【考点12】直线、平面垂直的判定与性质

1．（2009·山东卷·文9, 理5）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的 ( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．（2009·浙江卷·理17）如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是 ．

[来源:学,科,网]

3．（2009·浙江卷·理5）在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 ( )

A． B．学网C． D．

4．（2009·上海卷·文理5）如图，若正四棱柱的底面边长为2，高为4，则异面直线与所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）．

5．（2009·辽宁卷·理18）（本小题满分12分）

如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点 ．

（I）若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；

（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线．

6．（2008天津，4）设、是两条直线，、是两个平面，则的一个充分条件是（ ）

A．，∥，

B．，，∥

C．，，∥

D．，∥，

7．（2008江西，20，12分）如图题2，正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF的一个平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于、、，已知．

（1）证明：平面 OAH；

（2）求二面角的大小．

8．（2008湖北，18，12分）如图题3，在直三棱柱ABC-中，平面⊥侧面．

（1）求证：AB⊥BC；

（2）若直线AC与平面所成的角为，二面角的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明．

9．（2007湖北，18，12分）如图题4，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=，∠．

（1）求证：平面⊥平面；[来源:Zxxk.Com]

（2）当角变化时，求直线与平面所成的角的取值范围．

[来源:Z_xx_k.Com]

高考真题答案与解析

数 学（理）

【考点12】直线、平面垂直的判定与性质

1．答案：B；

【解析】由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线,,则,反过来则不一定．所以“”是“”的必要不充分条件 ．

【点评】本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念．

2．答案：

【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，，随着F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是

3．答案：C ；

【解析】取BC的中点E，则面，，因此与平面所成角即为，设，则，，

即有．

4．答案：；

【解析】因为，所以直线与所成的角即为异面直线 与所成角,因为正四棱柱底面边长为2，高为4，所以在中，，；

所以，所以，

所以答案为：

5．【解析】（I）【解法一】取CD的中点G，连接MG，NG．

设正方形ABCD，DCEF的边长为2，

则MG⊥CD，MG=2，NG=．

因为平面ABCD⊥平面DCED，所以MG⊥平面DCEF，

可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角．

因为MN=，所以sin∠MNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值

【解法二】 设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别 以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图．

则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得=(－1,1,2)

又=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，

可得cos(,)=，

所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为

cos· [来源:Zxxk.Com]

(Ⅱ)假设直线ME与BN共面，

则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN[来源:学科网]

由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF．

又AB//CD，所以AB//平面DCEF．面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，[来源:学#科#网Z#X#X#K]

所以AB//EN．

又AB//CD//EF，

所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立．

所以ME与BN不共面，它们是异面直线．

6．答案：C

【解析】观察C选项，，故选C．

7．【解析】解法一：（1）依题设，EF是的中位线，所以∥BC，则EF∥平面OBC，所以EF∥．因为OA⊥OB，OA⊥OC，所以AO⊥平面OBC，则OA⊥，因此⊥平面OAH．

（2）作ON⊥于N，连．因为⊥平面，根据三垂线定理知⊥，∠就是二面角的平面角．作EM⊥于M，则EM∥OA，则M是OB的中点，则EM=ON=1．设，则=

得，，解得，即

．在中，

，则

=．所以∠，故二 面角的大小为．[来源:学科网]

解法二：（1）以直线OA、OC、OB分别为、 、轴建立空间直角坐标系，则

，B（0，0，2），C（0，2，0），E（1，0，1），F（1，1，0），，所以

，，

（0，2，-2）．

所以．

以BC⊥平面OAH．由EF∥BC得∥BC，

故⊥平面OAH．

（2）由已知，设，则

=，．

由与共线得：存在使=

得，所以（0， 0，3）．同理：（0，3，0）．所以

，

．设是平面

的一个法向量，则

．

即令得=1．

所以=

．由图可知，所以求二面角的大小为

．

8．【解析】（1）证明： 如图，过点A在平 面 内作 ⊥于D，

则由平面⊥． 侧面，且平面侧面=，得AD⊥平面．又平面，所以AD⊥BC．因为三棱柱ABC-是直三棱柱，则⊥底面ABC，所以⊥BC．又=A，从而⊥侧面，又侧面，故⊥BC．

（2）解法一：连结CD，则由（1）知∠ACD是直线AC与平面所成的角，∠是二面角的平面角，即∠

，∠．于是在中，[来源:Zxxk.Com]

=，在中，，由AB<AC，得．又、，所以

<．

解法二：由（1）知，

以点B为坐标原点，

以BC、BA、所在

的直线分别为轴、

轴、轴建立如图所示

的空间直角坐标系，设，则B（0，0，0），A（0，c，0），，，

,，(0,0,) ．设平面的一个法向量为，则由

得可取（0，）于是，与的夹角为锐角，则与互为余角．

，

，所以即[来源:Zxxk.Com]

，又、，所以．

9．【解析】：解法一： （1）∵AC=BC= ，∴ 是 等腰三角形，又D 是AB的中点，∴CD⊥AB，又VC⊥底面ABC，∴VC⊥AB．又，于是AB⊥平面VCD．又平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD．

（2）过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，则由（1）知CH⊥平面VAB．连结BH，于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角．在 中，；设∠CBH=，在中，

∴．∵，∴，

．又，∴即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为 ．[来源:学_科_网][来源:Z§xx§k.Com]

解法二：（1）以CA、CB、CV所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，，0），D，

于是．从而=++0=0，即AB⊥VD．又，∴AB⊥平面VCD．又平面VAB，

∴平面VAB⊥平面VCD．[来源:Zxxk.Com]

（2）设直线BC与平面VAB所成的角为，平面VAB的一个法向量为，则由

．得

可取，，又，于是

，∵，∴．又

，∴．即直线BC与平面VAB所成的角的取值范围为．

07-09年高考理科数学真题演练分类解析：直线、平面垂直的判定与性质