乐山市2009年高中阶段教育学校招生考试

数 学

第Ⅰ卷（选择题　共30分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求

1．下列各数中，最小的是（ ）

A． B． C． D．

2．温家宝总理在2009年的《政府工作报告》中指出：为应对国际金融危机，实施总额4万亿元的投资计划，刺激经济增长，4万亿元用科学计数法表示为（ ）

A．元 B．元 C．元 D．元

3．如图（1）， 和相交于点，则（ ）

A． 　 B．

C．　　　 D．

4．下列命题中，假命题是（ ）

A．两点之间，线段最短

B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形

D．对角线相等的四边形是矩形

5．如果实数满足且不等式的解集是那么函数的图象只可能是（ ）

6．为了解初三学生的体育锻炼时间，小华调查了某班45名同学一周参加体育锻炼的情况，并把它绘制成折线统计图（如图（2）所示）．那么关于该班45名同学一周参加体育锻炼时间的说法错误的是（ ）

A．众数是9

B．中位数是9

C．平均数是9

D．锻炼时间不低于9小时的有14人

7．在中央电视台2套“开心辞典”节目中，有一期的某道题目是：如图（3）所示，天平中放有苹果、香蕉、砝码，且两个天平都平衡，则一个苹果的重量是一个香蕉的重量的（ ）

A．倍　 B．倍

C．倍　 D．倍

8．如图（4），一圆锥的底面半径为2，母线的长为6，为的中点．一只蚂蚁从点出发，沿着圆锥的侧面爬行到点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）

A．　 B．

C．　 D．

9．已知是关于的方程的根，则常数的值为（ ）

A．0　　　　B．1 　　　C．0或1 　　　 D．0或-1

10．如图（5），在中，为的内切圆，点是斜边的中点，则（ ）

A． 　B． 　C． 　　D．2

第Ⅱ卷（非选择题　共120分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．把答案填在题中的横线上．

11．的相反数是 ．

12．分解因式： ．

13．若实数在数轴上对应的点的位置如图（6）所示，则化简的结果是 ．

14．如图（7），为的直径，弦于点连结若则的周长等于 ．

15．已知正比例函数反比例函数由构造一个新函数其图象如图（8）所示．（因其图象似双钩，我们称之为“双钩函数”）．给出下列几个命题：

①该函数的图象是中心对称图形；

②当时，该函数在时取得最大值-2；

③的值不可能为1；

④在每个象限内，函数值随自变量的增大而增大．

其中正确的命题是 ．（请写出所有正确的命题的序号）

16．如图（9），过上到点的距离为1，3，5，7，…的点作的垂线，分别与相交，得到图（9）所示的阴影梯形，它们的面积依次记为…．则

（1） ；

（2）通过计算可得 ．

三、本大题共3小题，每小题9分，共27分.

17．解不等式组

18．如图（10），在等腰梯形中，是边上的一点，过点作交边于点是的中点，连结并延长交的延长线于点求证：

19．若实数满足求代数式的值．（要求对代数式先化简，再求值．）

四、本大题共3小题，每小题10分，共30分.

20．图（11）是由边长为1的小正方形组成的方格图．

（1）请在方格图中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为；

（2）在轴上画点，使是以为腰的等腰三角形，并写出所有满足条件的点的坐标．（不写作法，保留作图痕迹）

21．如图（12），一次函数的图象分别交轴、轴于两点，为的中点，轴于点，延长交反比例函数的图象于点，且

（1）求的值；

（2）连结求证：四边形是菱形．

22．一个不透明的口袋里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个．若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为．

（1）求口袋中红球的个数；

（2）把口袋中的球搅匀后摸出一个球，放回搅匀再摸出第二个球，求摸到的两个球是一红一白的概率．（请结合树状图或列表加以解答）

五、本大题共2小题，每小题10分，共20分.

23．本题为选做题，从甲、乙两题中选做一题即可，如果两题都做，只以甲题计分．

甲题：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．

（1）求的取值范围；

（2）若求的值．

乙题：如图（13），在正方形中，分别是边上的点，连结并延长交的延长线于点

（1）求证：；

（2）若正方形的边长为4，求的长．

我选做的是___________．

24．如图（14），某学习小组为了测量河对岸塔的高度，在塔底部点的正对岸点处，测得塔顶点的仰角为

（1）若河宽是36米，求塔的高度；（结果精确到0.1米）

（2）若河宽的长度不易测量，如何测量塔的高度呢？小强思考了一种方法：从点出发，沿河岸前行米至点处，若在点处测出的度数，这样就可以求出塔的高度了．

小强的方法可行吗？若行，请用和表示塔的高度，若不能，请说明理由．

六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共计25分.

25．如图（15），在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为秒．

（1）求边的长；

（2）当为何值时，与相互平分；

（3）连结设的面积为探求与的函数关系式，求为何值时，有最大值？最大值是多少？

26．如图（16），在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与轴交于两点，为抛物线的顶点，为坐标原点．若的长分别是方程的两根，且

（1）求抛物线对应的二次函数解析式；

（2）过点作交抛物线于点，求点的坐标；

（3）在（2）的条件下，过点任作直线交线段于点求到直线的距离分别为，试求的最大值．

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数学试题参考答案及评分意见

一、选择题：每小题3分，10小题，共计30分

1．A 　2．Ｃ　 3．Ｂ　4．Ｄ　5．Ａ　6．Ｄ　7．Ｂ　8．Ｃ　9．Ｃ　10．Ｄ

二、填空题：每小题3分，６小题，共计18分

11．　12．．　13．　 14．　15．　16．　

注：第15题填对一个得1分，填对2个得2分，填对3个得3分，只要填了④都不得分；第16题第一空1分，第2空2分．

三、本大题共3小题，每小题9分，共27分

17．解：由不等式组：

解不等式①，得 3分

解不等式②，得

即

∴ 7分

由图（1）可知不等式组的解集为： 9分

18．证明：四边形为等腰梯形，

2分

4分

在和中，

5分

是的中点， 6分

而（对顶角相等），

7分

9分

19．解：

1分

解得： 3分

= 5分

= 7分

将代入，

则上式= 9分

四、本大题共3小题，每小题10分，共30分

20．解：（1）所作图形如图（2）所示． 4分

（2）以为腰的等腰三角形有其中点的坐标分别为：、、．

10分

21．解：（1）

令，得即

令，得即

2分

轴，

3分

又为的中点，为中点．

是的中位线，

4分

又

5分

把代入，得 6分

（2）证明：由（1）可知，且 8分

四边形是菱形． 10分

22． 解：（1）设口袋中红球的个数为个．

由题意得： 4分

解得

即口袋中红球的个数为2个． 7分

（2）所有可能情况列表如图，

总的可能性有25种，其中，一白一红的可能性有8种． 8分

故摸到一个是白球，一个是红球的概率为

答：摸到一个是白球，一个红球的概率为 10分

（说明：树状图略）

五、本大题共2小题，每小题10分，共20分，其中第23题为选做题．

23. 甲题：

解：（1）方程有两个不相等的实数根，

即 2分

解得 4分

（2）由根与系数的关系得： 5分

解得 8分

由（1）可知不合题意，舍去．

故 10分

乙题：

（1）证明：为正方形，

1分

3分

又

5分

（2）解：为正方形，

7分

又正方形的边长为4．

9分

10分

24. 解：（1）在中，米，

2分

取

（米）

答：塔的高度约为62.4米． 4分

（2）在中， 7分

在中，（米）．

答：塔的高度约为米． 10分

六、本大题共2小题，第25小题12分，第26小题13分，共计25分

25．解：（1）作于点，如图（3）所示，则四边形为矩形．

1分

又

2分

在中，由勾股定理得：

3分

（2）假设与相互平分．

由

则是平行四边形（此时在上）． 4分

即 5分

解得即秒时，与相互平分． 7分

（3）①当在上，即时，

作于，则

即 8分

= 9分

当秒时，有最大值为 10分

②当在上，即时，

= 11分

易知随的增大而减小．

故当秒时，有最大值为

综上，当时，有最大值为 12分

26．解：（1）解方程得

，而

则点的坐标为，点的坐标为

1分

过点作轴于则为的中点．

的坐标为

又因为

的坐标为 2分

令抛物线对应的二次函数解析式为

抛物线过点

则得

故抛物线对应的二次函数解析式为（或写成） 4分

（2） 5分

又

令点的坐标为则有 6分

点在抛物线上， 7分

化简得解得（舍去）．

故点的坐标为 8分

（3）由（2）知而

9分

过作

10分

11分

即此时的最大值为 13分

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