巩义市第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 设偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（ ）

A．（，1） B．（﹣∞，）∪（1，+∞） C．（﹣，） D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）

2． 在中，，，其面积为，则等于（ ）

A． B． C． D．

3． 复数是虚数单位）的虚部为（ ）

A． B． C． D．

【命题意图】本题考查复数的运算和概念等基础知识，意在考查基本运算能力．

4． 设x，y∈R，且满足，则x+y=（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5． 已知数列的各项均为正数，，，若数列的前项和为5，则（ ）

A． B． C． D．

6． 已知直线 word/media/image28_1.png平面word/media/image29_1.png，直线word/media/image30_1.png平面word/media/image29_1.png，则（ ）

A． B．与异面 C．与相交 D．与无公共点

7． 若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．

8． 圆上的点到直线的距离最大值是（ ）

A． B． C． D．

9． 设函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（ ）

A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）

10．在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）

A．众数 B．平均数 C．中位数 D．标准差

11．函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数，则a的取值范围为（ ）

A．0＜a≤ B．0≤a≤ C．0＜a＜ D．a＞

12．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

二、填空题

13．已知复数，则1+z50+z100=　　　　　　．

14．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：

①平面MENF⊥平面BDD′B′；

②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；

③四边形MENF周长l=f（x），x∈0，1]是单调函数；

④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h（x）为常函数；

以上命题中真命题的序号为　　　　　　．

15．设有一组圆Ck：（x﹣k+1）2+（y﹣3k）2=2k4（k∈N*）．下列四个命题：

①存在一条定直线与所有的圆均相切；

②存在一条定直线与所有的圆均相交；

③存在一条定直线与所有的圆均不相交；

④所有的圆均不经过原点．

其中真命题的代号是　　　　　　（写出所有真命题的代号）．

16．已知=1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|=　　　　　　．

17．直线ax﹣2y+2=0与直线x+（a﹣3）y+1=0平行，则实数a的值为　 　．

18．设，在区间上任取一个实数，曲线在点处的切线斜率为，则随机事件“”的概率为_________.

三、解答题

19．已知函数f（x）=ax2﹣2lnx．

（Ⅰ）若f（x）在x=e处取得极值，求a的值；

（Ⅱ）若x∈（0，e]，求f（x）的单调区间；

（Ⅲ） 设a＞，g（x）=﹣5+ln，∃x1，x2∈（0，e]，使得|f（x1）﹣g（x2）|＜9成立，求a的取值范围．

20．（本题12分）已知数列word/media/image68_1.png的首项word/media/image69_1.png，通项word/media/image70_1.png（word/media/image71_1.png，word/media/image72_1.png，为常数），且word/media/image73_1.png成等差数列，求：

（1）word/media/image74_1.png的值；

（2）数列word/media/image75_1.png前项和word/media/image76_1.png的公式.

21．如图，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆C的短轴长为2．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P，M，N椭圆C上的三个动点．

（i）若直线MN过点D（0，﹣），且P点是椭圆C的上顶点，求△PMN面积的最大值；

（ii）试探究：是否存在△PMN是以O为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．

22．（本题满分12分）已知数列的前项和为，且，（）.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，是数列的前项和，求.

【命题意图】本题考查利用递推关系求通项公式、用错位相减法求数列的前项和.重点突出对运算及化归能力的考查，属于中档难度.

23．数列中，，，且满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求.

24．（本小题满分10分）

已知函数．

（1）若求不等式的解集；

（2）若的解集包含，求实数的取值范围．

巩义市第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：因为f（x）为偶函数，

所以f（x）＞f（2x﹣1）可化为f（|x|）＞f（|2x﹣1|）

又f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|x|＞|2x﹣1|，

即（2x﹣1）2＜x2，解得＜x＜1，

所以x的取值范围是（，1），

故选：A．

2． 【答案】B

【解析】

试题分析：由题意得，三角形的面积，所以，又，所以，又由余弦定理，可得，所以，则，故选B．

考点：解三角形．

【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用比例式的性质，得到是解答的关键，属于中档试题．

3． 【答案】A

【解析】，所以虚部为-1，故选A.

4． 【答案】D

【解析】解：∵（x﹣2）3+2x+sin（x﹣2）=2，

∴（x﹣2）3+2（x﹣2）+sin（x﹣2）=2﹣4=﹣2，

∵（y﹣2）3+2y+sin（y﹣2）=6，

∴（y﹣2）3+2（y﹣2）+sin（y﹣2）=6﹣4=2，

设f（t）=t3+2t+sint，

则f（t）为奇函数，且f'（t）=3t2+2+cost＞0，

即函数f（t）单调递增．

由题意可知f（x﹣2）=﹣2，f（y﹣2）=2，

即f（x﹣2）+f（y﹣2）=2﹣2=0，

即f（x﹣2）=﹣f（y﹣2）=f（2﹣y），

∵函数f（t）单调递增

∴x﹣2=2﹣y，

即x+y=4，

故选：D．

【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用条件构造函数f（t）是解决本题的关键，综合考查了函数的性质．

5． 【答案】C

【解析】解析：本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前项和．由得，∴是等差数列，公差为，首项为，∴，由得．，∴数列的前项和为，∴，选C．

6． 【答案】D

【解析】

试题分析：因为直线 word/media/image28_1.png平面word/media/image29_1.png，直线word/media/image30_1.png平面word/media/image29_1.png，所以或与异面，故选D.

考点：平面的基本性质及推论.

7． 【答案】B

【解析】解：因为F（﹣2，0）是已知双曲线的左焦点，

所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为，

设点P（x0，y0），

则有，解得，

因为，，

所以=x0（x0+2）+=，

此二次函数对应的抛物线的对称轴为，

因为，

所以当时，取得最小值=，

故的取值范围是，

故选B．

【点评】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．

8． 【答案】

【解析】

试题分析：化简为标准形式，圆上的点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加半径，，半径为1，所以距离的最大值是，故选B.

考点：直线与圆的位置关系 1

9． 【答案】A

【解析】解：令f（x）=x3﹣，

∵f′（x）=3x2﹣ln=3x2+ln2＞0，

∴f（x）=x3﹣在R上单调递增；

又f（1）=1﹣=＞0，

f（0）=0﹣1=﹣1＜0，

∴f（x）=x3﹣的零点在（0，1），

∵函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），

∴x0所在的区间是（0，1）．

故答案为：A．

10．【答案】D

【解析】解：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．

B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90

众数分别为88，90，不相等，A错．

平均数86，88不相等，B错．

中位数分别为86，88，不相等，C错

A样本方差S2= [（82﹣86）2+2×（84﹣86）2+3×（86﹣86）2+4×（88﹣86）2]=4，标准差S=2，

B样本方差S2= [（84﹣88）2+2×（86﹣88）2+3×（88﹣88）2+4×（90﹣88）2]=4，标准差S=2，D正确

故选D．

【点评】本题考查众数、平均数、中位标准差的定义，属于基础题．

11．【答案】B

【解析】解：当a=0时，f（x）=﹣2x+2，符合题意

当a≠0时，要使函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数

∴⇒0＜a≤

综上所述0≤a≤

故选B

【点评】本题主要考查了已知函数再某区间上的单调性求参数a的范围的问题，以及分类讨论的数学思想，属于基础题．

12．【答案】C

【解析】

试题分析：两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，所以A不正确；两个平面平行，两个平面内的直线不一定平行，所以B不正确；垂直于同一平面的两个平面不一定垂直，可能相交，也可能平行，所以D不正确；根据面面垂直的判定定理知C正确．故选C．

考点：空间直线、平面间的位置关系．

二、填空题

13．【答案】　i　．

【解析】解：复数，

所以z2=i，又i2=﹣1，所以1+z50+z100=1+i25+i50=1+i﹣1=i；

故答案为：i．

【点评】本题考查了虚数单位i的性质运用；注意i2=﹣1．

14．【答案】　①②④　．

【解析】解：①连结BD，B′D′，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正确．

②连结MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．

③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．

④连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．

故答案为：①②④．

【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．

15．【答案】　②④　

【解析】解：根据题意得：圆心（k﹣1，3k），

圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确；

考虑两圆的位置关系，

圆k：圆心（k﹣1，3k），半径为k2，

圆k+1：圆心（k﹣1+1，3（k+1）），即（k，3k+3），半径为（k+1）2，

两圆的圆心距d==，

两圆的半径之差R﹣r=（k+1）2﹣k2=2k+，

任取k=1或2时，（R﹣r＞d），Ck含于Ck+1之中，选项①错误；

若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；

将（0，0）带入圆的方程，则有（﹣k+1）2+9k2=2k4，即10k2﹣2k+1=2k4（k∈N*），

因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．

则真命题的代号是②④．

故答案为：②④

【点评】本题是一道综合题，要求学生会将直线的参数方程化为普通方程，会利用反证法进行证明，会利用数形结合解决实际问题．

16．【答案】　　．

【解析】解：∵=1﹣bi，∴a=（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i，

∴，解得b=1，a=2．

∴|a﹣bi|=|2﹣i|=．

故答案为：．

【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．

17．【答案】1

【解析】

【分析】利用两直线平行的条件，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得实数a的值．

【解答】解：直线ax﹣2y+2=0与直线x+（a﹣3）y+1=0平行，

∴，解得 a=1．

故答案为 1．

18．【答案】

【解析】解析：本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算．

，由得，，∴随机事件“”的概率为．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ） f′（x）=2ax﹣= 由已知f′（e）=2ae﹣=0，解得a=．

经检验，a=符合题意．

（Ⅱ）

1）当a≤0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，e]上是减函数．

2）当a＞0时，

①若＜e，即，则f（x）在（0，）上是减函数，在（，e]上是增函数；

②若≥e，即0＜a≤，则f（x）在[0，e]上是减函数．

综上所述，当a≤时，f（x）的减区间是（0，e]，

当a＞时，f（x）的减区间是，增区间是．

（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知f（x）的最小值是f（）=1+lna；

易知g（x）在（0，e]上的最大值是g（e）=﹣4﹣lna；

注意到（1+lna）﹣（﹣4﹣lna）=5+2lna＞0，

故由题设知，

解得＜a＜e2．

故a的取值范围是（，e2）

20．【答案】（1）word/media/image174_1.png；（2）word/media/image175_1.png.

考点：等差，等比数列通项公式，数列求和.

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由题意得解得a=2，b=1，

所以椭圆方程为．

（Ⅱ）（i）由已知，直线MN的斜率存在，

设直线MN方程为y=kx﹣，M（x1，y1），N（x2，y2）．

由得（1+4k2）x2﹣4kx﹣3=0，

∴x1+x2=，x1x2=，

又．

所以S△PMN=|PD|•|x1﹣x2|=

=．

令t=，则t≥，k2=

所以S△PMN=，

令h（t）=，t∈[，+∞），则h′（t）=1﹣=＞0，所以h（t）在[，+∞），单调递增，

则t=，即k=0时，h（t）的最小值，为h（）=，

所以△PMN面积的最大值为．

（ii）假设存在△PMN是以O为中心的等边三角形．

（1）当P在y轴上时，P的坐标为（0，1），则M，N关于y轴对称，MN的中点Q在y轴上．

又O为△PMN的中心，所以，可知Q（0，﹣），M（﹣，），N（，）．

从而|MN|=，|PM|=，|MN|≠|PM|，与△PMN为等边三角形矛盾．

（2）当P在x轴上时，同理可知，|MN|≠|PM|，与△PMN为等边三角形矛盾．

（3）当P不在坐标轴时，设P（x0，y0），MN的中点为Q，则kOP=，

又O为△PMN的中心，则，可知．

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=2xQ=﹣x0，y1+y2=2yQ=﹣y0，

又x12+4y12=4，x22+4y22=4，两式相减得kMN=，

从而kMN=．

所以kOP•kMN=•（）=≠﹣1，

所以OP与MN不垂直，与等边△PMN矛盾．

综上所述，不存在△PMN是以O为中心的等边三角形．

【点评】本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想

22．【答案】

【解析】（1）当时，；………………1分

当时，，

∴当时，，整理得.………………3分

∴数列是以3为首项，公比为3的等比数列.

∴数列的通项公式为.………………5分

23．【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由，所以是等差数列且，，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）令，得，当时，；当时，；当时，，即可分类讨论求解数列．

当时，

∴.1

考点：等差数列的通项公式；数列的求和．

24．【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）当时，，利用零点分段法将表达式分成三种情况，分别解不等式组，求得解集为；（2）等价于，即在上恒成立，即.

试题解析：

（1）当时，，即或或，

解得或，不等式的解集为；

考点：不等式选讲．

巩义市第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析