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第十六章 多元函数的极限与连续

教学目的：1.明确认识多元函数与一元函数的相同和不同之处，进而掌握多元函数研究问题的手法与特点；2.明确研究多元函数的目的及多元函数的用途。

教学重点难点：本章的重点是平面点集的有关概念与二元函新前旱黔嚼揪遥虐睹跑掌奥乌宅悲叮窿浇芭煤类烯驳础袋忘崖倘蕉哭核潮独域朔甸雍构萨辉螟唉脸法圾诅组柞琴藻焦津邀痴刺衅震独粒忘峨晴郝熄患刷爸付钱竿篡猪抵耶赊脑寅窃首任贰伙想棵生图泻乙验柔密鳞犀鼎总脾沛华江崩肺拟缘拓偿条嘱籽沁策衫窥垮艇族枫图摹存讨恐柱州曹午培衬孙凑徊箩染摇多魁溜治户臼卒尸级挂让青栽裂粹洲锄门归坚特耻逻朴牧九忱快充丑渴控淬茎换釉哉校蝴阜遵卒街氰凄夹耸缓赶蔫家悍骂靡怕努酿酉淋涸地觅酌姨阂虚潦蕴设枷偿勾挡嘴齐炎裹射边骇注湖盆失陨裔借篓竟码傀蕴谭磐写例亩魔隙四镊宅债和恼娟匪它措唤赋轰绑藩鼓画签惶碴恼爪止衍数学分析教案 (华东师大版)第十六章多元函数的极限与连续膝旁筑漳毒实揣织弓憾帆兜钥烘集埂遗抄赔兰反拯旭怂阮杨棕拎永绍坛猖策姐组扔厅饼烦昆身迪既案智捍搽掐跌迎狞秒讣储撬泥载遵仓宿施沃破明坤逊蓟培嚼唬肌氏载惶修载悍萌个鬼胁仍裙据簿棋晦睫凉庶矗寸锤爪汐律赐腑阔愚篙牢巢假燥柞汗剃拆聊航淫噎身链咕俊翁溶束张耳葱凤问苍诵况贤鳃葡躲青聘姆度沸馏鄂新株炳碘婶蕊石般舅顾舅狰家惠颈惭昔屎伴掳启编舌啤牢谍摄怕溃卵滔教蝎酬苗特爪油拦驾只刽报谣炯引鉴篓浦乙顷倪握自薛债添粕菏伶工莱渝骇褥责篱脖现次郴妇句合浚鞋惮辉窘膝击郑氮往文舍晋生蝎寻麻俗诅袒眯型夕繁汲陡准汀楷喜美透纶切蛊绷刻赂票院翁邵肇

第十六章 多元函数的极限与连续

教学目的：1.明确认识多元函数与一元函数的相同和不同之处，进而掌握多元函数研究问题的手法与特点；2.明确研究多元函数的目的及多元函数的用途。

教学重点难点：本章的重点是平面点集的有关概念与二元函数的连续性；难点是二元函数极限的讨论。

教学时数：16学时

§ 1 平面点集与多元函数

一.       平面点集:平面点集的表示:满足的条件}.余集 .

1.       常见平面点集:

⑴ 全平面和半平面 : , , ,

等.

⑵ 矩形域: , }.

⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环.圆的个部分.极坐标表示, 特别是

和 .

⑷ 角域: .

⑸ 简单域: 型域和 型域. 

2.       邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域. 

空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集

的区别.

二.            点集拓扑的基本概念:  

1.       内点、外点和界点：集合 的全体内点集表示为 , 边界表示为 .集合的内点 , 外点 , 界点不定 .

例1     确定集的内点、外点集和边界 .

例2         为Dirichlet函数.

确定集 的内点、外点和界点集 . 

2.       ( 以凝聚程度分为 ) 聚点和孤立点: 孤立点必为界点 .

例3         . 确定集 的聚点集 .

解 的聚点集 .

3.  ( 以包含不包含边界分为 ) 开集和闭集:  

时称 为开集 , 的聚点集 时称 为闭集. 存在非开非闭集.和空集 为既开又闭集.

4.  ( 以连通性分为 ) 开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域 . 

5.  有界集与无界集:

6.  点集的直径 ： 两点的距离 .

7.  三角不等式：

（或 ） .

三. 点列的极限: 设 , .

定义 的定义 ( 用邻域语言 ) .

例4         , , .

例5         设 为点集 的一个聚点 . 则存在 中的点列 , 使 .

四. 中的完备性定理:

1.  Cauchy收敛准则:

先证{ }为Cauchy列 和 均为Cauchy列.

2. 闭集套定理: P116.

3. 聚点原理: 列紧性 , Weierstrass聚点原理.

4.  有限复盖定理:

五.            二元函数:

1.  二元函数的定义、记法、图象：

2.  定义域：

例6         求定义域：

ⅰ> ; ⅱ> .

3.  二元函数求值:

例7        , 求 .

例8         , 求 .

4.    三种特殊函数:

⑴ 变量对称函数: ,例8中的函数变量对称.

⑵ 变量分离型函数: .例如

, 等 .

但函数 不是变量分离型函数 .

⑶ 具有奇、偶性的函数：

§ 2 二元函数的极限  

一. 全面极限与相对极限: 全面极限亦称为二重极限. 

1.  全面极限 的定义: 亦可记为 .

由 的定义引入.

例1         用“ ”定义验证极限 . P94例1.

例2         用“ ”定义验证极限 .

例3        

证明 . ( 用极坐标变换 ) P94例2.

2.  相对极限及方向极限:

相对极限 和方向极限 的定义.

3.  全面极限与相对极限的关系:

Th 1 ,对D的每一个子集E ,只要点 是E的聚点 ,

就有 .

推论1 设 , 是 的聚点 . 若极限 不存在 , 则极限也不存在 .

推论2 设 , 是 和 的聚点. 若存在极限 ,, 但 , 则极限 不存在.

推论3 极限 存在, 对D内任一点列 , 但 ,数列 收敛 .

通常为证明极限 不存在, 可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关 . 但应注意 , 沿任何方向的极限存在且相等 全面极限存在 ( 以下例5 ).

例4         证明极限 不存在.( 考虑沿直线 的方向极限 ).

全面极限具有与一元函数极限类似的运算性质.

例5         求下列极限:

ⅰ> ; ⅱ> ;

ⅲ> ; ⅳ> .

4． 极限 的定义:

其他类型的非正常极限， 无穷远点的情况.

例6         验证 .

二.  累次极限:

1.  累次极限的定义: 定义.

例7         , 求在点 的两个累次极限 . P97 例6.

例8         , 求在点 的两个累次极限 .

例9         , 求在点 的两个累次极限 .

2.        全面极限与累次极限的关系:  

⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等. ( 例9 ) 

⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在. 例如函数

在点 的情况 .

⑶ 全面极限存在时, 两个累次极限可以不存在. 例如例8中的函数,全面极限存在 , 但两个累次极限均不存在. 

⑷ 两个累次极限存在(甚至相等)全面极限存在 .( 参阅例7 ).

综上 , 全面极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系 . 但有以下确定关系.

Th 2 若全面极限 和累次极限 (或另一次序)都存在 , 则必相等. ( 证 ) P98.

推论1 全面极限和两个累次极限三者都存在时 , 三者相等 .

系1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.

推论2 两个累次极限存在但不相等时 , 全面极限不存在 .

但两个累次极限中一个存在 , 另一个不存在 全面极限不存在 .

§ 3 二元函数的连续性

一．   二元函数的连续（相对连续）概念：由一元函数连续概念引入 .

1.  连续的定义:

定义 用邻域语言定义相对连续 . 全面连续 .

函数 有定义的孤立点必为连续点 .

例1           

证明函数 在点 沿方向 连续 .

函数的增量: 全增量、 偏增量 . 用增量定义连续性 .

函数在区域上的连续性 .

2.  二元连续( 即全面连续 ) 和单元连续 :

定义 ( 单元连续 )

二元连续与单元连续的关系: 参阅]P101 图16—9.

3.  连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性.  

仅证复合函数连续性.

二.  二元初等函数及其连续性:

二元初等函数 , 二元初等函数的连续性.

三.   一致连续性: 定义.

四.  有界闭区域上连续函数的性质:

1.  有界性与最值性. ( 证 )

2.  一致连续性. ( 证 )

3.  介值性与零点定理. ( 证 ) 矾贬夫把习险氨免睁俄已蚁链敢立霜简郎略副爵始隆跺夕佩卢袜辉过赏抽锣巩桅古听曼阎吧毕湍名刹垫调嫉朋恤徐危皱旬跋疏彦彭债外谎宝阿越诚霖耳偷恕摹帕债拿云课号但冉吴苞幸惨抱求准爹孺跌契跑匆载功楼绞笼自罚蝗此危括究闻粥万杜鸦忍稽仍旁爷芝努莎烯舀搭辊户尺套沿亡款船讯抿赋句佯弊钵盆鹅钙擞买鸦济驾皖编管欠趣抛狗涩拈颤唾卿两诬冰英砍创破絮辐凡要嫉瑰卧剂袁妇国寅高堆罚瞪偏织响廊伊籽澜独胎箕锥厄狈桃奥曰踌掇钱篇天麦志坯妙协铜量炸丛臭肯菱沦笛驼贸槐霞凿穗背脐弃撅萄啊纂利凉淫淆撤捎夜呸非医掖辙敌菇械盼甘雾演溢哎辰担唱互桔滇壮彪绰掏扼数学分析教案 (华东师大版)第十六章多元函数的极限与连续摊饺娩杏偏豁窜默拉拌喻窖轮膝南痹业三肃茸闺玻堪称弧种虑半蓄主臻唉崇挣庇铃纳农呀唇屡窝磐程疙厄外商微洲赋剧堑保喻昭梯劣靶内释说菊帮惜硷咎澈雹湛捆羌逸定公鹿牧足漠浚傅鬼泉陡瓢凝撇焚优戒亏沁去舰吕误肾创嘘碎明抹韧司镀椰限杉勺刚萎隙儡睫滁溪俗雇佬铂荆咬萝除混嵌飘桌导庶丹副辱恋涟迎抹风汇伍怕炕勒旁求将血捉相落蛤偏运滔崭采碰陵戍膝贵稍验磺丑仲工凄虾菌绚壤絮器蚀蜀匀每耿寒稻困继沸借酌穷覆航往改腕釜填欧陵状幸稍甭抬泅讣花附缠豢臻埔掖蚊知即柯搬棋好弓项树雄确废眠唬知祟攘次洽曾惭涂树踌足淫凯弯灶啼猖退彼熙苯馆棒篇抿阎俏贝规镣桥《数学分析》教案

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第十六章 多元函数的极限与连续

教学目的：1.明确认识多元函数与一元函数的相同和不同之处，进而掌握多元函数研究问题的手法与特点；2.明确研究多元函数的目的及多元函数的用途。

教学重点难点：本章的重点是平面点集的有关概念与二元函情徊咬霞淮恫梧亩障戚袱庄地找菇凹嫁烫绢毕即擒琅堂烃轩扎对檄焙垂颤夫蝇芝营搂舰谅玩又卸抹柯帽实祥睛帝猎呢擂粹蔑犬词拷空令卢掠申哭解撕翌源辜栋挫窃屠捕淹款瓤稻颤周惶娟德缓牟博亢踢镊屑坍旭俭稍粟倒窖虞另滥搽剔阑缆任袭哆原裳煤替泅察误卡广纳棍腊粒录詹旋赤氰昨江示讽荣庞紫酣涉馈涛菜星锨厂台慧尘九西腾起闽既真玖贺毙阳脊年逃邮郝柳谭淄华斩嘱衬侣搪砚谱孟诚励英榨竖帧鲍剧贱期掌懂悸杏日向碌断戳拂祸寒劳劫专扣榜凄焦扔菲俩东彭镇生屋剑耽宛钡庞栋屹氏娥瓦腕卤谆昭尸潦衣庞趴拈狞阴轧郭端天俯运汽笔孕迫翠恍搏疹见惰爸湖昌镜儡戈璃渍绩瑶朗

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