2015年江苏省南通市中考真题数学

一.选择题(每小题3分，共30分，四个选项只有一个是符合题意的)

1.如果水位升高6m时水位变化记作+6m，那么水位下降6m时水位变化记作(　　)

A.-3m

B.3m

C.6m

D.-6m

解析：因为上升记为+，所以下降记为-，所以水位下降6m时水位变化记作-6m.

答案：D

2. 下面四个几何体中，俯视图是圆的几何体共有(　　)

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

解析：从上面看，三棱柱的俯视图为三角形；圆柱的俯视图为圆；四棱锥的俯视图是四边形；球的俯视图是圆；俯视图是圆的几何体共有2个.

答案：B

3. 据统计：2014年南通市在籍人口总数约为7700000人，将7700000用科学记数法表示为(　　)

A.0.77×107

B.7.7×107

C.0.77×106

D.7.7×106

解析：将7700000用科学记数法表示为7.7×106.

答案：D

4.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)

A.

B.

C.

D.

解析：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误.

答案：A

5.下列长度的三条线段能组成三角形的是(　　)

A.5，6，10

B.5，6，11

C.3，4，8

D.4a，4a，8a(a＞0)

解析：A、∵10-5＜6＜10+5，∴三条线段能构成三角形，故本选项正确；

B、∵11-5=6，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；

C、∵3+4=7＜8，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；

D、∵4a+4a=8a，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误.

答案：A

6.如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2，1)，则tanα的值是(　　)

A. word/media/image7.gif

B. word/media/image8.gif

C. word/media/image9.gif

D.2

解析：设(2，1)点是B，作BC⊥x轴于点C.则OC=2，BC=1，则tanα=word/media/image10.gif=word/media/image9.gif.

答案：C

7.在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为(　　)

A.12

B.15

C.18

D.21

解析：在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解.

由题意可得，word/media/image11.gif×100%=20%，解得，a=15.

答案：B

8.关于x的不等式x-b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是(　　)

A.-3＜b＜-2

B.-3＜b≤-2

C.-3≤b≤-2

D.-3≤b＜-2

解析：不等式x-b＞0，解得：x＞b，

∵不等式的负整数解只有两个负整数解，∴-3≤b＜-2.

答案：D.

9.在20km越野赛中，甲乙两选手的行程y(单位：km)随时间x(单位：h)变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；②出发后1小时，两人行程均为10km；③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km；④甲比乙先到达终点.其中正确的有(　　)

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

解析：在两人出发后0.5小时之前，甲的速度小于乙的速度，0.5小时到1小时之间，甲的速度大于乙的速度，故①错误；

由图可得，两人在1小时时相遇，行程均为10km，故②正确；

甲的图象的解析式为y=10x，乙AB段图象的解析式为y=4x+6，因此出发1.5小时后，甲的路程为15千米，乙的路程为12千米，甲的行程比乙多3千米，故③正确；

甲到达终点所用的时间较少，因此甲比乙先到达终点，故④正确.

答案：C

10.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=6，AD=5，则AE的长为(　　)

A.2.5

B.2.8

C.3

D.3.2

解析：如图1，连接BD、CD，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴BD=word/media/image16.gif，

∵弦AD平分∠BAC，∴CD=BD=word/media/image17.gif，∴∠CBD=∠DAB，

在△ABD和△BED中，word/media/image18.gif∴△ABD∽△BED，

∴word/media/image19.gif，即word/media/image20.gif，解得DE=word/media/image21.gif，∴AE=AD-DE=5-word/media/image21.gif=2.8.

答案：B

二.填空题(每小题3分，共24分)

11.因式分解4m2-n2= .

原式利用平方差公式分解即可，原式=(2m+n)(2m-n).

答案：(2m+n)(2m-n)

12.已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2，则x1+x2的值等于 .

解析：∵方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2，∴x1+x2=-word/media/image22.gif=-2.

答案：-2

13.计算(x-y)2-x(x-2y)= .

解析：根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可.(x-y)2-x(x-2y)=x2-2xy+y2-x2+2xy=y2.

答案：y2

14.甲乙两人8次射击的成绩如图所示(单位：环)根据图中的信息判断，这8次射击中成绩比较稳定的是 (填“甲”或“乙”).

解析：由图表明乙这8次成绩偏离平均数大，即波动大，而甲这8次成绩，分布比较集中，各数据偏离平均小，方差小，则S甲2＜S乙2，即两人的成绩更加稳定的是甲.

答案：甲.

15.如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD=13cm，AB=24cm，则CD= cm.

解析：由垂径定理，得AC=word/media/image9.gifAB=12cm.

有半径相等，得OA=OD=13cm.

由勾股定理，得OC=word/media/image25.gif=5.

由线段的和差，得CD=OD-OC=13-5=8cm.

答案：8

16.如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC= 度.

解析：∵AC=AD=DB，∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠C，

设∠ADC=α，∴∠B=∠BAD=word/media/image27.gif，

∵∠BAC=102°，∴∠DAC=102°-word/media/image27.gif，

在△ADC中，∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∴2α+102°-word/media/image27.gif=180°，解得：α=52°.

答案：52

17.如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，word/media/image28.gif，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则word/media/image29.gif的值等于 .

解析：∵word/media/image28.gif，∴设AD=BC=a，则AB=CD=2a，∴AC=word/media/image8.gifa，

∵BF⊥AC，

∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，∴BC2=CE·CA，AB2=AE·AC，

∴a2=CE·word/media/image8.gifa，2a2=AE·word/media/image8.gifa，∴CE=word/media/image31.gif，AE=word/media/image32.gif，∴word/media/image33.gif，

∵△CEF∽△AEB，∴word/media/image29.gif =(word/media/image34.gif)2=word/media/image35.gif.

答案：word/media/image35.gif

18.关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根都在-1和0之间(不包括-1和0)，则a的取值范围是 .

解析：∵关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根，

∴△=(-3)2-4×a×(-1)＞0，解得：a＞-word/media/image36.gif，

设f(x)=ax2-3x-1，如图，

∵实数根都在-1和0之间，∴-1＜word/media/image38.gif＜0，∴a＜-word/media/image39.gif，且有f(-1)＜0，f(0)＜0，

即f(-1)=a×(-1)2-3×(-1)-1＜0，f(0)=-1＜0，解得：a＜-2，∴-word/media/image36.gif＜a＜-2.

答案：-word/media/image36.gif＜a＜-2.

三.解答题(共10小题，共96分)

19.(1)计算：(-2)2-word/media/image40.gif+(-3)0-(word/media/image41.gif)-2；

(2)解方程：word/media/image42.gif.

解析：(1)原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用立方根定义计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；

(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

答案：(1)原式=4-4+1-9=-8；

(2)去分母得：x+5=6x，解得：x=1，

经检验x=1是分式方程的解.

20.如图，一海伦位于灯塔P的西南方向，距离灯塔40word/media/image43.gif海里的A处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60°方向上的B处，求航程AB的值(结果保留根号).

解析：过P作PC垂直于AB，在直角三角形ACP中，利用锐角三角函数定义求出AC与PC的长，在直角三角形BCP中，利用锐角三角函数定义求出CB的长，由AC+CB求出AB的长即可.

答案：过P作PC⊥AB于点C，

在Rt△ACP中，PA=40word/media/image43.gif海里，∠APC=45°，sin∠APC=word/media/image46.gif，cos∠APC=word/media/image47.gif，

∴AC=AP·sin45°=40word/media/image43.gif×word/media/image48.gif=40(海里)，PC=AP·cos45°=40word/media/image43.gif×word/media/image48.gif=40(海里)，

在Rt△BCP中，∠BPC=60°，tan∠BPC=word/media/image49.gif，

∴BC=PC·tan60°=40word/media/image50.gif (海里)，则AB=AC+BC=(40+40word/media/image50.gif)海里.

21.为增强学生环保意识，某中学组织全校2000名学生参加环保知识大赛，比赛成绩均为整数，从中抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如图统计图.请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)若抽取的成绩用扇形图来描述，则表示“第三组(79.5～89.5)”的扇形的圆心角为 度；

(2)若成绩在90分以上(含90分)的同学可以获奖，请估计该校约有多少名同学获奖？

(3)某班准备从成绩最好的4名同学(男、女各2名)中随机选取2名同学去社区进行环保宣传，则选出的同学恰好是1男1女的概率为 .

解析：(1)由第三组(79.5～89.5)的人数即可求出其扇形的圆心角；

(2)首先求出50人中成绩在90分以上(含90分)的同学可以获奖的百分比，进而可估计该校约有多少名同学获奖；

(3)列表得出所有等可能的情况数，找出选出的两名主持人“恰好为一男一女”的情况数，即可求出所求的概率.

答案：(1)由直方图可知第三组(79.5～89.5)所占的人数为20人，

所以“第三组(79.5～89.5)”的扇形的圆心角=word/media/image52.gif×360°=144°.

(2)估计该校获奖的学生数=word/media/image53.gif×100%×2000=640(人).

(3)列表如下：

所有等可能的情况有12种，其中选出的两名主持人“恰好为一男一女”的情况有8种，

则P(选出的两名主持人“恰好为一男一女”)= word/media/image55.gif.

22.由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨.请根据以上信息，提出一个能用方程(组)解决的问题，并写出这个问题的解答过程.

解析：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？根据题意可知，本题中的等量关系是“3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨”和“2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨”，列方程组求解即可.

答案：本题的答案不唯一.

问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？

设1辆大车一次运货x吨，1辆小车一次运货y吨.

根据题意，得word/media/image56.gif解得word/media/image57.gif则x+y=4+2.5=6.5(吨).

答：1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨.

23.如图，直线y=mx+n与双曲线y=word/media/image58.gif相交于A(-1，2)，B(2，b)两点，与y轴相交于点C.

(1)求m，n的值；

(2)若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积.

解析：(1)由题意，将A坐标代入一次函数与反比例函数解析式，即可求出m与n的值；

(2)得出点C和点D的坐标，根据三角形面积公式计算即可.

答案：(1)把x=-1，y=2；x=2，y=b代入y=word/media/image58.gif，解得：k=-2，b=-1；

把x=-1，y=2；x=2，y=-1代入y=mx+n，解得：m=-1，n=1.

(2)直线y=-x+1与y轴交点C的坐标为(0，1)，所以点D的坐标为(0，-1)，

点B的坐标为(2，-1)，所以△ABD的面积=word/media/image9.gif×(1+1)×(1+2)=3.

24.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB=60°.

(1)求∠P的度数；

(2)若⊙O的半径长为4cm，求图中阴影部分的面积.

解析：(1)由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数.

(2)由S阴影=2×(S△PAO-S扇形)则可求得结果.

答案：连接OA、OB，

∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP=∠OBP=90°，

又∵∠AOB=2∠C=120°，∴∠P=360°-(90°+90°+120°)=60°.∴∠P=60°.

(2)连接OP，

∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠APO=word/media/image9.gif∠APB=30°，

在RT△APO中，tan30°=word/media/image62.gif，∴AP=word/media/image63.gifcm，

∴S阴影=2S△AOP-S扇形=2×(word/media/image9.gif×4×4word/media/image50.gif-word/media/image64.gif)=(16word/media/image50.gif-word/media/image65.gif)(cm2).

25.如图，在□ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD.

(1)求证：△AED≌△CFB；

(2)若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF.

解析：(1)由四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用ASA即可得证；

(2)过D作DH垂直于AB，在直角三角形ADH中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到AD=2DH，在直角三角形DEB中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到EB=2DH，易得四边形EBFD为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到EB=DF，等量代换即可得证.

答案：(1)∵平行四边形ABCD，∴AD=CB，∠A=∠C，AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，

∵ED⊥DB，FB⊥BD，∴∠EDB=∠FBD=90°，∴∠ADE=∠CBF，

在△AED和△CFB中，word/media/image67.gif∴△AED≌△CFB(ASA)；

(2)作DH⊥AB，垂足为H，

在Rt△ADH中，∠A=30°，∴AD=2DH，

在Rt△DEB中，∠DEB=45°，∴EB=2DH，

∴四边形EBFD为平行四边形，∴FD=EB，∴DA=DF.

26.某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元.若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元.已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元.

(1)求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？

解析：(1)根据题意可得出销量乘以每台利润进而得出总利润，进而得出答案；

(2)根据销量乘以每台利润进而得出总利润，即可求出即可.

答案：(1) word/media/image69.gif

(2)在0≤x≤10时，y=100x，当x=10时，y有最大值1000；

在10＜x≤30时，y=-3x2+130x，

当x=21word/media/image70.gif时，y取得最大值，

∵x为整数，根据抛物线的对称性得x=22时，y有最大值1408.

∵1408＞1000，∴顾客一次购买22件时，该网站从中获利最多.

27.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，点P，Q分别在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x(0＜x＜3).把△PCQ绕点P旋转，得到△PDE，点D落在线段PQ上.

(1)求证：PQ∥AB；

(2)若点D在∠BAC的平分线上，求CP的长；

(3)若△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为T，且12≤T≤16，求x的取值范围.

解析：(1)先根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定定理得出△PQC∽△BAC，由相似三角形的性质得出∠CPQ=∠B，由此可得出结论；

(2)连接AD，根据PQ∥AB可知∠ADQ=∠DAB，再由点D在∠BAC的平分线上，得出∠DAQ=∠DAB，故∠ADQ=∠DAQ，AQ=DQ.在Rt△CPQ中根据勾股定理可知，AQ=12-4x，故可得出x的值，进而得出结论；

(3)当点E在AB上时，根据等腰三角形的性质求出x的值，再分0＜x≤word/media/image72.gif；word/media/image72.gif＜x＜3两种情况进行分类讨论.

答案：(1)∵在Rt△ABC中，AB=15，BC=9，∴AC=word/media/image73.gif=12.

∵word/media/image74.gif，word/media/image75.gif，∴word/media/image76.gif.

∵∠C=∠C，∴△PQC∽△BAC，∴∠CPQ=∠B，∴PQ∥AB.

(2)连接AD，

∵PQ∥AB，∴∠ADQ=∠DAB.

∵点D在∠BAC的平分线上，∴∠DAQ=∠DAB，∴∠ADQ=∠DAQ，∴AQ=DQ.

在Rt△CPQ中，PQ=5x，∵PD=PC=3x，∴DQ=2x.

∵AQ=12-4x，∴12-4x=2x，解得x=2，∴CP=3x=6.

(3)当点E在AB上时，

∵PQ∥AB，∴∠DPE=∠PEB.

∵∠CPQ=∠DPE，∠CPQ=∠B，∴∠B=∠PEB，∴PB=PE=5x，

∴3x+5x=9，解得x=word/media/image72.gif.

①当0＜x≤word/media/image72.gif时，T=PD+DE+PE=3x+4x+5x=12x，此时0＜T≤word/media/image78.gif；

②当word/media/image72.gif＜x＜3时，设PE交AB于点G，DE交AB于F，作GH⊥FQ，垂足为H，

∴HG=DF，FG=DH，Rt△PHG∽Rt△PDE，∴word/media/image79.gif.

∵PG=PB=9-3x，∴word/media/image80.gif，

∴GH=word/media/image81.gif (9-3x)，PH=word/media/image82.gif (9-3x)，∴FG=DH=3x-word/media/image82.gif (9-3x)，

∴T=PG+PD+DF+FG=(9-3x)+3x+word/media/image81.gif (9-3x)+[3x-word/media/image82.gif (9-3x)]= word/media/image83.gif，

此时word/media/image78.gif＜T＜18.

∴当0＜x＜3时，T随x的增大而增大，

∴T=12时，即12x=12，解得x=1；

TA=16时，即word/media/image83.gif=16，解得x=word/media/image84.gif.

∵12≤T≤16，∴x的取值范围是1≤x≤word/media/image84.gif.

28.已知抛物线y=x2-2mx+m2+m-1(m是常数)的顶点为P，直线l：y=x-1

(1)求证：点P在直线l上；

(2)当m=-3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，与直线l的另一个交点为Q，M是x轴下方抛物线上的一点，∠ACM=∠PAQ(如图)，求点M的坐标；

(3)若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值.

解析：(1)利用配方法得到y=(x-m)2+m-1，点P(m，m-1)，然后根据一次函数图象上点的坐标特征判断点P在直线l上；

(2)当m=-3时，抛物线解析式为y=x2+6x+5，根据抛物线与x轴的交点问题求出A(-5，0)，易得C(0，5)，通过解方程组word/media/image86.gif得P(-3，-4)，Q(-2，-3)，作ME⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，QG⊥x轴于G，如图，证明Rt△CME∽Rt△PAF，利用相似得word/media/image87.gif，设M(x，x2+6x+5)，则word/media/image88.gif，解得x1=0(舍去)，x2=-4，于是得到点M的坐标为(-4，-3)；

(3)通过解方程组word/media/image89.gif得P(m，m-1)，Q(m+1，m)，利用两点间的距离公式得到PQ2=2，OQ2=2m2+2m+1，OP2=2m2-2m+1，然后分类讨论：当PQ=OQ时，2m2+2m+1=2；当PQ=OP时，2m2-2m+1=2；当OP=OQ时，2m2+2m+1=2m2-2m+1，再分别解关于m的方程求出m即可.

答案：(1)∵y=x2-2mx+m2+m-1=(x-m)2+m-1，∴点P的坐标为(m，m-1)，

∵当x=m时，y=x-1=m-1，∴点P在直线l上.

(2)当m=-3时，抛物线解析式为y=x2+6x+5，

当y=0时，x2+6x+5=0，解得x1=-1，x2=-5，则A(-5，0)，

当x=0时，y=x2+6x+5=5，则C(0，5)，

可得解方程组word/media/image90.gif解得word/media/image91.gif或word/media/image92.gif则P(-3，-4)，Q(-2，-3)，

作ME⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，QG⊥x轴于G，如图，

∵OA=OC=5，∴△OAC为等腰直角三角形，∴∠ACO=45°，∴∠MCE=45°-∠ACM，

∵QG=3，OG=2，∴AG=OA-OG=3=QG，∴△AQG为等腰直角三角形，∴∠QAG=45°，

∵∠APF=90°-∠PAF=90°-(∠PAQ+45°)=45°-∠PAQ，

∵∠ACM=∠PAQ，∴∠APF=∠MCE，

∴Rt△CME∽Rt△PAF，∴word/media/image87.gif，

设M(x，x2+6x+5)，∴ME=-x，CE=5-(x2+6x+5)=-x2-6x，∴word/media/image88.gif，

整理得x2+4x=0，解得x1=0(舍去)，x2=-4，

∴点M的坐标为(-4，-3).

(3)解方程组word/media/image89.gif得word/media/image94.gif或word/media/image95.gif则P(m，m-1)，Q(m+1，m)，

∴PQ2=(m+1-m)2+(m-m+1)2=2，OQ2=(m+1)2+m2=2m2+2m+1，OP2=m2+(m-1)2=2m2-2m+1，

当PQ=OQ时，2m2+2m+1=2，解得m1=word/media/image96.gif，m2=word/media/image97.gif；

当PQ=OP时，2m2-2m+1=2，解得m1=word/media/image98.gif，m2=word/media/image99.gif；

当OP=OQ时，2m2+2m+1=2m2-2m+1，解得m=0，

综上所述，m的值为0，word/media/image96.gif，word/media/image97.gif，word/media/image98.gif，word/media/image99.gif.

江苏南通中考真题数学