22.2 降次——解一元二次方程

22.2.1配方法

第1课时

教学内容

间接即通过变形运用开平方法降次解方程．

教学目标

理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．

通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．

重难点关键

1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．

2．难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们解下列方程

（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9

老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得

x=±或mx+n=±（p≥0）．

如：4x2+16x+16=（2x+4）2

二、探索新知

列出下面二个问题的方程并回答：

（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？

（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？

问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”．

大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？

问题2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？

老师点评：问题1：设总共有x只猴子，根据题意，得：

x=（x）2+12

整理得：x2-64x+768=0

问题2：设道路的宽为x，则可列方程：（20-x）（32-2x）=500

整理，得：x2-36x+70=0

（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有．

（2）不能．

既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：

x2-64x+768=0 移项→ x=2-64x=-768

两边加（）2使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2-64x+322=-768+1024

左边写成平方形式 → （x-32）2=256 降次→x-32=±16 即 x-32=16或x-32=-16

解一次方程→x1=48，x2=16

可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子．

学生活动：

例1．按以上的方程完成x2-36x+70=0的解题．

老师点评：x2-36x=-70，x2-36x+182=-70+324，（x-18）2=254，x-18=±，x-18=或x-18=-，x1≈34，x2≈2．

可以验证x1≈34，x2≈2都是原方程的根，但x≈34不合题意，所以道路的宽应为2．

例2．解下列关于x的方程

（1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0

分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．

解：（1）x2-2x=35 x2-2x+12=35+1 （x-1）2=36 x-1=±6

x-1=6，x-1=-6

x1=7，x2=-5

可以，验证x1=7，x2=-5都是x2+2x-35=0的两根．

（2）x2-2x-=0 x2-2x=

x2-2x+12=+1 （x-1）2=

x-1=±即x-1=，x-1=-

x1=1+，x2=1-

可以验证：x1=1+，x2=1-都是方程的根．

三、巩固练习

教材P38 讨论改为课堂练习，并说明理由．

教材P39 练习1 2．（1）、（2）．

四、应用拓展

例3．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．

分析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知列出等式．

解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．

根据题意，得：（8-x）（6-x）=××8×6

整理，得：x2-14x+24=0

（x-7）2=25即x1=12，x2=2

x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．

所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．

五、归纳小结

本节课应掌握：

左边不含有x的完全平方形式，左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．

六、布置作业

1．教材P45 复习巩固2．

2．选用作业设计．

一、选择题

1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ）．

A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3

2．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ）．

A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1

C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11

3．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（ ）．

A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9

二、填空题 1．方程x2+4x-5=0的解是________．

2．代数式的值为0，则x的值为________．

3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．

三、综合提高题

1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．

2．如果x2-4x+y2+6y++13=0，求（xy）z的值．

3．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？

答案:

一、1．B 2．B 3．C

二、1．x1=1，x2=-5 2．2 3．z2+2z-8=0，2，-4

三、1．（x-3）（x-1）=0，x1=3，x2=1，

∴三角形周长为9（∵x2=1，∴不能构成三角形）

2．（x-2）2+（y+3）2+=0，

∴x=2，y=-3，z=-2，（xy）z=（-6）-2=

3．设每台定价为x，则：（x-2500）（8+×4）=5000，

x2-5500x+7506250=0，解得x=2750

配方法

第2课时

教学内容

给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程．

教学目标

了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．

通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．

重难点关键

1．重点：讲清配方法的解题步骤．

2．难点与关键：把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方．

教具、学具准备

小黑板

教学过程

一、复习引入

（学生活动）解下列方程：

（1）x2-8x+7=0 （2）x2+4x+1=0

老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式，右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．

解：（1）x2-8x+（-4）2+7-（-4）2=0 （x-4）2=9

x-4=±3即x1=7，x2=1

（2）x2+4x=-1 x2+4x+22=-1+22

（x+2）2=3即x+2=±

x1=-2，x2=--2

二、探索新知

像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．

可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．

例1．解下列方程

（1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0

分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．

解：（1）移项，得：x2+6x=-5

配方：x2+6x+32=-5+32（x+3）2=4

由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5

（2）移项，得：2x2+6x=-2

二次项系数化为1，得：x2+3x=-1

配方x2+3x+（）2=-1+（）2（x+）2=

由此可得x+=±，即x1=-，x2=--

（3）去括号，整理得：x2+4x-1=0

移项，得x2+4x=1

配方，得（x+2）2=5

x+2=±，即x1=-2，x2=--2

三、巩固练习

教材P39 练习 2．（3）、（4）、（5）、（6）．

四、应用拓展

例2．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6

分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=（6x+7）+，x+1=（6x+7）-，因此，方程就转化为y的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．

解：设6x+7=y

则3x+4=y+，x+1=y-

依题意，得：y2（y+）（y-）=6

去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72

y2（y2-1）=72， y4-y2=72

（y2-）2=

y2-=±

y2=9或y2=-8（舍）

∴y=±3

当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-

当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-

所以，原方程的根为x1=-，x2=-

五、归纳小结

本节课应掌握：

配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．

六、布置作业

1.教材P45 复习巩固3．

2.作业设计

一、选择题

1．配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为（ ）．

A．（x-）2= B．（x-）2=0

C．（x-）2= D．（x-）2=

2．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．

A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0

C．（2x+1）2+3=0 D．（x-a）2=a

3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（ ）．

A．1 B．2 C．-1 D．-2

二、填空题

1．如果x2+4x-5=0，则x=_______．

2．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数．

3．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________．

三、综合提高题

1．用配方法解方程．

（1）9y2-18y-4=0 （2）x2+3=2x

2．已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求的值．

3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．

①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？

②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．

答案:

一、1．D 2．B 3．B

二、1．1，-5 2．正 3．x-y=

三、1．（1）y2-2y-=0，y2-2y=，（y-1）2=，

y-1=±，y1=+1，y2=1-

（2）x2-2x=-3 （x-）2=0，x1=x2=

2．（x+2）2+（y-3）2=0，x1=-2，y2=3，

∴原式=

3．（1）设每件衬衫应降价x元，则（40-x）（20+2x）=1200，

x2-30x+200=0，x1=10，x2=20

（2）设每件衬衫降价x元时，商场平均每天赢利最多为y，

则y=-2x2+60x+800=-2（x2-30x）+800=-2[（x-15）2-225]+800=-2（x-15）2+1250

∵-2（x-15）2≤0，

∴x=15时，赢利最多，y=1250元．

答：略

数学：22.2降次 - 解一元二次方程（配方法两课时）教案（人教新课标九年级上）