函数对称中心的求法解析

题目 函数d00b68cd7e96c4c294612b899cdf234a.png的图象就是中心对称图象,其对称中心为________、

一、利用定义求对称中心

分析 根据中心对称图形的定义,在函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png图象上的任意一点a34058f70b0ec6a0f4179cc66060cd2e.png关于对称中心2d05e1f15387f87456155cd96cc06235.png的对称点d94532d86926c091bfff9c3af8a6fd99.png也在函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的图象上、

∴227fecaf182dc3d423e00d82078f79e4.png,即d8338f55fc1d51a5370af0c24ad88492.png、 ∴52f24601a859da2a53e988feecc37245.png,

代入函数式有:4ae0ea286a4cc874396b820e858c9b06.png,

化简得:4b0c5c3505f33b3852d3e17c4a2f063b.png,

与d00b68cd7e96c4c294612b899cdf234a.png就是同一函数,则对应系数相等,

故13e217c6447470c6846b7aa9bdef75ca.png,∴3872c9ae3f427af0be0ead09d07ae2cf.png,21c635616afaf9929027fab47237cc7f.png,即函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的对称中心为eeafeca82bd4342bde90aa5eef38cb86.png、

点评 利用中心对称的定义求解就是基本方法,考察基本概念,通过同一函数的对应系数相等构建方程解出对称中心、

二、巧取特殊点求对称中心

分析 在函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的图象上取点eeafeca82bd4342bde90aa5eef38cb86.png、5aec75c7b1220ea1a1429e257bf0ebb6.png,它们关于对称中心2d05e1f15387f87456155cd96cc06235.png的对称点分别为c4495e054fe873f61d2c693da616ea92.png、bffb9ef06d63c7b5404321eedc759d94.png也在函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的图象上、

∴42150df648a80c368d6c4502ebcd579d.png,相减则f93f675a8da055d12fde513d7984a0aa.png,

∴00a349a92dbd14dcdc02dd6edf488767.png或0210d92b84b2e2878881a8a5c4652e08.png、又若对称中心为630ed329fbad83fbb1f9c43ddb785299.png,则2ac9503f075e04b05a3864037c3d24c7.png关于630ed329fbad83fbb1f9c43ddb785299.png的对称点3bb564c36f5305b3497f062a565933c0.png应在函数图象上,而8ffa3b4199728820e0221469025284d3.png,∴630ed329fbad83fbb1f9c43ddb785299.png不就是对称中心,故对称中心为eeafeca82bd4342bde90aa5eef38cb86.png、

点评 这里巧妙地在函数图象上取两个特殊点,构建关于对称中心坐标的方程,解出对称中心,但要注意由特殊点求出的解就是否也满足一般的点,因此还要继续检验,排除增解、

三、巧构奇函数求对称中心

分析 把函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png变形为c8f1b2b2190fa5d732857fc979db0171.png,设函数eadcaedbe23540a1ea75106b6e4a9632.png,∵d13f453d5a25ba83fd2f3ecc74880538.png为奇函数,∴其对称中心为18fc4c8c1ba5b3f94dbd306cf916f9e3.png,又将函数8359b6595f2a33369494092f3be6899c.png的图象按向量b7d5dd13db8621a913da580f68cc2dd3.png平移刚好得到c8f1b2b2190fa5d732857fc979db0171.png,∴7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的对称中心就是由d13f453d5a25ba83fd2f3ecc74880538.png的对称中心18fc4c8c1ba5b3f94dbd306cf916f9e3.png按向量b7d5dd13db8621a913da580f68cc2dd3.png平移得到的,即为eeafeca82bd4342bde90aa5eef38cb86.png.∴7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的对称中心为eeafeca82bd4342bde90aa5eef38cb86.png.

点评 这里巧妙地构造奇函数,将原函数瞧作就是由奇函数平移得到的,利用奇函数关于原点对称的性质,这样原函数的对称中心就就是由奇函数的对称中心按向量平移得到的、

【2013春考】31.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分,第3小题满分6分。

已知真命题:“函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的图像关于点a71b47aa998ee2a2e5dff9ecccffba9b.png成中心对称图形”的充要条件为“函数013b73f608a1bd4f90c99b07aa11d95a.png 就是奇函数”。

(1)将函数8bc936a61ce8c1f82825391032795b1a.png的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png图像对称中心的坐标;

(2)求函数099f063f49b87a39c986e7efdfa05bff.png 图像对称中心的坐标;

(3)已知命题:“函数 7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a与b,使得函数013b73f608a1bd4f90c99b07aa11d95a.png 就是偶函数”。判断该命题的真假。如果就是真命题,请给予证明;如果就是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明)。

函数对称中心的求法解析