“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加”这是同余问题的口诀。

所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称作同余问题。
首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数，下面以4、5、6为例，请记住它们的最小公倍数是60。

1、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，
此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。
例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。
【60后面的“n”请见4、，下同】

2、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，
此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。
例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。

3、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，
此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。
例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。

4、最小公倍加：所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即上面1、2、3中的60n）都满足条件，
称为：“最小公倍加”，也称为：“公倍数作周期”。

一.求被除数类　　1. 同余加余，同差减差　　例1.某数被7除余6，被5除余3，被3除余3，求此数最小是多少？　　解：因为"被5除余3，被3除余3"中余数相同，即都是3（同余），所以要先求满足5和3的最小数，

　　一.求被除数类

　　1. 同余加余，同差减差

　　例1.某数被7除余6，被5除余3，被3除余3，求此数最小是多少？

　　解：因为"被5除余3，被3除余3"中余数相同，即都是3（同余），所以要先求满足5和3的最小数，[5、3]=15，

　　15+3=18，

　　18÷7=2……4不余6，（不对）

　　15×2=30

　　（30+3）÷7=4……5不余6（不对）

　　（15×3+3）÷7=6……6（对）

　　所以满足条件的最小数是48。

　　例2.某数被3除余2，被5除余4，被7除余5，这个数最小是多少？

　　解：因为“被3除余2，被5除余4”中都差1就可整除，即同差，所以要先满足5和3的最小数，[5、3]=15，

　　15-1=14，

　　14÷7=2……0不余5（不对）

　　（15×6-1）÷7=12……5

　　所以满足条件的最小数是89。

　　例3.一个四位数，它被131除余112，被132除余98，求这个四位数？

　　解：除数相差132-131=1，余数相差112-98=14，说明这个四位数中有14个131还余112。所以131×14+112=1946。

　　二.求除数类

　　1.若a÷c=……r；b÷c=……r.则cㄏ（a-b）.

　　例1.一个数去除551，745，1133这3个数，余数都相同。问这个数最大可能是几？

　　解：745-551=194，1133-745=388。（194，388）=194，所以这个数最大是194。

　　2.若a÷c=……r1；b÷c=……r2， r1+ r2=d.则cㄏ（a+b-d）.

　　例2.有一个整数，用它分别去除157，234和324，得到的三个余数之和是100。求这个整数？

　　解：157+324+234-100=615，615=3×5×41。100÷3=33……1，即最小的除数应大于34，小于157。所以满足条件的有41、123两个，经过验算可知正确答案为41。

　　三.求余数类

　　例1.已知整数n除以42余12，求n除余21的余数？

　　解：由已知条件可知，n=42的倍数+12=21的2倍的倍数+12。所以，n除以21的余数为12。

　　例2.有一个整数，除1200，1314，1048所得的余数都相同且大于5。问：这个相同的余数是多少？

　　解：因为

　　1314-1200=114=3×38，

　　1200-1048=152=4×38。

　　某自然数应当是这两个差的公约数，即38。又因为

　　1200÷38=31（余22）

　　1314÷38=34（余22）。

　　所以，这个相同的余数是22。

　　例3.求19901990除以3所得的余数？

　　解：由同余的性质可知：对于同一个模，同余的乘方仍同余。

　　因为，

　　1990被3除余1，即19901990≡11990≡1，

　　所以19901990除以3所得的余数为1。

　　例4.有一个77位数，它的各位数字都是1，这个数除以7，余数是多少？

　　解：根据被7整除的特征知，111111能被7整除。

　　77 ÷6=12（余5），

　　11111÷7=1587（余2）。

　　所以，这个数除以7的余数是2。

　　例5.1，1，2，3，5，8，13，……，90个数排成一列，从第三个数起，每个数都等于它前面两个数的和。那么，这90个数的和除以5的余数是多少？

　　解：这一列数被5除的余数依次为1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，……。

　　余数从头起20个数一个周期循环出现，而且这20个数的和40又恰为5的倍数。

　　90÷20=4（余10）

　　这列数中前10个数的余数和为

　　1+1+2+3+0+3+3+1+4+0=18

　　18÷5=3（余3）

　　所以，这90个数的和除以5的余数为3。

　　练习题：

　　1. 一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少？

　　2. 已知整数n除以3余2，求n除以12的余数？

　　3. 某数除以13余5，除以17余8，除以21余4，求此数最小是多少？

　　4. 号码分别为101，126，173，193的四个运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数。那么，打球盘数最多的运动员打了多少盘？

　　5. 求21000除以13的余数是多少？

　　6. 当n是1到1992之间的一个自然数时，把它的各位数字相加，如果它的和不是一个一位数，那么把它的各位数再相加，如此继续下去，直到得到一个从1到9的一位数为止（例如：468→18→9）。问在1到1992这1992个自然数经过上述方法处理后所得的1992个一位数中，3多还是4多？多几个？

　　7. 由2000个2组成的数除以13，所得的余数是几？

余数问题