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1　曲线运动

[学习目标]　1.知道什么是曲线运动，会确定曲线运动速度的方向，知道曲线运动是一种变速运动.2.知道物体做曲线运动的条件.

一、曲线运动的位移

1.坐标系的选择：研究物体在同一平面内做曲线运动时，应选择平面直角坐标系.

2.位移的描述：如图1所示，物体从O点运动到A点，位移大小为l，与x轴夹角为α，则在x方向的分位移大小为xA＝lcosα，在y方向的分位移大小为yA＝lsinα.

图1

二、曲线运动的速度

1.质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向.

2.曲线运动是变速运动

(1)速度是矢量，它既有大小，又有方向.不论速度的大小是否改变，只要速度的方向发生改变，就表示速度矢量发生了变化，也就有了加速度.

(2)在曲线运动中，速度的方向是不断变化的，所以曲线运动是变速运动.

三、物体做曲线运动的条件

1.动力学角度：当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动.

2.运动学角度：物体的加速度方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动.

1.判断下列说法的正误.

(1)做曲线运动的物体，速度可能不变.(　×　)

(2)曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动.(　√　)

(3)物体的速度不断改变，它一定做曲线运动.(　×　)

(4)做曲线运动的物体的位移大小可能与路程相等.(　×　)

(5)做曲线运动的物体所受的合力一定是变力.(　×　)

(6)做曲线运动的物体一定有加速度.(　√　)

2.小文同学在探究物体做曲线运动的条件时，将一条形磁铁放在光滑水平桌面的不同位置，让小钢珠在水平桌面上从同一位置以相同初速度v0运动，得到不同轨迹.图2中a、b、c、d为其中四条运动轨迹，磁铁放在位置A时，小钢珠的运动轨迹是(填轨迹字母代号)，磁铁放在位置B时，小钢珠的运动轨迹是(填轨迹字母代号).实验表明，当物体所受合外力的方向跟它的速度方向(选填“在”或“不在”)同一直线上时，物体做曲线运动.

图2

答案　b　c　不在

解析　因为磁铁对小钢珠只能提供引力，磁铁在A处时，F与v0同向，小钢珠做变加速直线运动，运动轨迹为b；当磁铁放在B处时，F与v0不在同一直线上，合力的方向指向轨迹的凹侧，运动轨迹为c.当合外力方向与速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动.

【考点】曲线运动的条件

【题点】物体做曲线运动的条件

一、曲线运动的位移和速度

1.曲线运动的位移

如图3所示，水平抛出的物体在空中运动时轨迹为曲线.

图3

(1)不同时间内的位移方向是否相同？

(2)如何描述物体的位移？

(3)试讨论物体在曲线运动中的位移大小和路程有什么关系.

答案　(1)不相同.由于物体的轨迹是曲线，不同时间内的位移方向发生变化.

(2)当物体运动到A点时，它相对于O点的位移是OA，可以用l表示.由于位移矢量是不断变化的，可以建立平面直角坐标系，用它在坐标轴方向上的分矢量来代表，即用A点的坐标xA、yA表示两个分位移矢量，使问题简单化，如图.

(3)曲线运动中的位移大小总是小于路程.

2.曲线运动的速度

(1)如图4所示，砂轮上打磨下来的炽热微粒沿砂轮的切线方向飞出，其速度方向不断变化，那么如何确定物体在某一点的速度方向？

图4

(2)曲线运动一定是变速运动吗？

(3)曲线运动可能是匀变速运动吗？

(4)物体做曲线运动时，加速度可以为零吗？为什么？

答案　(1)从题图可以看出，从砂轮上打磨下来的炽热微粒沿脱落点的切线方向飞出，所以物体在某一点的速度方向沿曲线在这一点的切线方向.

(2)由于曲线运动的速度方向时刻在变化，不论其速度大小是否变化，其速度一定变化，因此曲线运动一定是变速运动.

(3)曲线运动是否是匀变速运动取决于物体所受的合外力.合外力为恒力，物体做匀变速曲线运动；合外力为变力，物体做非匀变速曲线运动.

(4)不可以，物体做曲线运动时，速度不断变化，所以加速度一定不为零.

1.曲线运动的位移：在平面直角坐标系中，曲线运动的位移为运动物体的初位置到末位置的有向线段，与路程不同.曲线运动位移的大小小于路程.

2.曲线运动速度方向时刻改变，它一定是变速运动，加速度一定不为零.

例1　做曲线运动的物体在运动过程中，下列说法正确的是(　　)

A.速度大小一定改变

B.加速度大小一定改变

C.速度方向一定改变

D.加速度方向一定改变

答案　C

解析　曲线运动中某点的速度方向沿轨迹在该点的切线方向，故曲线运动中速度方向一定改变，速度大小可以不变，A错误，C正确.曲线运动的加速度不一定变化，故B、D错误.

【考点】曲线运动的基本特点

【题点】曲线运动的基本特点

针对训练1　如图5所示，物体沿曲线由a点运动至b点，关于物体在ab段的运动，下列说法正确的是(　　)

图5

A.物体的速度可能不变

B.物体的速度不可能均匀变化

C.a点的速度方向由a指向b

D.ab段的位移大小一定小于路程

答案　D

解析　做曲线运动的物体的速度方向时刻改变，即使速度大小不变，速度方向也在不断发生变化，A项错误；做曲线运动的物体必定受到力的作用，当物体受到的合力为恒力时，物体的加速度恒定，速度均匀变化，B项错误；ɑ点的速度方向沿ɑ点的切线方向，C项错误；做曲线运动的物体的位移大小必小于路程，D项正确.

【考点】曲线运动的基本特点

【题点】曲线运动的轨迹和速度方向

二、物体做曲线运动的条件

1.图6甲是抛出的石子在空中划出的弧线，图乙是某卫星绕地球运行的部分轨迹.请画出物体在A、B、C、D四点的受力方向和速度方向.

图6

答案　各点受力方向和速度方向如图所示

2.用一块磁铁，如何使小钢球做以下运动：①加速直线运动；②减速直线运动；③曲线运动.

答案　①把磁铁放置在小钢球运动方向的正前方；②把磁铁放置在小钢球运动方向的正后方；③把磁铁放置在小钢球运动方向的某一侧.

3.物体做曲线运动的条件是什么？

答案　所受合力方向与速度方向不共线.

1.物体做曲线运动的条件：当物体受到的合力的方向与其速度方向不共线时，物体将做曲线运动，与其受到的合力大小是否变化无关.

2.物体运动性质的判断

(1)直线或曲线的判断

看合外力方向(或加速度的方向)和速度方向是否在一条直线上.

(2)匀变速或非匀变速的判断

合外力为恒力，匀变速运动；合外力为变力，非匀变速运动.

(3)运动的五种类型：

例2　曲线运动是自然界普遍的运动形式，下面关于曲线运动的说法中，正确的是(　　)

A.物体只要受到变力的作用，就会做曲线运动

B.物体在恒定的合外力作用下一定会做直线运动

C.物体在方向不断变化的合外力作用下一定会做曲线运动

D.物体在大小不变的合外力作用下必做匀变速曲线运动

答案　C

解析　当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动，A、B错误.物体所受的合外力方向不断变化，表明合外力不会与速度始终共线，故在该合外力作用下物体一定会做曲线运动，C正确.做匀变速曲线运动物体所受的合外力恒定不变，而不只是合外力大小不变，D错误.

【考点】曲线运动的条件

【题点】物体做曲线运动的条件

物体做曲线运动时，关于受力(加速度)的“一定”与“不一定”

1.“一定”：物体受到的合外力(加速度)一定不为零；物体所受合外力(加速度)的方向与其速度方向一定不在同一条直线上.

2.“不一定”：物体受到的合外力(加速度)不一定变化，即物体受到的合外力可以是恒力，也可以是变力.

三、合力方向与曲线运动轨迹及弯曲方向的关系

由于曲线运动的速度方向总是变化，合力不为零.合力垂直于速度方向的分力改变速度的方向，所以合外力总指向运动轨迹的凹侧，即曲线运动的轨迹总偏向合外力所指的一侧.

例3　汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶.图中分别画出了汽车转弯时所受合力F的四种方向，你认为正确的是(　　)

答案　D

解析　A选项中合力的方向与速度方向相同，B选项中合力的方向与速度方向相反，这两种情况下汽车会做直线运动，不符合实际，A、B错误；物体做曲线运动时，合力的方向指向运动轨迹的凹侧，故C错误，D正确.

【考点】曲线运动的速度、受力与运动轨迹的关系

【题点】速度方向、受力(加速度)方向与运动的轨迹

针对训练2　如图7所示为一个做匀变速曲线运动的质点的轨迹示意图，已知在B点时的速度与加速度相互垂直，质点运动方向由A到E，则下列说法中正确的是(　　)

图7

A.在D点的速率比在C点的速率大

B.A点的加速度与速度的夹角小于90°

C.A点的加速度比D点的加速度大

D.从A到D加速度与速度的夹角先增大后减小

答案　A

解析　质点做匀变速曲线运动，合力的大小、方向均不变，加速度不变，故C错误；由B点速度与加速度相互垂直可知，质点所受合力方向与B点切线垂直且向下，故质点由C到D过程，合力方向与速度方向的夹角小于90°，速率增大，A正确；在A点的加速度方向与质点在A点的速度方向之间的夹角大于90°，B错误；从A到D加速度与速度的夹角一直变小，D错误.

【考点】曲线运动的速度、受力与运动轨迹的关系

【题点】曲线运动中速度大小的判断

1.(曲线运动的速度方向)在F1赛事中，若在弯道上高速行驶的赛车车轮脱落，则关于脱落的车轮的运动情况，下列说法中正确的是(　　)

A.仍然沿着赛车的弯道行驶

B.沿着与弯道切线垂直的方向飞出

C.沿着脱离时轮子前进的方向做直线运动，离开弯道

D.上述情况都有可能

答案　C

解析　赛车沿弯道行驶，任一时刻赛车的速度方向是赛车运动轨迹上的对应点的切线方向，脱落的车轮的速度方向也就是脱落点轨迹的切线方向，车轮脱落后，不再受到车身的约束，只受到与速度方向相反的阻力作用，车轮做直线运动，离开弯道，故C正确.

【考点】曲线运动的基本特点

【题点】曲线运动的轨迹和速度方向

2.(曲线运动的条件)对做曲线运动的物体，下列说法正确的是(　　)

A.速度方向与合外力方向不可能在同一条直线上

B.加速度方向与合外力方向可能不在同一条直线上

C.加速度方向与速度方向有可能在同一条直线上

D.合外力的方向一定是变化的

答案　A

解析　由物体做曲线运动的条件可知，速度方向与合外力方向不可能在同一条直线上，所以A正确；根据牛顿第二定律，加速度与合外力一定同向，所以B、C错误；在恒力作用下，物体也可以做曲线运动，只要合外力方向与速度方向不共线就可以，所以D错误.

【考点】曲线运动的条件

【题点】物体做曲线运动的条件

3.(曲线运动的受力、速度与轨迹的关系)(多选)如图8所示，一个质点沿轨道ABCD运动，图中画出了质点在各处的速度v和质点所受合力F的方向，其中可能正确的是(　　)

图8

A.A位置 B.B位置

C.C位置 D.D位置

答案　BD

【考点】曲线运动的速度、受力与运动轨迹的关系

【题点】速度方向、受力(加速度)方向与运动的轨迹

4.(曲线运动的受力、速度与轨迹的关系)在光滑水平面上以速度v做匀速直线运动的小球，受到一个跟它的速度方向不在同一直线上的水平恒力F的作用后，获得加速度a.下列各图中，能正确反映v、F、a及小球运动轨迹(虚线)之间的关系的是(　　)

答案　C

解析　小球做匀速直线运动时，受力平衡，突然受到一个与运动方向不在同一直线上的恒力作用时，合外力方向与速度方向不在同一直线上，所以小球一定做曲线运动且合外力的方向指向运动轨迹的凹侧，根据牛顿第二定律可知，加速度方向与合外力方向相同，故C正确.

【考点】曲线运动的速度、受力与运动轨迹的关系

【题点】速度方向、受力(加速度)方向与运动的轨迹

5.(物体运动性质的判断)(多选)在光滑水平面上有一质量为2kg的物体，受几个共点力作用做匀速直线运动.现突然将与速度反方向的2N的力水平旋转90°，则关于物体运动情况的叙述正确的是(　　)

A.物体做速度大小不变的曲线运动

B.物体做加速度为m/s2的匀变速曲线运动

C.物体做速度越来越大的曲线运动

D.物体做非匀变速曲线运动，其速度越来越大

答案　BC

解析　物体原来所受合外力为零，当将与速度反方向的2N的力水平旋转90°后，其受力如图所示，

其中Fx＝Fy＝2N，F是Fx、Fy的合力，即F＝2N，且大小、方向都不变，是恒力，物体的加速度为a＝＝m/s2＝m/s2，恒定.又因为F与v的夹角θ<90°，所以物体做速度越来越大、加速度恒为m/s2的匀变速曲线运动，故B、C正确.

【考点】曲线运动的条件

【题点】由曲线运动的条件看曲线运动的性质

考点一　曲线运动的基本特点

1.如图1所示，篮球沿优美的弧线穿过篮筐，图中能正确表示篮球在相应点速度方向的是(　　)

图1

A.v1 B.v2

C.v3 D.v4

答案　C

【考点】曲线运动的基本特点

【题点】曲线运动的轨迹和速度方向

2.关于曲线运动，下列说法中正确的是(　　)

A.做曲线运动的物体，在一段时间内运动的路程可能为零

B.曲线运动一定是匀速运动

C.在平衡力作用下，物体可以做曲线运动

D.在恒力作用下，物体可以做曲线运动

答案　D

解析　做曲线运动的物体，在一段时间内可能回到出发点，但路程不为零，位移可能为零，A错误；曲线运动的速度方向一定变化，所以一定是变速运动，B错误；由牛顿第一定律可知，在平衡力作用下，物体一定做匀速直线运动或处于静止状态，C错误；不论是否为恒力，只要物体受力方向与物体速度方向不共线，物体就做曲线运动，D正确.

【考点】曲线运动的基本特点

【题点】曲线运动的基本特点

3.(多选)关于曲线运动的速度，下列说法正确的是(　　)

A.速度的大小与方向都在时刻变化

B.速度的大小不断发生变化，速度的方向不一定发生变化

C.速度的方向不断发生变化，速度的大小不一定发生变化

D.质点在某一点的速度方向就是运动轨迹上该点的切线方向

答案　CD

解析　做曲线运动的物体，速度的大小可以不发生变化，但速度的方向一定会发生变化，故A、B错误，C正确；质点在某一点的速度方向就是运动轨迹上该点的切线方向，D正确.

【考点】曲线运动的基本特点

【题点】曲线运动的基本特点

考点二　物体做曲线运动的条件

4.一个钢球在水平桌面上做直线运动，在其经过的路径旁放一块磁铁，则钢球的运动路径就发生改变，如图2所示，由此可知(　　)

图2

A.当物体受到合外力作用时，其运动方向一定发生改变

B.当物体受到合外力作用时，其惯性就消失了

C.当物体所受合力的方向与初速度方向不共线时，其运动方向发生改变

D.当物体所受合力的方向与初速度方向垂直时，其运动方向才发生改变

答案　C

解析　当物体受到合外力作用时，运动状态一定会发生变化，可能是速度的大小变化，也可能是速度的方向变化，故选项A错误；物体的惯性与受力情况和运动状态无关，故选项B错误；当物体所受合力的方向与初速度方向不共线时，物体就做曲线运动，即运动方向要发生变化，故选项C正确，D错误.

【考点】曲线运动的条件

【题点】物体做曲线运动的条件

5.一个做匀速直线运动的物体突然受到一个与运动方向不在同一条直线上的恒力作用时，则物体(　　)

A.继续做直线运动

B.一定做曲线运动

C.可能做直线运动，也可能做曲线运动

D.运动的形式不能确定

答案　B

解析　当合外力方向与速度方向不在同一条直线上时，物体必做曲线运动，故选项B正确.

【考点】曲线运动的条件

【题点】物体做曲线运动的条件

考点三　曲线运动中力的方向、速度方向与轨迹的关系

6.质点在某一平面内沿曲线由P运动到Q，如果用v、a、F分别表示质点运动过程中的速度、加速度和受到的合外力.则下列选项中可能正确的是(　　)

答案　D

解析　质点做曲线运动时，在某点的速度方向沿曲线上这一点的切线方向，选项A错误；质点所受合外力和加速度的方向指向运动轨迹的凹侧，选项B、C错误，D正确.

【考点】曲线运动的速度、受力与运动轨迹的关系

【题点】速度方向、受力(加速度)方向与运动的轨迹

7.若已知物体运动的初速度v0的方向及它受到的恒定的合力F的方向，如图所示.则可能的轨迹是(　　)

答案　B

解析　物体做曲线运动时，速度沿曲线的切线方向，合力方向和速度方向不共线，且指向曲线凹的一侧，则运动轨迹在合力与速度之间，且向合力的方向弯曲.

【考点】曲线运动的速度、受力与运动轨迹的关系

【题点】速度方向、受力(加速度)方向与运动的轨迹

8.如图3所示，高速摄像机记录了一名擅长飞牌、射牌的魔术师的发牌过程，虚线是飞出的扑克牌的轨迹，则扑克牌所受合外力F与速度v关系正确的是(　　)

图3

答案　A

9.一运动物体经过P点时，其速度v与合力F的方向不在同一直线上，当物体运动到Q点时，突然使合力的方向与速度方向相同直至物体运动经过M点，若用虚线表示物体的运动轨迹，则下列图中可能正确的是(其中C、D选项中的QM段均是直线)(　　)

答案　C

解析　经过P点时，其速度v与合力F的方向不在同一直线上，物体做曲线运动，合力应指向运动轨迹的凹侧，当合力方向与速度方向相同时，物体做直线运动，所以从Q到M做直线运动，故C正确.

【考点】曲线运动的速度、受力与运动轨迹的关系

【题点】速度方向、受力(加速度)方向与运动的轨迹

10.如图4所示，双人滑冰运动员在光滑的水平冰面上做表演，甲运动员给乙运动员一个水平恒力F，乙运动员在冰面上完成了一段优美的弧线MN.vM与vN正好成90°角，则此过程中，乙运动员受到甲运动员的恒力可能是图中的(　　)

图4

A.F1 B.F2

C.F3 D.F4

答案　B

【考点】曲线运动的速度、受力与运动轨迹的关系

【题点】速度方向、受力(加速度)方向与运动的轨迹

11.“歼20”是我国自主研发的一款新型隐形战机，图5中虚曲线是某次“歼20”离开跑道加速起飞的轨迹，虚直线是曲线上过飞机所在位置的切线，则空气对飞机作用力的方向可能是(　　)

图5

A.沿F1方向

B.沿F2方向

C.沿F3方向

D.沿F4方向

答案　C

解析　飞机向上加速，空气作用力与重力的合力应指向曲线的凹侧，同时由于飞机加速起飞，故空气对飞机的作用力与速度的夹角应为锐角，故只有F3符合题意.

【考点】曲线运动的速度、受力与运动轨迹的关系

【题点】速度方向、受力(加速度)方向与运动的轨迹

考点四　物体运动性质的判断

12.(多选)关于物体的运动，以下说法中正确的是(　　)

A.物体在恒力作用下，一定做直线运动

B.物体若受到与速度方向不在一条直线上的合外力作用，一定做曲线运动

C.物体在变力作用下，一定做曲线运动

D.物体在变力作用下，可能做直线运动

答案　BD

解析　物体受到恒力作用，若恒力的方向与运动的方向不共线，则做曲线运动，所以A错误；物体受到的合外力与速度方向不在一条直线上，则物体一定做曲线运动，所以B正确；物体受到变力作用，若变力的方向与速度的方向共线，则做直线运动，若不共线，则做曲线运动，所以C错误，D正确.

【考点】曲线运动的条件

【题点】由曲线运动的条件看曲线运动的性质

13.(多选)质点在三个恒力F1、F2、F3的共同作用下保持平衡状态，若突然撤去F1，保持其他力不变，则质点(　　)

A.一定做匀变速运动

B.一定做直线运动

C.一定做非匀变速运动

D.可能做曲线运动

答案　AD

解析　质点在恒力作用下产生恒定的加速度，加速度恒定的运动一定是匀变速运动.由题意可知，当突然撤去F1时，质点受到的合力大小等于F1的大小，方向与F1的方向相反，故选项A正确，选项C错误；在撤去F1之前，质点保持平衡，有两种可能：一是质点处于静止状态，则撤去F1后，质点做匀变速直线运动；二是质点处于匀速直线运动状态，则撤去F1后，质点可能做直线运动(条件是：F1的方向和速度方向在同一条直线上)，也可能做曲线运动(条件是：F1的方向和速度方向不在同一条直线上)，故选项B错误，选项D正确.

【考点】曲线运动的条件

【题点】由曲线运动的条件看曲线运动的性质

14.(多选)在光滑平面上的一运动质点以速度v通过原点O，v与x轴成α角(如图6所示)，与此同时，质点上加有沿x轴正方向的恒力Fx和沿y轴正方向的恒力Fy，则(　　)

图6

A.因为有Fx，质点一定做曲线运动

B.如果Fy>Fx，质点向y轴一侧做曲线运动

C.如果Fy＝Fxtanα，质点做直线运动

D.如果Fy<Fxtanα，质点偏向x轴一侧做曲线运动

答案　CD

解析　质点所受合外力方向与速度方向不在同一直线上时，质点做曲线运动；若所受合外力始终与速度同方向，则做直线运动.若Fy＝Fxtanα，则Fx和Fy的合力F与v在同一直线上(如图所示)，此时质点做直线运动；若Fy<Fxtanα，即tanα>，则Fx、Fy的合力F与x轴的夹角β<α，则质点偏向x轴一侧做曲线运动.

【考点】曲线运动的条件

【题点】由曲线运动的条件看曲线运动的性质

2018 - 2019学年高中物理第五章曲线运动1曲线运动学案新人教版必修2201811162119