河南省平顶山市宝丰县 2019年中招调研测试（一）数学试题

•选择题（满分 30分，每小题3分）

1.下列各数中，最小的数是（ ）

A.— | - 2| B. （- C.— （— 2） D. （— 2）

2 •郑州市某校建立了一个学生身份识别系统•利用图 1的二维码可以进行身份识别，图 2

是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示 1,白色小正方形表示 0.将第一行数字从左

到右依次记为a, b, c, d,那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为 ax 23+bx 22+c

X 21+dX 20,如图2第一行数字从左到右依次为 0, 1, 0, 1 ,序号为0 x 23+1 x 22+0X 21+1

word/media/image1.gifX 2°= 5，表示该生为5班学生，请问，表示 4班学生的识别图案是（ ）

word/media/image5.gif3.由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（ ）

word/media/image7.gifword/media/image8.gifword/media/image9.gifword/media/image10.gifword/media/image11.gif

word/media/image12.gifword/media/image13.gif则平行四边形ABCD勺面积是（

word/media/image14.gifword/media/image15.gif&不解方程，判别方程 2x2- 3「X = 3的根的情况

9.如图①，在边长为 2cm的正方形ABCD中，点P以每秒1cm的速度从点

BC的路径运动，到点 C停止，过点P作PQ/ BD PQ与边AD（或边CD）交于点 Q PQ的 长度y （cm）与点P的运动时间x （秒）的函数图象如图②所示.当点 P运动3秒时，PQ

的长是（ ）

word/media/image16.gifword/media/image17.gifword/media/image18.gifword/media/image19.gifword/media/image20.gifword/media/image21.gif

12•如图，平行四边形 ABCD中，点O为对角线AC BD的交点，点E为CD边的中点，连接

OE如果AB= 4, OE= 3，则平行四边形 ABC啲周长为

13.如图，四边形 ABCD^接于O O, AB为O O的直径，C为弧BD的中点，若/ DAB= 40°,

word/media/image23.gif则/ ADC=

3 3

14•如图是函数y=x和y= 的图象，结合图象写出不等式 >x的解集是

为戸,把厶AMN沿 MN折叠得到厶A，皿“若厶A DC恰为等腰三角形，则AP的长为

三•解答题(共8小题，满分75分)

16.(8分)先化简，再求值：(x - 2+ * )* —，其中x=- •

x-2 2xT 2

17.( 9分)小明为了了解他所在小区居民对市政府调整水价方案的反响，随机访了自己居

住小区的部分居民，就“每月每户的用水量”和“调价对用水行为改变”两个问题进行

调查，并把调查结果整理成如下两幅不完整的统计图小明发现每月每户的用水量在 5〜35

之间，有8户居民对用水价格调价涨幅抱无所谓，不会考虑用水方式的改变

请根据以上提供的信息，完成下列问题

(1) 小明调查了 户居民，并补全图1;

(2) 每月每户用水量的中位数落在： .(填写范围)

(3)如果小明所在小区有 1500户居民，请你估计“视调价涨幅采取相应的用水方式改

变” 的 居 民 户 数 有 多 少？

视调价廠墙采取相

口应的用水方式改变
n对调价涨幅抿无所谓f

不会考廉用水方式改变
n不管调恰涨幅如何都

要改变用欢方式

18.(9分)如图，已知 AB是圆0的直径，F是圆0上一点，/ BAF的平分线交O O于点E,

交OO的切线BC于点C,过点E作EDL AF,交AF的延长线于点 D.

(1)求证：DE是O 0的切线;

word/media/image28.gif (2)若 DE= 3, CE= 2,

A处测得灯塔P在船的北偏东30°的方向，轮船沿着北偏东

60°的方向航行16km后到达B处，这时灯塔P在船的北偏西75°的方向.求灯塔P与B

20. (9分)一次函数y = kx+b的图象经过点 A (- 2, 12), B (8,- 3).

(1)求该一次函数的解」析式;

(2)如图，该一次函数的图象与反比例函数 y = 土 (m> 0)的图象相交于点 C( x1, y1),

要求每人一件•王老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择•如果买 3个

笔记本和2支钢笔，则需84元；如果买4个笔记本和3支钢笔，则需118元.

(1)求笔记本和钢笔的单价分别为多少元？

(2) 售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过 10支，那么超出部分

可以享受7.5折优惠，

1若买x (x > 0)支钢笔需要花y1元，请你用含x的式子表示y1；

2王老师决定买同一种奖品， 并且数量超过10个，请你帮王老师判断买哪种奖品更省钱.

22.(10分)小儒在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下 思考：

(1 )他认为该定理有逆定理，即“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半，

那么这个三角形是直角三角形”应该成立，你能帮小儒证明一下吗？如图①，在△ ABC

中，AD是BC边上的中线，若 AD= BD= CD求证：/ BAC= 90°.

(2) 接下来，小儒又遇到一个问题： 如图②，已知矩形ABCD如果在矩形外存在一点 E, 使得AEL CE求证：BEX DE请你作出证明，可以直接用到第( 1)问的结论.

(3) 在第(2)问的条件下，如果△ AED恰好是等边三角形，直接用等式表示出此时矩形

的两条邻边AB与 BC的数量关系.

word/media/image30.gif

2

23.( 11分)如图，在平面直角坐标系中，直线x =- 2与x轴交与点C,与抛物线y=- x+bx+c

交于点A,此抛物线与 x轴的正半轴交于点 B( 1, 0),且AC= 2BC

(1)求抛物线的解析式；

(2) 点P是直线AB上方抛物线上的一点•过点 P作PD垂直于x轴于点D,交线段 AB

于点E,使DB 3PE

1求点P的坐标；

2在直线PD上是否存在点 M使厶ABM为以AB为直角边的直角三角形？若存在， 直接写

参考答案

•选择题

1解：(A原式=-2 ；

(B)原式=2;

(C)原式=2;

(D)原式=1 ; 故选•:: A.

2•解：根据题意得:0 X 23+1 X 22+0X 21+0X 20= 4,

贝卜表示4班学生的识别图案是选项 C, 故选：C.

3.解：从左边看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形， 故选：D.

4•解：0w a— bw 1①，

1w a+bw 4②，

①+②得1 w 2aw 5,

0.5 w aw 2.5 ,

故选：C.

5.解：列表如下

由表可知一共36种等可能结果，其中至少有一枚骰子的点数是 3的有11种结果,

所以至少有一枚骰子的点数是 3的概率为一,

故选：B.

6.解：如图，•••/ BEF是△ AEF的外角，/ 1 = 20°,/ F= 30°,

•••/ BEF=/ 1+/ F= 50°,

••• AB// CD

word/media/image32.gif

word/media/image34.gif

CP= 2X 2 - 3= 1cm

由勾股定理，得

PQ=H1 J] ； = '：cm

故选：c.

10 .解：设AC交A B'于H,

•••/ A= 45°,/ D= 90°

•••△ A HA是等腰直角三角形

设AA = X，则阴影部分的底长为 X，高A D= 12 -x

• x?( 12 - x)= 32,

解得 X1= 4, X2= 8,

即 AA = 4cm 或 AA = 8cm

故选：D.

二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11 .解：原式=2* 7 - 4+4= 2i「，

故答案为：2 -.

12.解：•••四边形 ABCDI平行四边形，

• OB= OD OA=」OC

又•••点E是CD边中点

•AD= 2OE 即 AD= 6,

•?ABC啲周长为(6+4)X 2= 20. 故答案为：20.

13 .解•：：连接AC

•••点C为弧BD的中点，

•/ CAB=i DAB= 20°,

2

•/ AB为O O的直径，

• / ACB= 90°,

•••/ DAB= 40°,

•••/ DCB= 140 ° ,

•••/ DCA= 140° - 90°= 50

AD= 180° - 20°- 50° = 110

14.解：设两个函数 y = x与y = 的图象在第一象限的交点为点 A,在第三象限的交点

x-2

为点B.

联立* 3 ，解得：X1= 3, X2=- 1

If

所以，A (3, 3), B (- 1，- 1)

2 一 一-

由题意可知：y= 的图象应在y=x的图象上方，即在点 A左侧、y轴右侧,

灯2

则0v XV 3;或者在点B左侧，则XV- 1.

故答案为：xv- 1或0 v xv 3

15•解：①如图，当 A D= A C时，/ A'DC=Z A CD= 30°,

又•••/ CAD= 30°,

word/media/image38.gif•••/ ADA = 90°,

②如图，当CD= CA = 4时，连接BD交AC于 O,则

word/media/image39.gif

--AC= 4 -',

••• AA = AC- AC 4 二-4,

由折叠可得，A= AA = 2二-2; 故答案为：J 二或2二-2.

三•解答题(共8小题，满分75 分)

/-h + -)?、；〔、—滨

x-2 x~2 x+2

=? 1

x-2 我

=2 (x+2)

=2X+4,

当x =-时，

原式=2 X(- -y) +4

=—1+4

=3.

17•解：(1)由题意可得,

故答案为：96,

每月每户的用水量在 15〜20之间的用户有：96 - 15 - 25 - 20 - 15 - 5= 16 (户)，

补全的条形统计图，如右图所示；

(2)由条形统计图可得，

每月每户用水量的中位数落在： 15〜20,

故答案为：15〜20;

(3)由题意可得，

视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数有：窗皿-二=875

(户),

word/media/image40.gif答：视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数有

图—

18. (1)证明：连接OE

••• OA= OE

•••/ OAE=Z OEA

••• AE平分/ BAF

•••/ OAE=Z EAF

•••/ OEA=/ EAF

•OE/ AD

•/ EDL AF

•••/ D= 9 0°

•••/ OE= 180。-/ D= 90°

•OEL DE

(2)解：①连接BE

•/ AB是O 0直径

••• ：/ AEB= 90°

•••/ BED=Z D= 90°,/ BAE■/ABE= 90°

•/ BC是O O的切线

•••/ ABC=/ AB^ / CBE= 90°

•/ BAE=/ CBE

•// DAE=/ BAE

•/ DAE=/ CBE

•••△ ADEo^ BEC

•：. _ 1

•/ DE= 3, CE= 2

BC 2

②过点E作EHL AB于H,过点G作GP// AB交EH于 P,过点P作PQ/ 0（交AB于Q

•EPL PG四边形 OGP（是平行四边形

•/ EPG= 90°，PQ= OG

•••设 BC= 2x, AE= 3x

•AC= A巳CE= 3x+2

•/ BEC=/ ABC= 90°,/ C=/ C

•△ BEC^ ABC

•BC _ CE

•厶 ■

•bC= AC?CE 即（2x） 2 = 2 （3x+2）

解得：Xi= 2, X2=-—（舍去）

2

BC= 4, AE= 6, AC= 8

••• sin / BAC=»_-,

AC 2

•••/ BAC= 30°

•••/ EGF=Z BAC= 30°

•PE= EG

2

•OG 丄 EG= PQPE

2

•••当E、P、Q在同一直线上（即 H Q重合）时，PQPE= EH最短

•/ EH= AE= 3 2

•- OG^EG的最小值为3

2

S3

由题意得/ PA= 30。，/ PBA= 45°,

设 PH= x，贝U AH= x, BH= x, PA x,

••• A* 16,

••J jx+x= 16,

解得：x = 8 8,

--PB= * ,x= 8 i：- 8-j ：,

答：灯塔P与B之间的距离为(8 7：- 8刁km

20•解：(1)把点 A(- 2, 12) , B (8,- 3)代入 y = kx+b /曰 fl2=-2k+b

得：1

-3=8k+b

解得：严2

,Z9

•••一次函数解析式为：y =-厶:

2

(2 )分别过点 C D做CAL y轴于点A, DBL y轴于点B

设点C坐标为(a, b),由已知ab= m

由(1)点E坐标为(0, 9),则AE= 9 - b

•/ AC// BD, CD= CE

•BD= 2a, EB= 2 ( 9 - b)

•OB= 9 - 2 (9- b)= 2b- 9

•••点 D坐标为(2a, 2b- 9)

•2a?(2b- 9)= m

整理得m= 6a

■/ ab= m

•- b= 6

则点D坐标化为(2a, 3)

•.•点D在y=--工+〔：图象上

•a= 2

• m= ab= 12

21 •解：(1)设笔记本的单价为 m元/本，钢笔的单价为 n元/支,

解得：啓

答：笔记本的单价为16元/本，钢笔的单价为18元/个.

(2)①当 0v xw 10 时，18x；

当 x> 10 时，y1= 18X 10+18x—( x- 10)= 13.5 x+45.

②设获奖的学生有 a个，购买奖品的总价为 w

根据题意得： w钢笔=13.5 a+45, w笔记本=16a.

当w钢笔>可笔记本时，有13.5 a+45> 16a, 解得：xv 18;

当w钢笔=w笔记本时，有13.5 a+45= 16a,

解得：x = 18;

当w钢笔>可笔记本时，有13.5 a+45v 16a,

解得：x> 18.

10个少于18个时，购买笔记本省钱；当获奖的学生等于10个时,

购买笔记本和购买钢笔所花钱数一样多；当获奖学生多于 18个时，购买钢笔省钱.

22.解：(1)v AD= BD，

:丄 B=Z BAD

••• AD= CD

•••/ C=Z CAD

在厶 ABC中, Z &■/C+Z BAC= 180°,

•••/ B+Z C+Z BADZ CAD=Z B+Z C+Z &C= 180

•Z B+Z C= 90°,

•Z BA(= 90°,

(2)如图②，连接AC BD OE

•••四边形ABCDi矩形，

:.OA= OB= OC= OD= AO 1 BD

22

•/ AEL CE

•••/ AEG 90°,

••• OE= —AC,

2

•OE=— BD

2

•••/ BED= 90°,

•BE! DE

(3)如图3,••四边形 ABODE矩形，

••• AD= BO / BAD= 90°,

•△ ADE是等边三角形，

•AE= AD= BO / DAE=Z A ED= 60°,

由(2)知，/ BED= 90°,

•••/ BAE=Z BEA= 30°,

过点B作BF丄AE于 F,

•AE= 2AF,在 Rt△ ABF中，/ BAE= 30

•AB= 2BF, AF= 一BF,

•AE= 2 一BF,

•AE= 一AB

•BC= 一AB

E图②

23.解：(1)v直线x=- 2与x轴交于点C,

•••点 C (- 2, 0),

••• B (1, 0),

•- BC= 3,

•/ AC= 2BC

•- AC= 6 ,

•••直线x =- 2与抛物线交于点 A

•••点 A (- 2 , 6),

word/media/image48.gif把点A B的坐标代入解析式，得:

•抛物线的解析式为： y =- x2- 3x+4；

(2［①：P是直线AB上方的抛物线上的一点,

•设点P的坐标为(a, - a2 - 3a+4),

设直线AB的解析式为yAB= kx+b ,

word/media/image49.gif将点A、B的坐标代入解析式，得:

•直线AB的解析式为：y=- 2x+2 ,

••• PDLx轴于点

D,交AB于点E,

•••点E的坐标为

(a, - 2a+2),

word/media/image50.gif

9

PE=- a - 3a+4 -( - 2a+2)=-

•/ DE= 3PE

•••- 2a+2= 3 (

-a2 - a+2),解得：ai= 1 (舍去)，

4

a2=-，

当 x =-- 时，y 〒,

•••点P的坐标为（」， ）;

39

②•••点M在直线PD上，

•设点m的坐标为（7, m,

3

•••点 A （- 2, 6）,点 B （1 , 0）,

• AB= 丁丄「=、口.二，AM= 「 , BM=

•••△ ABM为以AB为直角边的直角三角形，

I:当BM为斜边时，可得： aB+aM= bM,

即 45+£+（ 6- m 2=弓+m,解得：m=¥，

3 3 O

41 q

•••点M的坐标为（-,^-）;

J O

n：当am为斜边时，可得： aB+bM= aM,

即 45+三+卅=二+ （6 - nj ，解得： m= 一,

9 9 6

•••点M的坐标为（一，-■）;

3 6

综上所述，符合题意的点 M的坐标为M （ j£, 2刍）、M （二^,-上）•

3 3 3 6

河南省平顶山市宝丰县2019年中招调研测试（一）数学试题（含解析）