初中数学分类讨论思想例题分析

分类讨论思想例题分析

[线段中分类讨思想的应用]——线段及端点位置的不确定性引发讨论。

例1已知直线AB上一点C，且有CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为_3：2_或_3：4____。

练习：已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长.

解析：(1)点C在线段AB上： (2)点C在线段AB的延长线上

例2下列说法正确的是（ ）

A、两条线段相交有且只有一个交点。

B、如果线段AB=AC那么点A是BC的中点。

C、两条射线不平行就相交。

D、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。

[与角有关的分类讨论思想的应用]——角的一边不确定性引发讨论。

例3在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的大小。（20°或50°）

[练习] 已知,过O作一条射线OC，射线OE平分，射线OD平分，求的大小。

（1）射线OC在内 （2）射线OC在外

这两种情况下，都有

小结：（对分类讨论结论的反思）——为什么结论相同虽然的大小不确定，但是所求的与的大小无关。我们虽然分了两类，但是结果是相同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节——总结的重要性。

[三角形中分类讨论思想的应用]

一般有以下四种类型：一是由于一般三角形的形状不确定而进行的分类；二是由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类；三是由于直角三角形的斜边不确定而进行的分类；四是由于相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。

1、三角形的形状不定需要分类讨论

例4、 在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC上的高，并且，则∠BCA的度数为_____________。

解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。如图1，当△ABC的高在形内时，由， 得△ABD∽△CAD，进而可以证明△ABC为直角三角形。由 ∠B＝25°。可知∠BAD＝65°。所以∠BCA＝∠BAD＝65°。 如图2，当高AD在形外时，此时△ABC为钝角三角形。由

，得△ABD∽△CAD所以∠B＝∠CAD＝25°

∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115°

2、等腰三角形的分类讨论：

a、在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类讨论。

例5、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。

[练习]若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。

简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形。若设这个等腰三角形的腰长是cm，底边长为cm，可得或解得或即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm。

b、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分情况讨论。

例6、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ）

A. 30° B. 75° C. 105° D. 30°或75°

[练习]1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。

简析：依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为45°，图2中顶角为135°。

2、在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________。

3、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论

例7、 已知x，y为直角三角形两边的长，满足，则第三边的长为_____________。

解析：由，可得且

分别解这两个方程，可得满足条件的解，或

由于x，y是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。

当两直角边长分别为2，2时，斜边长为；

当直角边长为2，斜边长为3时，另一直角边的长为；

当一直角边长为2，另一直角边长为3时，斜边长为。

综上，第三边的长为或或。

4、相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。

例8、如图所示，在中，是的中点，过点的直线交于点，若以为顶点的三角形和以为顶点的三角形相似，则的长为（ ）

(A)3 (B)3或 (C)3或 (D)

析解：由于以为顶点的三角形和以为顶点的三角形有一个公共角（），因此依据相似三角形的判定方法，过点的直线应有两种作法：一是过点作∥，这样根据相似三角形的性质可得，即，解得；二是过点作，交边于点，这时，于是有，即，解得. 所以的长为3或，故应选(B)。

四、本节小结

分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法。线段及端点的不确定；角的一边不确定；三角形形状不确定；等腰三角形腰或顶角不确定；直角三角形斜边不确定；相似三角形对应角（边）不确定等，都需要我们正确地运用分类讨论的思想进行解决。分类讨论思想不仅可以使我们有效地解决一些问题，同时还可以培养我们的观察能力和全面思考问题的能力。

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