变量间的相关关系与统计案例

检测题与详解答案

A级——保大分专练

1．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图①，对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图②.由这两个散点图可以判断(　　)

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A．变量x与y正相关，u与v正相关

B．变量x与y正相关，u与v负相关

C．变量x与y负相关，u与v正相关

D．变量x与y负相关，u与v负相关

解析：选C　由散点图可得两组数据均线性相关，且图①的线性回归方程斜率为负，图②的线性回归方程斜率为正，则由散点图可判断变量x与y负相关，u与v正相关．

2．(2019·长沙模拟)为了解某社区居民购买水果和牛奶的年支出费用与购买食品的年支出费用的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计表：

根据上表可得回归方程0283e95dc788b81b63b1468fef5a9265.png＝ded10e74473a8d0b92eb29d5a08f4524.pngx＋8776956c7829d0b8b5debc2ec7a318aa.png，其中ded10e74473a8d0b92eb29d5a08f4524.png＝0.59，8776956c7829d0b8b5debc2ec7a318aa.png＝cce0594fc8a89da461a5795269434137.png－ded10e74473a8d0b92eb29d5a08f4524.png 4007c8b864a115f37e9a68fe968c462c.png，据此估计，该社区一户购买食品的年支出费用为3.00万元的家庭购买水果和牛奶的年支出费用约为(　　)

A．1.795万元　　　　　　 B．2.555万元

C．1.915万元 D．1.945万元

解析：选A　4007c8b864a115f37e9a68fe968c462c.png＝126f8d196d9a1d04aab0b871fe021416.png×(2.09＋2.15＋2.50＋2.84＋2.92)＝2.50(万元)，cce0594fc8a89da461a5795269434137.png＝126f8d196d9a1d04aab0b871fe021416.png×(1.25＋1.30＋1.50＋1.70＋1.75)＝1.50(万元)，其中ded10e74473a8d0b92eb29d5a08f4524.png＝0.59，则8776956c7829d0b8b5debc2ec7a318aa.png＝cce0594fc8a89da461a5795269434137.png－ded10e74473a8d0b92eb29d5a08f4524.png 4007c8b864a115f37e9a68fe968c462c.png＝0.025，0283e95dc788b81b63b1468fef5a9265.png＝0.59x＋0.025，故年支出费用为3.00万元的家庭购买水果和牛奶的年支出费用约为0283e95dc788b81b63b1468fef5a9265.png＝0.59×3.00＋0.025＝1.795(万元)．

3．下面四个命题中，错误的是(　　)

A．从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每15分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样

B．对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大

C．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0

D．在回归直线方程0283e95dc788b81b63b1468fef5a9265.png＝0.4x＋12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.4个单位

解析：选C　两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故C错误．

4．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：

则下面的正确结论是(　　)

附表及公式：

K2＝aea21e41bfbbf7e52ef494fe0761f5b2.png，n＝a＋b＋c＋d.

A．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”

D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”

解析：选A　由列联表得到a＝45，b＝10，c＝30，d＝15，则a＋b＝55，c＋d＝45，a＋c＝75，b＋d＝25，ad＝675，bc＝300，n＝100，计算得K2的观测值k＝aea21e41bfbbf7e52ef494fe0761f5b2.png＝36fffde7e9a57f2575b5d8ce1af7423b.png≈3.030.因为2.706<3.030<3.841，所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．

5．为了研究工人的日平均工作量是否与年龄有关，从某工厂抽取了100名工人，且规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，列出的2×2列联表如下：

有________以上的把握认为“工人是否为‘生产能手’与工人的年龄有关”．

解析：由2×2列联表可知，K2＝fcf5bfe65c5903e20635ad0448a9037b.png≈2.93，因为2.93>2.706，所以有90%以上的把握认为“工人是否为‘生产能手’与工人的年龄有关”．

答案：90%

6．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：

则y关于t的回归方程是________________．

解析：由表中数据得n＝5，fd302152a6f2f7efd93771a0bebc10dc.png＝13d68a960d512ecdbb302fc3418bedf1.png0a31761384dd2944f0446376ee8fa5fc.pngi＝d2bc1fb2ea42e132df7945b592bc95fa.png＝3，cce0594fc8a89da461a5795269434137.png＝13d68a960d512ecdbb302fc3418bedf1.pngeb72f328927cd52d7d2eacd33f705145.pngi＝b8ae8ab766bce421cb8c53b04c18f6a6.png＝7.2.

又0a31761384dd2944f0446376ee8fa5fc.pngabd64a70623c686ac3e6fdca4cac3d2d.png－n fd302152a6f2f7efd93771a0bebc10dc.png2＝55－5×32＝10，0a31761384dd2944f0446376ee8fa5fc.pngiyi－n fd302152a6f2f7efd93771a0bebc10dc.png cce0594fc8a89da461a5795269434137.png＝120－5×3×7.2＝12.

从而ded10e74473a8d0b92eb29d5a08f4524.png＝ecc8d0e6ee78e4e879b0dfc2d26fb6b7.png＝6af4e945ea5c76d88ffb7c624d5d5f15.png＝1.2，

8776956c7829d0b8b5debc2ec7a318aa.png＝cce0594fc8a89da461a5795269434137.png－ded10e74473a8d0b92eb29d5a08f4524.png fd302152a6f2f7efd93771a0bebc10dc.png＝7.2－1.2×3＝3.6，

故所求回归方程为0283e95dc788b81b63b1468fef5a9265.png＝1.2t＋3.6.

答案：0283e95dc788b81b63b1468fef5a9265.png＝1.2t＋3.6

7．某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出x(万元)和销售量y(万台)的数据如下：

(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程；

(2)若用y＝c＋d66f0d9f19c1b01cf4ea57afa77b0b856.png模型拟合y与x的关系，可得回归方程0283e95dc788b81b63b1468fef5a9265.png＝1.63＋0.9966f0d9f19c1b01cf4ea57afa77b0b856.png，经计算线性回归模型和该模型的R2分别约为0.75和0.88，请用R2说明选择哪个回归模型更好；

(3)已知利润z与x，y的关系为z＝200y－x.根据(2)的结果，求当广告费x＝20时，销售量及利润的预报值．

参考公式：回归直线0283e95dc788b81b63b1468fef5a9265.png＝8776956c7829d0b8b5debc2ec7a318aa.png＋ded10e74473a8d0b92eb29d5a08f4524.pngx的斜率和截距的最小二乘估计分别为

ded10e74473a8d0b92eb29d5a08f4524.png＝8462b93257cc43dbc172847a626630ac.png＝addc7e2bf710dd303a936cad145b9dc2.png，8776956c7829d0b8b5debc2ec7a318aa.png＝cce0594fc8a89da461a5795269434137.png－ded10e74473a8d0b92eb29d5a08f4524.png 4007c8b864a115f37e9a68fe968c462c.png.

参考数据：a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png≈2.24.

解：(1)∵4007c8b864a115f37e9a68fe968c462c.png＝8，cce0594fc8a89da461a5795269434137.png＝4.2，d5e165e182293dc0731f81138a771bbb.pngiyi＝279.4，d5e165e182293dc0731f81138a771bbb.pngabd64a70623c686ac3e6fdca4cac3d2d.png＝708，

∴ded10e74473a8d0b92eb29d5a08f4524.png＝4a4f7c550351183b0b8c6b11768f0f6f.png＝bbcc344a677cd4f86b36a2ca2e6b7b4f.png＝0.17，8776956c7829d0b8b5debc2ec7a318aa.png＝cce0594fc8a89da461a5795269434137.png－ded10e74473a8d0b92eb29d5a08f4524.png 4007c8b864a115f37e9a68fe968c462c.png＝4.2－0.17×8＝2.84，

∴y关于x的线性回归方程为0283e95dc788b81b63b1468fef5a9265.png＝0.17x＋2.84.

(2)∵0.75＜0.88且R2越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好，

∴选用0283e95dc788b81b63b1468fef5a9265.png＝1.63＋0.9966f0d9f19c1b01cf4ea57afa77b0b856.png更好．

(3)由(2)知，当x＝20时，销售量的预报值0283e95dc788b81b63b1468fef5a9265.png＝1.63＋0.993f92164e719abe7aeb49818ddc549dc0.png≈6.07(万台)，利润的预报值z＝200×(1.63＋0.993f92164e719abe7aeb49818ddc549dc0.png)－20≈1 193.04(万元)．

B级——创高分自选

1．(2018·江门一模)为探索课堂教学改革，江门某中学数学老师用“传统教学”和“导学案”两种教学方式分别在甲、乙两个平行班进行教学实验．为了解教学效果，期末考试后，分别从两个班级各随机抽取20名学生的成绩进行统计，得到如下茎叶图．记成绩不低于70分者为“成绩优良”.

(1)请大致判断哪种教学方式的教学效果更佳，并说明理由；

(2)构造一个教学方式与成绩优良的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．

附：K2＝aea21e41bfbbf7e52ef494fe0761f5b2.png，其中n＝a＋b＋c＋d.

临界值表：

解：(1)“导学案”教学方式教学效果更佳．

理由1：乙班样本数学成绩大多在70分以上，甲班样本数学成绩70分以下的明显更多．

理由2：甲班样本数学成绩的平均分为70.2；乙班样本数学成绩的平均分为79.05.

理由3：甲班样本数学成绩的中位数为f0cf60b8a3f9325b0c7999bc223f5626.png＝70，乙班样本数学成绩的中位数为51fb34ed48dd0f0c79dc46d2cf518a22.png＝77.5.

(2)2×2列联表如下：

由上表数据可得K2＝70aeb549ea986e8675b6efa0be651be2.png≈3.956＞3.841，

所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．

2.(2019·广州调研)某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X(单位：小时)都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y(千克)与使用某种液体肥料的质量x(千克)之间的对应数据为如图所示的折线图．

(1)依据折线图计算相关系数r(精确到0.01)，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系；(若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)

(2)蔬菜大棚对光照要求较高，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：

对商家来说，若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪产生的周利润为3 000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1 000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周的周总利润的平均值．

相关系数公式：r＝e3ff1ae80154aedfbf872e4d266e56e5.png，

参考数据：a4050cb64689aea7c446463fc1379792.png≈0.55，09a4a3e31518a12dfa10fb6d21eec2ee.png≈0.95.

解：(1)由已知数据可得4007c8b864a115f37e9a68fe968c462c.png＝a9ed4f0841a78088137e34202ded09f0.png＝5，

cce0594fc8a89da461a5795269434137.png＝c6562a8d6a1916aefa5f81bd66dcb9ea.png＝4.

因为1e88d26fe0c3d2156d97d4c2c9376bbd.png(xi－4007c8b864a115f37e9a68fe968c462c.png)(yi－cce0594fc8a89da461a5795269434137.png)＝(－3)×(－1)＋0＋0＋0＋3×1＝6，

043b7313b68ca0347e618b64d504f240.png＝d28fdc8e74dcb443eddce7beccab0708.png＝2a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png，

24f4fe7479ce6488e0df47740e8ba1e0.png＝68ea2ee262a473bc04a96c69f71470ae.png＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png，

所以相关系数r＝d56c1af72da405ddcab22b2e146e2005.png＝21092afc1b917f1f7292d6b97c7e8308.png＝09a4a3e31518a12dfa10fb6d21eec2ee.png≈0.95.

因为|r|＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．

(2)由条件可得在过去50周里，

当X＞70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，

每周的周总利润为1×3 000－2×1 000＝1 000(元)．

当50≤X≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行，

每周的周总利润为2×3 000－1×1 000＝5 000(元)．

当30＜X＜50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，

每周的周总利润为3×3 000＝9 000(元)．

所以过去50周的周总利润的平均值为

0e208dda0eff59b5082c4e9a0e65c314.png＝4 600(元)，

所以商家在过去50周的周总利润的平均值为4 600元．

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