精品解析：辽宁省营口市大石桥市第三高级中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学试题(解析版

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大石桥三高中2020—2021学年度秋学期12月试
高二数学试卷
第Ⅰ卷单项选择
一、选择题（1~12单选，每题5分，共60分）
1.已知集合A1,2,3，B3,4,5，那么集合AA.【答案】D【解析】【分析】
由集合的并集运算求解即可.【详解】A故选：D
2.下列函数中是奇函数的是（）A.y2
x
B等于（）
D.1,2,3,4,5
B.3C.1,2,4,5
B1,2,33,4,51,2,3,4,5
B.y
x2C.yx
3
D.yx1
【答案】C【解析】【分析】
根据奇函数的定义逐项判断可得正确的选项.
【详解】对于A，取x0，则y10，故y2不是奇函数.对于B，取x1，则y1，对应的函数值不是相反数，故y
3
3
x
x2不是奇函数
对于C，令fxx，则其定义域为R，且fxxfx，故fxx为奇函数.
3
对于D，取x0，则y10，故yx1不是奇函数.故选：C.


【点睛】本题考查奇函数的判断，可根据定义来判断，本题属于基础题.3.已知i是虚数单位，那么1i1i（）A.1【答案】B【解析】
【分析】根据复数的运算法则，求解即可.【详解】1i1i1i112
2
B.2C.i
D.i
故选：B
【点睛】本题考查复数的运算，属于容易题.
2
4.如果函数fxx2ax在区间0,上单调递增，那么实数a的取值范围是（）
A.,0【答案】A【解析】【分析】
B.1,0，C.01D.0,
求出二次函数的对称轴，则对称轴与已知区间的关系可得结论．
2
【详解】f(xx2ax的对称轴是xa，
由题意a0，故选：A．5.函数f(xA.0,1【答案】B【解析】
【分析】本题首先可令t1x2，然后将函数f(x当t1,+时函数y的值域，即可得出结果.【详解】令t1x2，则t1,+，
1
(xR的值域是（）1x2
B.0,1
C.0,1
D.0,1
11
y转化为，最后利用反比例函数性质得出
t1x2
1
t


因为函数y在1,+上单调递减，所以当t1,+时函数y则函数f(x故选：B.
1t
1t
值域为0,1，
1
(xR值域为0,1，2
1x
【点睛】本题考查函数值域的求法，考查通过换元法求函数值域，考查反比例函数的性质，考查推理能力，是简单题.
6.“(x1(x20”是“A.充分非必要条件C.充分必要条件【答案】C【解析】
x1
0”的（）x2
x1
0”，即可判断出结论.x2x1
0”，【详解】解：“(x1(x20”“
x2
x1
“(x1(x20”是“0”的充要条件.
x2
【分析】利用“(x1(x20”“故选：C.
【点睛】本题考查了简易逻辑的判定、不等式的解法，属于基础题.7.不等式x2x20的解集是（）A.x1x2C.x2x1【答案】D【解析】
【分析】根据二次不等式的解法求解即可.
【详解】由x2x20即x1x20得x1或x2.所以原不等式的解集为：xx1或x2.
的
B.必要非充分条件D.非充分非必要条件B.xx2或x1D.xx1或x2





故选：D.
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，属于简单题.
8.若P：xR,x2
002x020，则p为（）
A.xx2
0R,02x020B.x2
0R,x02x020
C.xR,x2
2x20D.xR,x2
2x20
【答案】D【解析】【分析】
根据特称命题的否定形式直接判断选项.
【详解】特称命题“x2
0R,x02x020，”的否定p:xR，x22x20.
故选：D
9.已知函数yax
，ybx，yc
x
图象如图所示，则实数a，b，c的大小关系是（
A.abcbacC.bcaD.cba
【答案】D【解析】
【分析】取x1，根据指数函数的图象可得结果的
B..
【详解】当x取1时，三个函数的函数值分别为a，b，c，由图知abc.
）


故选：D.
【点睛】本题考查了指数函数的图象的应用，属于基础题.

10.已知幂函数f(xx的图象过点P(2,4，则（）
A.
12
B.1C.2D.3
【答案】C【解析】
【分析】根据幂函数的解析式，代入点P的坐标，即可求解.
【详解】由题意，幂函数f(xx的图象过点P(2,4，可得24，解答2.故选：C.
【点睛】本题主要考查了幂函数的概念及解析式的应用，考查了计算能力，属于容易题.11.计算tan

5π
的结果是（）4
B.
A.1【答案】D【解析】【分析】
由诱导公式求解即可.【详解】tan
22
C.
22
D.1
5πππ
tantan1444
故选：D
12.已知是第二象限角，且sinA.
4
，则sin2=（）5
C.
1225
B.
24251225
D.
2425
【答案】D【解析】【分析】


由题可求出cos，再由二倍角公式可求出sin2.【详解】
是第二象限角，且sin
4，5
3
cos1sin2，
5
4324
sin22sincos2.
5525
故选：D.
【点睛】本题考查同角三角函数的关系，考查二倍角公式的应用，属于基础题.
第Ⅱ卷非选择题
二、填空题（每题5分，共20分）
13.已知函数f(xlg(x1，则f(9__________．【答案】1【解析】
f9）=lg101，故填1.【详解】根据解析式，（
14.已知向量m1,2，向量nx,1，若m//n，则x_______．【答案】【解析】
【分析】根据向量平行的坐标表示，即可求得x的值.【详解】
1
2
m//n，
1.2
112x0，解得：x
故答案为：
12
现从袋中随机摸出一个球，摸到白球的概率为____________.15.袋中仅有大小相同的2个红球和1个白球，【答案】
1
3
【解析】
【分析】先计算从3个球中摸出1个球的可能，再计算满足题意的可能，根据古典概型概率计算公式即可求得.
【详解】由题可知，从3个球中摸出1个球有3种可能；


满足题意的有1种可能，
故从袋中随机摸出一个球，摸到白球的概率P故答案为：
1.3
1.3
【点睛】本题考查古典概型的概率计算，属基础题.
x02,
，则f1_______.16.已知函数fx
lnx,x0
【答案】2【解析】
【分析】当x0时，fx2，当x0时，fxlnx，直接计算，即可【详解】因为10，所以f12.故答案为：2
【点睛】本题考查分段函数求值，属于容易题.
三、解答题（共70分）
17.平面内给定三个向量a3,2，b1,2，c4,1（1）求3a2b2c；
（2）若akc//2ab，求实数k的值.【答案】（1）65；（2）k【解析】
【分析】（1）先根据平面向量的坐标计算3a2b2c，再根据平面向量的模长计算公式进行计算；（2）根据向量平行的条件即可得出.
【详解】解：（1）∵3a2b2c9,62,48,21,8∴3a2b2c65；
（2）∵akc3,24k,k4k3,k2，2ab7,2，且akc//2ab
∴24k37k20k8.
【点睛】本题考查平面向量平行的坐标表示以及模长计算，熟记公式是解题的关键，属于基础题.

8.



18.已知二次函数fx满足fx1fx2x且f01．（1）求fx的解析式；
（2）在区间1,1上求yfx的值域．
2
【答案】（1）fxxx1；（2）,3.
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法可求得结果；（2）根据二次函数知识可求得结果
2
详解】（1）设二次函数fxaxbxca0，
【
又
f01，c1，fxax2bx1；
2
fx1fx[ax12bx11axbx12axab2x，

a1，b1；2a2且ab0，
fxx2x1．
（2）
13yfxx2x1(x2，
24
在区间11，上，当x1时，函数fx有最小值f(xmin3；当x1时，函数fx有最大值
42
.
3
4

f(xmax3；
3，3．，yfx在区间11上的值域是4
19.已知向量a2sinx,1，b2cosx,1，xR．（1）当x

4
时，求向量ab的坐标；
（2）设函数f(xab，将函数f(x图象上所有点向左平移

个单位长度得到g(x的图象，当4

x0,时，求函数g(x的最小值．
2


【答案】（1）ab22,2；（2）1．【解析】
【分析】（1）代入数据即可求解；
（2）先根据二倍角的正弦公式化简函数f(x，再得到函数g(x的解析式，再根据三角函数的性质即可求出答案．
【详解】解：（1）当x∴ab22,2；
（2）∵a2sinx,1，b2cosx,1，∴f(xab4sinxcosx12sin2x1，


4
时，a

2,1，b

2,1，


∵函数f(x图象上所有点向左平移

个单位长度得到g(x的图象，4
∴g(x2sin2x


12cos2x1，4
∵x0,

，∴2x0,，∴cos2x1,1，∴gx1,3，2
∴g(x的最小值为1．
【点睛】本题主要考查向量线性运算的坐标表示，考查三角函数的化简与性质，属于基础题．20.如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，CBCD，M,N分别是AD,BD的中点.

（1）求证：MN//平面ABC；


（2）求证：BD平面CAN.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】
（1）由MN//AB即可证明；（2）证明ANBD和CBCD即可.【详解】（1）
ABD中，M,N分别是AD,BD的中点，
MN//AB,
MN平面ABC，AB平面ABC，
MN//平面ABC；
（2）
ABAD，N是BD中点，ANBD，
CBCD，CNBD，
ANCNN，BD平面CAN.
【点睛】本题考查线面平行和线面垂直的证明，属于基础题.21.在△ABC中，3acosB＝bsinA．（1）求∠B；
（2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．
【答案】（1）【解析】【分析】
23
；（2）．33
（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解tanB，进而可求B；（2）由余弦定理及已知条件可求a，c的值，然后结合三角形的面积公式可求．【详解】解：（1）在△ABC中，由正弦定理，因
3acosBbsinA，


所以3sinAcosBsinBsinA，因为sinA≠0，
所以3cosBsinB，所以tanB3，因为0＜B＜π，所以B

3
，
（2）因为b＝2，c＝2a，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得4a4a2a2a
2
2
1，2
所以a
2343
，c，
33
112343323
．acsinB
223323
所以S
ABC
【点睛】此题考查正、余定理的应用，考查三角恒等变换有应用，考查三角形面积公式的应用，属于中档题
受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，22.2020年春季，
复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时，随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值;（2）估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.


【答案】（1）25小时；（2）0.3.【解析】【分析】
（1）根据直方图，频率最大的区间中点横坐标为众数即可求众数；（2）由学习的周均时长不少于30小时的区间有[30,40、[40,50，它们的频率之和，即为该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.【详解】（1）根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数，∴由频率最大区间为[20,30，则众数为
2030
25；2
（2）由图知：不少于30小时的区间有[30,40、[40,50，
∴该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率P0.03100.3.
【点睛】本题考查了根据直方图求众数、概率，应用了众数的概念、频率法求概率，属于简单题.

精品解析：辽宁省营口市大石桥市第三高级中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学试题(解析版

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