吉林省实验中学

2013—2014学年度上学期模块一

高二数学理试题

命题人：高立东 审题人：迟禹才

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则等于

（A） （B） （C） （D）

（2）抛物线的焦点坐标为

（A） （B） （C） （D）

（3）椭圆上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点．则|ON|等于

（A）2 （B）4 （C）8 （D）

（4）与椭圆共焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是

（A） （B） （C） （D）

（5）已知动点P在曲线上移动，则点与点P连线中点的轨迹方程是

（A） （B） （C） （D）

（6）一动圆与圆O：x2＋y2＝1外切，与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，那么动圆的圆心的轨迹是

（A）圆　　　 （B）椭圆 （C）双曲线的一支 （D）抛物线

（7）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是

（A） （B）2 （C） （D）3

（8）已知对k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是

（A） （B） （C） （D）

（9）椭圆的离心率为，则k的值为

（A）－21 （B）21 （C）或21 （D）或21

（10）已知双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为

（A）－2 （B） （C）1 （D）0

（11）已知双曲线的方程为,过左焦点作斜率为的直线交双曲线的右支于点P,且y轴平分线段,则双曲线的离心率为

（A） （B） （C） （D）

（12）椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是

（A） （B） （C） （D）

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）过点作一直线与椭圆相交于A、B两点，若点恰好为弦的中点，则所在直线的方程为 ．

（14）过点作斜率为1的直线l，交抛物线于A、B两点，则|AB|＝ ．

（15）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且，则＝ ．

（16）设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直

径的圆过点(0, 2)，则C的方程为 ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分10分）

已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（－5，0），（5，0），且AC，BC所在直

线的斜率之积等于m（m≠0），求顶点C的轨迹．

（18）（本小题满分12分）

已知圆C:与直线l：，且直线l被圆C截得的弦长

为．　　

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）当时，求过点(3，5)且与圆C相切的直线方程.

（19）（本小题满分12分）

如图，底面为直角梯形的四棱锥中，AD∥BC，平面，，BC＝6．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

（20）（本小题满分12分）

已知双曲线(a＞0，b＞0)的离心率，过点A(0，－b)和B(a，0)的直

线与原点的距离是．

（Ⅰ）求双曲线的方程及渐近线方程；

（Ⅱ）若直线y＝kx＋5 (k≠0)与双曲线交于不同的两点C、D，且两点都在以A为圆心

的同一个圆上，求k的值．

（21）（本小题满分12分）

已知经过点A（－4，0）的动直线l与抛物线G：相交于B、C，当直线l的斜率是时，．

（Ⅰ）求抛物线G的方程；

（Ⅱ）设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．

（22）（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，动点到两点，的距离之和等于4，设点的轨迹为曲线C，直线过点且与曲线C交于A，B两点．

（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；

（Ⅱ）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）A （2）D （3）B （4）B （5）C （6）C

（7）B （8）C （9）C （10）A （11）A （12）D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13） （14） （15）90° （16）或

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）解：

设点C的坐标为，由已知，得

直线AC的斜率，

直线BC的斜率，

由题意得，所以

即 ………………………7分

当时，点C的轨迹是椭圆，或者圆，并除去两点

当时，点C的轨迹是双曲线，并除去两点………………………10分

（18）解：

（Ⅰ）由已知可得圆C的圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离为，

由勾股定理，解得或

（Ⅱ）当时，圆的方程为。设切线的方程为，由，解得

所以所求切线方程为

（19）解：

（Ⅰ）如图，以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，

，，， ……………………2分

．，，

又，面． ………………………………6分

（Ⅱ）设平面的法向量为，

设平面的法向量为，

则 ……………………8分

解得．

令，则……………10分

二面角的余弦值为．………………12分

（20）解：

（Ⅰ）直线AB的方程为：即

又原点O到直线AB的距离

由得 ………3分

所求双曲线方程为 .………4分

（注：也可由面积法求得）

渐近线方程为： ………5分

（Ⅱ）方法1：由（1）可知A（0，－1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由|AC|＝|AD|

得： ……7分

∴3＋3y12＋（y1＋1）2＝3＋3y22＋（y2＋1）2，

整理得： （y1－y2）[2（y1＋y2）＋1]＝0，

∵k≠0，∴y1≠y2，∴y1＋y2＝－，

又由（1－3k2）y2－10y＋25－3k2＝0 （k2≠0且k2≠），

∴y＋y2＝， ……10分

得k2＝7， ………11分

由△＝100－4（1－3k2）（25－3k2）>0 k2＝7满足此条件，

满足题设的＝. ………12分

方法2：由， ………7分

设C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点M（x0，y0），

∵|AC|＝|AD|，∴M在CD的中垂线AM上， ……9分

∵∴……11分

整理得解得＝.（满足 ………12分

（21）

解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由已知k1＝时，l方程为y＝(x＋4)

即x＝2y－4．
由得2y2－(8＋p)y＋8＝0

∴

又∵

∴y2＝4y1 ………………………5分

由p＞0得：y1＝1，y2＝4，p＝2，即抛物线方程为：x2＝4y．
(2)设l：y＝k(x＋4)，BC中点坐标为(x0，y0)
由得：x2－4kx－16k＝0①

∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k．
∴BC的中垂线方程为y−2k2−4k＝− (x−2k)
∴BC的中垂线在y轴上的截距为：b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2
对于方程①由△＝16k2＋64k＞0得：k＞0或k＜－4．
∴b∈(2，＋∞) ………………………12分

（22）解：

（Ⅰ）由椭圆定义可知，点的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆．

故曲线的方程为． …………………………………………………4分

（Ⅱ）存在△面积的最大值.

因为直线过点，可设直线的方程为或（舍）．

则

整理得． …………………………………7分

由．

设．

解得 ， ．

则．

因为． …………10分

设，，．

则在区间上为增函数．

所以．

所以，当且仅当时取等号，即．

所以的最大值为． …………………………………………………12分

吉林省实验中学2013-2014学年高二上学期模块检测与评估（一）数学（理）试卷