导数结合“洛必达法则”巧解恒成立问题

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导数结合“洛必达法则”巧解恒成立问题
第一部分：历届导数高考压轴题

1.2006年全国2理
设函数f(x＝(x＋1·ln(x＋1，若对所有的x≥0，都有f(x≥ax成立，求实数a的取值范围．
2.2006全国1理
已知函数fx
1xax
e.1x
（Ⅰ）设a0，讨论yfx的单调性；
（Ⅱ）若对任意x0,1恒有fx1，求a的取值范围.
3.2007全国1理
设函数f(xee．
（Ⅰ）证明：f(x的导数f(x≥2；
（Ⅱ）若对所有x≥0都有f(x≥ax，求a的取值范围．
x
x
4.2008全国2理
设函数f(x
sinx
．
2cosx
（Ⅰ）求f(x的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f(x≤ax，求a的取值范围．
5.2008辽宁理
设函数f(x
lnx
lnxln(x1.1x
⑴求f(x的单调区间和极值;
⑵是否存在实数a,使得关于x的不等式f(x…a的解集为(0,?若存在,求a的取值范围;若不存在,试说明理由.
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6.2010新课标理
设函数f(x=e1xax.（Ⅰ）若a0，求f(x的单调区间;（Ⅱ）若当x≥0时f(x≥0，求a的取值范围
x
2
7.2010新课标文
已知函数f(xx(e1ax.
（Ⅰ）若f(x在x1时有极值，求函数f(x的解析式；（Ⅱ）当x0时，f(x0，求a的取值范围.
x
2
8.2010全国大纲理
设函数f(x1e.
（Ⅰ）证明：当x1时，f(x（Ⅱ）设当x0时，f(x
x
x；x1
x
，求a的取值范围.ax1
9.2011新课标理
已知函数f(x
alnxb
，曲线yf(x在点(1,f(1处的切线方程为x2y30.x1x
lnxk
，求k的取值范围.x1x
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）如果当x0，且x1时，f(x
10.自编
自编：若不等式sinxxax对于x(0,
3

2
恒成立，求a的取值范围.
第二部分：新课标高考命题趋势及方法
1.新课标高考命题趋势
近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则，充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能。为此，高考数学试题常与大学数学知识有机接轨，以高等数学为背景的命题形式成为了热点.
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2.分类讨论和假设反证
许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型.这类题目容易让学生想到用分离参数法，一部分题用这种方法很奏效，另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华山一条路——分类讨论和假设反证的方法.
3.洛必达法则——型及型函数未定式的一种解法
0

0
虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂，学生掌握起来非常困难.研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了
0
”型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必0
达法则.
第三部分：洛必达法则及其用法
1.洛必达法则
洛必达法则：设函数f(x、g(x满足：
limf(xlimg(x0
xa（1）xa；
o
U（2）在(a内，f(x和g(x都存在，且g(x0；
lim
（3）
xa
f(x
Ag(x（A可为实数，也可以是）.f(xf(x
limAg(xxag(x.（可连环使用）
lim
则
xa
注意使用洛必达法则时，是对分子、分母分别求导，而不是对它们的商求导，求导之后再
求极限得最值。
2.2011新课标理的常规解法
已知函数f(x
alnxb
，曲线yf(x在点(1,f(1处的切线方程为x2y30.x1x
lnxk
，求k的取值范围.x1x
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）如果当x0，且x1时，f(x（Ⅰ）略解得a1，b1.
（Ⅱ）方法一：分类讨论、假设反证法
lnxk1(k1(x21lnx1
由（Ⅰ）知f(x，所以f(x((2lnx.2
x1xx1x1xx
.

.
(k1(x212x(k1(x21
考虑函数h(x2lnx(x0，则h'(x
x2xk(x21(x12
(i当k0时，由h'(x知，当x1时，h'(x0.因为h(10，
x21
h(x0；当x(1,时，h(x0，可得1x2
1lnxklnxk
，从而当且时，，即h(x0f(x(0f(x；x0x12
1xx1xx1x
1
（ii）当0k1时，由于当x(1,时，(k1(x212x0，故h'(x0，而
1k
11
h(x0，与题设矛盾.h(10，故当x(1,时，h(x0，可得
1x21k
所以当x(0,1时，h(x0，可得
（iii）当k1时，h'(x0，而h(10，故当x(1,时，h(x0，可得
1
h(x0，与题设矛盾.综上可得，k的取值范围为(，0].2
1x
注：分三种情况讨论：①k0；②0k1；③k1不易想到.尤其是②0k1时，许多考生都停留在此层面，举反例x(1,
1
更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法1k
也不相同，这是高中阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升.
3.运用洛必达和导数解2011年新课标理
lnxklnx1lnxk
，即，x1xx1xx1x
xlnx1xlnx2xlnx2xlnx
也即k，记1g(x1，x0，且x1
x1xx11x21x2
当x0，且x1时，f(x
2(x21lnx2(1x22(x211x2
=(lnx2，则g'(x2222
(1x(1xx1
1x214x(1x22
=0，记h(xlnx2，则h'(x+
x(1+x22x(1+x22x1
从而h(x在(0,上单调递增，且h(10，因此当x(0,1时，h(x0，当x(1,时，h(x0；当x(0,1时，g'(x0，当x(1,时，g'(x0，所以g(x在(0,1上单调递减，在(1,上单调递增.由洛必达法则有
limg(xlim(
x1
x1
2xlnx2xlnx2lnx2
11lim1lim0，22x1x11x1x2x
.

.
即当x0，且x1时，g(x0.因为kg(x恒成立，所以k0.综上所述，当x0，且x1时，f(x
lnxk
成立，k的取值范围为(，0].x1x
注：本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数k分离出来.然后对分离出来的函数g(x
2xlnx
1求导，研究其单调性、极值.
1x2
此时遇到了“当x=1时，函数g(x值没有意义”这一问题，很多考生会陷入困境.如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法.
当然这一法则出手的时机：（1）所构造的分式型函数在定义域上单调
（2）是
0
型。0
4.运用洛必达和导数解2010新课标理
x2
设函数f(xe1xax.
（Ⅰ）若a0，求f(x的单调区间；（Ⅱ）当x0时，f(x0，求a的取值范围.应用洛必达法则和导数
x2
（Ⅱ）当x0时，f(x0，即e1xax.
ex1x
①当x0时，aR；②当x0时，e1xax等价于a.
x2
x
2
ex1x(x2exx2
记g(xx(0，.+，则g'(x23
xx
x
记h(x(x2ex2x(0，+，则h'(x(x1ex1，当x(0，+时，
h''(xxex0，所以h'(x(x1ex1在(0，+上单调递增，且h'(xh'(00，
x
+上单调递增，+所以h(x(x2ex2在(0，且h(xh(00，因此当x(0，
ex1xh(x
+上单调递增.时，g'(x30，从而g(x在(0，2
xx
由洛必达法则有，
.

.
ex1xex1ex1
limg(xlimlimlimx0x0x02xx02x22
即当x0时，g(x综上所述，当a
111
，所以当x(0，+时，所以g(x，因此a.222
1
且x0时，f(x0成立.2
5.运用洛必达和导数解自编题
自编：若不等式sinxxax对于x(0,解：应用洛必达法则和导数当x(0,
3

2
恒成立，求a的取值范围.

2
时，原不等式等价于a
xsinx
.x3
记f(x
xsinx3sinxxcosx2x
f'(x，则.34
xx
记g(x3sinxxcosx2x，则g'(x2cosxxsinx2.因为g''(xxcosxsinxcosx(xtanx，
g'''(xxsinx0，所以g''(x在(0,上单调递减，且g''(x0，
2
所以g'(x在(0,


上单调递减，且g'(x0.因此g(x在(0,上单调递减，22
g(xxsinx
0f(x(0,上单调递减.，因此在43xx2

且g(x0，故f'(x由洛必达法则有
limf(xlim
x0
x0
xsinx1cosxsinxcosx1limlimlim，x0x06xx0x33x266
11
，即有f(x.
66
即当x0时，g(x
故a
13
时，不等式sinxxax对于x(0,恒成立.62
通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足：①可以分离变量；
.

.
②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性；③出现“
0
”型式子.0
6.运用洛必达和导数解2010年新课标文
2010海南宁夏文（21）已知函数f(xx(e1ax.
（Ⅰ）若f(x在x1时有极值，求函数f(x的解析式；（Ⅱ）当x0时，f(x0，求a的取值范围.解：（Ⅰ）略
（Ⅱ）应用洛必达法则和导数
当x0时，f(x0，即x(e1ax.①当x0时，aR；
x
2
x
2
ex1
②当x0时，x(e1ax等价于e1ax，也即a.
x
x
2
x
(x1ex1ex1
记g(x，x(0,，则g'(x.
xx
x(0,，记h(x(x1e1，则h'(xxe0，因此h(x(x1e1在(0,
ex1h(x
上单调递增，且h(xh(00，所以g'(x在(0,上0，从而g(x
xx
单调递增.
由洛必达法则有
xxx
ex1ex
limg(xlimlim1，x0x0x01x
即当x0时，g(x1所以g(x1，即有a1.
综上所述，当a1，x0时，f(x0成立.
7.运用洛必达和导数解2010年大纲理
2010全国大纲理（22）设函数f(x1e.
x
.

.
（Ⅰ）证明：当x1时，f(x（Ⅱ）设当x0时，f(x
x；x1
x
，求a的取值范围.ax1
解：（Ⅰ）略
（Ⅱ）应用洛必达法则和导数由题设x0，此时f(x0.
1xx，则不成立；0，f(xaax1ax1
xxx
②当a0时，当x0时，f(x，即1e；
ax1ax1
若x0，则aR；
①当a0时，若x
1ex1xexex1x
若x0，则1e等价于，即a.xxax1xexax1
x
e2xx2ex2ex1exxexex1x2x
g'(x=(ex2e.记g(x，则x2x2x
(xex(xexxex
xx
记h(xex2e，则h'(xe2xe，h''(xe+e
x
2
x
x
x
20
因此，h'(xe2xe
xx
在(0，上单调递增，且h'(00，所以h'(x0，
即h(x在(0，上单调递增，且h(00，所以h(x0.
ex
h(x0，所以g(x在(0，上单调递增.因此g'(x=
(xexx2
由洛必达法则有
xexex1xexexxex1
limg(xlimlimlim，即当x0时，x0x0x0exxex1x02exxexxexx2g(x
1111
，即有g(x，所以a.综上所述，a的取值范围是(,].
2222
8.运用洛必达和导数解2008年全国2理
设函数f(x
sinx
．
2cosx
（Ⅰ）求f(x的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f(x≤ax，求a的取值范围．解：（Ⅰ）f(x
(2cosxcosxsinx(sinx2cosx1
．
(2cosx2(2cosx2
.

.
2π2π1
（kZ）时，cosx，即f(x0；x2kπ
332
12π4π
当2kπ（kZ）时，cosx，即f(x0．x2kπ
233
当2kπ
因此f(x在每一个区间2kπ

2π2π，2kπ（kZ）是增函数，33
2π4π
2kπf(x在每一个区间2kπ，（kZ）是减函数．33
（Ⅱ）应用洛必达法则和导数
sinx
ax
2cosx
若x0，则aR；f(x
若x0，则
sinxsinxsinx
，即g(xax等价于a
x(2cosxx(2cosx2cosx
则g'(x
2xcosx2sinxsinxcosxx
.
x2(2cosx2
记h(x2xcosx2sinxsinxcosxx，
h'(x2cosx2xsinx2cosxcos2x1
2xsinxcos2x12sinx2xsinx2sinx(sinxx
2

因此，当x(0,时，h'(x0，h(x在(0,上单调递减，且h(00，故g'(x0，所以g(x在(0,上单调递减，而limg(xlim
x0
x0
sinxcosx1
lim.
x(2cosxx02+cosxxsinx3
sinx1111
，因此a.
x(2cosxx33
另一方面，当x[,时，g(x

.

导数结合“洛必达法则”巧解恒成立问题

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