2017年广西高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅲ）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．(★)已知集合A={（x，y）|x 2+y 2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（　　）

A．3 B．2 C．1 D．0

2．(★)设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（　　）

A． B． C． D．2

3．(★)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．



根据该折线图，下列结论错误的是（　　）

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

4．(★)（x+y）（2x-y） 5的展开式中的x 3y 3系数为 （　　）

A．-80 B．-40 C．40 D．80

5．(★★)已知双曲线C： - =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x，且与椭圆 + =1有公共焦点，则C的方程为（　　）

A．-=1 B．-=1 C．-=1 D．-=1

6．(★★)设函数f（x）=cos（x+ ），则下列结论错误的是（　　）

A．f（x）的一个周期为-2π

B．y=f（x）的图象关于直线x=对称

C．f（x+π）的一个零点为x=

D．f（x）在（，π）单调递减

7．(★★)执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

8．(★★)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　）

A．π B． C． D．

9．(★)等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n}前6项的和为（　　）

A．-24 B．-3 C．3 D．8

10．(★★)已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为（　　）

A． B． C． D．

11．(★★★)已知函数f（x）=x 2-2x+a（e x-1+e -x+1）有唯一零点，则a=（　　）

A．- B． C． D．1

12．(★★)在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若 =λ +μ ，则λ+μ的最大值为（　　）

A．3 B．2 C． D．2

二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．(★★★)若x，y满足约束条件 ，则z=3x-4y的最小值为 -1 ．

14．(★★★)设等比数列{a n}满足a 1+a 2=-1，a 1-a 3=-3，则a 4= -8 ．

15．(★★★)设函数f（x）= ，则满足f（x）+f（x- ）＞1的x的取值范围是 （ ，+∞） ．

16．(★★★)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；

②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

③直线AB与a所成角的最小值为45°；

④直线AB与a所成角的最小值为60°；

其中正确的是 ②③ ．（填写所有正确结论的编号）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。

17．(★★★)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2．

（1）求c；

（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

18．(★★★)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

19．(★★★)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D-AE-C的余弦值．

20．(★★★★★)已知抛物线C：y 2=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．

（1）证明：坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．

21．(★★★★★)已知函数f（x）=x-1-alnx．

（1）若f（x）≥0，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，求m的最小值．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．(★★★)在直角坐标系xOy中，直线l 1的参数方程为 ，（t为参数），直线l 2的参数方程为 ，（m为参数）．设l 1与l 2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ（cosθ+sinθ）- =0，M为l 3与C的交点，求M的极径．

[选修4-5：不等式选讲]

23．(★★★★★)已知函数f（x）=|x+1|-|x-2|．

（1）求不等式f（x）≥1的解集；

（2）若不等式f（x）≥x 2-x+m的解集非空，求m的取值范围．

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