. a3•a2=a6
C. （a-b）2=a2+b2 D. （-a2）3=-a5

3. 据统计，2018年安徽省属企业实现营业收入总额8339.4亿元，同比增长12.4%．这里“8339.4亿”用科学记数法表示为（　　）

A. 8339.4×108 B. 8.3394×1011 C. 8.3394×1010 D. 8.3394×109

4. 如图所示的正六棱柱的左视图是（　　）

A.
B.
C.
D.

5. 将一副三角板按如图的所示放置，下列结论中不正确的是（　　）

A. 若∠2=30°，则有AC∥DE
B. ∠BAE+∠CAD=180°
C. 若BC∥AD，则有∠2=30°
D. 如果∠CAD=150°，必有∠4=∠C

6. 某校组织“国学经典”诵读比赛，参赛的10名选手得分情况如表示所示：

那么，这10名选手得分数的中位数和众数分别是（　　）

A. 85和85 B. 85.5和85 C. 85和82.5 D. 85.5和80

7. 《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（　　）

A. B. C. D.

8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止）．则四边形PABQ的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的函数图象为（　　）

A. B.
C. D.

9. 已知⊙O的直径CD为2，弧AC的度数为80°，点B是弧AC的中点，点P在直径CD上移动，则BP+AP的最小值为（　　）

A. 1
B. 2
C. 2
D.

10. 如图，过原点的直线l与反比例函数y=-的图象交于M，N两点，根据图象猜想线段MN的长的最小值是（　　）

A.
B. 2
C. 2
D. 1

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11. 分解因式：a3b-ab3=______．

12. 中国“一带一路”倡议给沿线国家带来很大的经济效益．若沿线某地区居民2017年人均收入300美元，预计2019年人均收入将达到432美元，则2017年到2019年该地区居民年人均收入增长率为______．

13. 如图，将半径为6的半圆，绕点A逆时针旋转75°，使点B落到点B′处，则图中阴影部分的面积是______．

14. 如图，在矩形ABCD中，AB=m，BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合），EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y，若y=，当DEF为等腰三角形时，m的值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分）

15. 计算：（π-2019）0-|-22|+tan45°

16. 某文具店购进一批单价为10元的学生用品，如果以单价12元售出，那么一个月内可售200件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少10件，当售价提高多少元时，可在一个月内获得最大的利润？最大利润是多少

17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的11×11网格中，已知点A（-3，-3），B（-1，-3），C（-1，-1）．
（1）画出△ABC；
（2）画出△ABC关于x轴对称△A1B1C1，并写出各点的坐标；
（3）以O为位似中心，在第一象限画出将△ABC放大2倍后的△A2B2C2．

18. 【问题背景】在△ABC内部，由一点P1，可构成3个不重叠的小三角形（如图1）
【探究发现】当△ABC内的点的个数增加时，若其他条件不变，探究三角形内互不重叠的小三角形的个数情况．
（1）填表：

（2）当△ABC内部有2019个点（P1，P2……P2019）时，三角形内不重叠的小三角形的个数S为多少？

19. 图1所示的是某超市入口的双翼闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．

20. 已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BCD=25°．
（1）如图1，求∠ABD的大小；
（2）如图2，过点D作O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的度数．

21. 某学校为了了解在校初中生阅读数学文化史类书籍的现状，随机抽取了初中部部分学生进行研究调查，依据相关数据绘制成以下不完整的统计图表，请你根据图表中的信息解答下列问题：

（1）求表格中a，b，c的值，并补全统计图；
（2）若该校共有初中生2400名，请估计该校“不重视”阅读数学文化史书籍的初中生人数；
（3）若小明和小华去书店，打算从A，B，C，D四本数学文化史类书籍中随机选取一本，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一本书籍的概率．

22. 设m，n是任意两个实数，规定m，n两数较大的数称作这两个数的“绝对最值”，用sec（m，n）表示．例如：sec（-1，-2）=-1，sec（1，2）=2，sec（0，0）=0，参照上面的材料，解答下列问题：
（1）sec（π，3.14）=______，sec（-，-）=______；
（2）若sec（-3x-1，x+1）=-3x-1，求x的取值范围；
（3）求函数y=x2-2x-4与y=-x+2的图象的交点坐标，函数y=x2-2x-4图象如图所示，请你在图中作出函数y=-x+2的图象，并根据图象直接写出sec（-x+2，x2-2x-4）的最小值．

23. 如图1，在△ABC中，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD=CE，连接BD，AE相交于点F．
（1）当∠ABC=∠C=60°时，，那么=______；（直接写出结论）
（2）当△ABC为等边三角形，时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，在△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=30°，AC=，点E在BC上，点D是AE的中点，当∠EDC=30°时，CE和DE的数量关系为______．（直接写出结论，不必证明）

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：-2的相反数是：-（-2）=2，
故选：A．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，求解即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2.【答案】A

【解析】解：A、2a+3a=5a，正确；
B、a3•a2=a5，错误；
C、（a-b）2=a2+2ab+b2，错误；
D、（-a2）3=-a6，错误；
故选：A．
根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和完全平方公式解答即可．
此题考查同底数幂的乘法，关键是根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和完全平方公式的法则判断．
3.【答案】B

【解析】解：8339.4亿=8.3394×1011，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】C

【解析】解：该几何体的三视图如图所示：

故选：C．
利用正六棱柱的形状结合三视图进而结合观察角度不同分别得出即可．
此题主要考查了画三视图，注意观察角度分别得出是解题关键．
5.【答案】C

【解析】解：∵∠2=30°，
∴∠1=60°，
又∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，故A正确；
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
即∠BAE+∠CAD=∠1+∠2+∠2+∠3=90°+90°=180°，故B正确；
∵BC∥AD，
∴∠1+∠2+∠3+∠C=180°．
∵∠C=45°，∠1+∠2=90°，
∴∠3=45°，
∴∠2=90°-45°=45°，故C不正确；
∵∠D=30°，∠CAD=150°，
∴∠D+∠CAD=180°，
∴AC∥DE，
∴∠4=∠C，故D正确．
故选：C．
要解答此题，首先要知道一幅三角板中各角的度数；对于①根据已知可求出∠1的度数，再根据∠E=60°，结合∠1与∠E的位置关系，即可判断；根据角的关系判断②，根据平行线的性质定理判断③，结合①的结论和平行线的性质定理判断④；
本题侧重考查对知识点的应用能力，两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同错角相等；内错角相等，两直线平行；同角（等角）的余角相等
6.【答案】A

【解析】解：在这一组数据中85是出现次数最多的，故众数是85；
排序后处于中间位置的两个数都是85，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是85；
故选：A．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，可得答案．
本题为统计题，考查众数与中位数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数据；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
7.【答案】A

【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据羊的价格不变列出方程组．
【解答】

解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为：．
故选：A．

8.【答案】C

【解析】解：∵8÷2=4，
∴点Q运动到点B需要4s，
∵AB=10，BC=8，
∴在Rt△ABC中，AC==6，
∵AP=t，
∴CP=6-t，
∵CQ=2t，
∴S△CPQ=CP•CQ=•2t•（6-t）=6t-t2．
∴S四边形APQB=24-6t+t2．
∵S与t的关系式为二次函数，
∴符合题意的为C选项．
故选：C．
先算出点Q运动到点B所需要的时间，再利用勾股定理算出AC的长度，从而表示出CP的长度，算出△CPQ的面积，则四边形PABQ的面积可表示，再根据关系式选出合适的函数图象即可．
此题考查了动点问题的函数图象，表示出四边形PABQ的面积为解题关键，根据函数解析式选择相应的函数图象即可．
9.【答案】D

【解析】【分析】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、轴对称-最短路线问题，正确找出点P的位置是解题的关键，根据翻折的性质得到PB=PB′，=，得到∠B′EA=60°．当点B′、P、A在一条直线上时，PB+PA有最小值，最小值为AB′，根据正弦的定义计算即可．
【解答】

解：过点B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点P，延长AO交圆O与点E，连接B′E．
∵点B与点B′关于CD对称，
∴PB=PB′，=，
∴当点B′、P、A在一条直线上时，PB+PA有最小值，最小值为AB′．
∵点B是的中点，
∴=120°．
∴∠B′EA=60°．
∴AB′=AE•sin60°=2×=．
故选：D．

10.【答案】B

【解析】解：设N的横坐标是a，则纵坐标是-．
则OM=ON=≥．则MN的最小值是2．
故选：B．
设N的横坐标是a，则纵坐标是-，利用a即可表示出ON的长度，然后根据不等式的性质即可求解．
本题是反比例函数与不等式的性质的综合应用，关键是理解不等式的性质．
11.【答案】ab（a+b）（a-b）

【解析】解：a3b-ab3，
=ab（a2-b2），
=ab（a+b）（a-b）．
先提公因式ab，再利用公式法分解因式即可．
本题主要考查了整式的因式分解，在解题时要注意因式分解的方法和结果要分解到最后是本题的关键．
12.【答案】20%

【解析】【答案】
解：设2017年到2019年该地区居民年人均收入增长率为x，
依题意，得：300（1+x）2=432，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
故答案为：20%．
【分析】
设2017年到2019年该地区居民年人均收入增长率为x，根据2017年和2019年该地区居民年人均收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13.【答案】30π

【解析】解：∵S阴影=S半圆AB′+S扇形ABB′-S半圆AB
而根据旋转的性质可知S半圆AB′=S半圆AB
∴S阴影=S半圆AB′+S扇形ABB′-S半圆AB=S扇形ABB′
而由题意可知AB=12，∠BAB′=75°
即：S阴影==30π
故答案为30π．
根据整体思想，可知S阴影=S半圆AB′+S扇形ABB′-S半圆AB=S扇形ABB′，再利用扇形面积公式计算即可．
本题考查的是扇形面积的相关计算，根据整体思想求出表示阴影部分面积的方法，再用公式计算扇形的面积即可．
14.【答案】2或6

【解析】解：连结DF，
∵EF⊥DE，
∴∠BEF=90°-∠CED=∠CDE，
又∠B=∠C=90°，
∴△BEF∽△CDE，
∴，
即，解得：y=，
∴由题意有：，
解得：x1=6，x2=2，
∵∠DEF=90°，
∴只有当DE=EF时，△DEF为等腰三角形，
在△BEF和△CDE中，
，
∴△BEF≌△CDE（AAS），
∴BE=CD=m，
此时m=8-x，
当x=2时，m=6，
当x=6时，m=2．
故答案为：2或6．
利用互余关系找角相等，证明△BEF∽△CDE，根据对应边的比相等得出y=，把条件代入可得．解出x的值，根据∠DEF=90°，只有当DE=EF时，△DEF为等腰三角形，得出m=8-x，即可得解．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及一元二次方程的解法等知识．
15.【答案】解：原式=1-4+1
=-2．

【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
16.【答案】解：设销售单价提高x元，销售利润为y元，根据题意可得：
y=（x+2）（200-10x）
=-10x2+180x+400
=-10（x-9）2+1210，
∵-10＜0，
∴x=9时，y有最大值，最大值为1210，
答：当售价提高9元时，可在一个月内获得最大的利润，最大利润是1210元．

【解析】直接利用总利润=销量×每件利润，进而得出关系式求出答案．
此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
17.【答案】解：（1）△ABC即为所求：


（2）△A1B1C1如图所示；
（3）△A2B2C2如图所示．

【解析】（1）根据A，B，C的坐标画出△ABC即可；
（2）分别作出A，B，C关于x轴的对称点A1，B1C1即可；
（3）延长AO到A2使得OA2=2OA，同法作出B2，C2即可解决问题．
本题考查作图-位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18.【答案】（1）3 ；  5 ；  7  ； 9.
（2）观察图形，可知：S1=3=2×1+1，S2=5=2×2+1，S3=7=2×3+1，S4=9=2×4+1，…，
∴Sn=2n+1（n为正整数），
∴当n=2019时，S2019=2×2019+1=4039．
答：第2019个图形中共有4039个不重叠的小三角形．

【解析】解：（1）观察图形，可知：S1=3，S2=5，S3=7，S4=9．
故答案为：3；5；7；9．
（2）见答案.
【分析】
（1）观察图形，数出前几个图形中不重叠的小三角形的数量，此问得解；
（2）观察图形，根据前几个图形中不重叠的小三角形数量的变化可找出变化规律“Sn=2n+1（n为正整数）”，依此规律即可得出结论．
本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中不重叠的小三角形数量的变化找出变化规律“Sn=2n+1（n为正整数）”是解题的关键．
19.【答案】解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则
Rt△ACE中，AE=AC=×54=27（cm），
同理可得，BF=27cm，
又∵点A与B之间的距离为10cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），
答：当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为64cm．

【解析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
20.【答案】解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，且∠BCD=25°，
∴∠ACD=65°，
∵∠ACD=∠ABD，
∴∠ABD=65°
（2）连接OD，

∵DP是⊙O的切线，
∴∠ODP=90°，
∵∠DOB=2∠DCB，
∴∠DOB=2×25°=50°，
∴∠P=40°，
∵AC∥DP，
∴∠P=∠OAC=40°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=40°，
∴∠COB=∠OAC+∠OCA=80°，
∴∠COD=∠COB+∠DOB=130°
∵CO=DO
∴∠OCD=∠ODC=25°

【解析】（1）根据圆周角定理可求∠ACB=90°，即可求∠ABD的度数；
（2）根据切线的性质可得∠ODP=90°，且∠POD=2∠BCD=50°，即可求∠P=40°，根据平行线性质和等腰三角形的性质可求∠OCD的度数．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，熟练运用切线的性质是本题的关键．
21.【答案】解：（1）根据题意得：
57÷0.38=150（人），
a=150×0.3=45，
b=150-57-45-9=39，
c=39÷150=0.26，
补图如下：


（2）根据题意得：
2400×0.26=624（人），
答：该校“不重视”阅读数学文化史书籍的初中生人数约为：624人；

（3）根据题意画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中两人恰好选中同一本书籍的结果有4种，
所以两人恰好选中同一本书籍的概率有=．

【解析】（1）用总人数乘以a所占的比例求出a，用总人数减去其他部分所占的人数求出b，用c的人数除以总人数即可；
（2）用总人数乘以“不重视”阅读数学文化史书籍的初中生人数所占的百分比即可；
（3）根据题意画树状图，求出所有等可能的结果，再用两人恰好选中同一本书籍的结果数除以总的结果数即可．
此题考查了树状图、条形统计图，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】（1）π  ，-  ；
（2）∵sec（-3x-1，x+1）=-3x-1，
∴-3x-1≥x+1，
解得：x≤-；
（3）联立两函数解析式成方程组，
，解得：，或，
∴交点坐标为（-2，4）和（3，-1）．
画出直线y=-x+2，如图所示，
观察函数图象可知：当x=3时，sec（-x+2，x2-2x-4）取最小值-1．

【解析】解：（1）sec（π，3.14）=π，sec（-，-）=-．
故答案为：π，-；
（2）见答案；
（3）见答案.
（1）根据sec（m，n）表示m，n两数较大的数，即可求出结论；
（2）根据sec（-3x-1，x+1）=-3x-1，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（3）联立两函数解析式成方程组，解之即可求出交点坐标，画出直线y=-x+2的图象，观察图形，即可得出sec（-x+2，x2-2x-4）的最小值．
本题考查了二次函数的最值、一次函数的图象、一次函数的性质以及二次函数的图象，解题的关键是：（1）读懂题意，弄清“绝对最值”的意思；（2）根据sec（-3x-1，x+1）=-3x-1，找出关于x的一元一次不等式；（3）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点坐标．
23.【答案】（1）1  ；
（2）；
（3）CE =DE  .

【解析】解：（1）如图，

∵∠ABC=∠C=60°
∴△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°
∵AD=CE
∴△ABD≌△CAE（SAS）
∴∠EAC=∠DBA
∵，
∴点D是AC中点，且△ABC是等边三角形
∴∠DBA=30°
∴∠EAC=30°
∴∠BAE=∠DBA=30°
∴AF=BF
∴
故答案为：1
（2）由（1）可得△ABD≌△CAE
∴BD=AE，∠EAC=∠DBA
∴∠BFE=∠DBA+∠BAF=∠EAC+∠BAF=∠BAD=60°，
设AF=x，BF=y，AB=AC=BC=n，AD=CE=1，BD=AE=m
∵∠EAC=∠DBA，∠ADB=∠ADB
∴△ADF∽△BDA
∴
∴=    ①
∵∠BFE=∠C=60°，∠DBC=∠DBC
∴△BFE∽△BCD
∴
∴    ②
①÷②得：
∴
（3）CE=DE，
理由如下：∵点D是AE中点，
∴AE=2DE
∵∠EDC=30°=∠ACB，∠DEC=∠CEA
∴△CDE∽△ACE
∴
∴CE2=AE×DE=2DE2，
∴CE=DE
故答案为：CE=DE
（1）由题意可证△ABC是等边三角形，可得AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，可证△ABD≌△CAE，可得∠EAC=∠DBA，由等边三角形的性质可得∠BAE=∠DBA=30°，可求的值；
（2）设AF=x，BF=y，AB=AC=BC=n，AD=CE=1，BD=AE=m，通过证△ADF∽△BDA，△BFE∽△BCD可得=，，可得；
（3）由题意可证△CDE∽△ACE，可得，即可得CE=DE．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质求线段的关系是本题的关键．

2020年安徽省“万友”名校中考数学一模试卷