2020届天津市滨海新区七所重点中学高三毕业班联考数学试卷

发布时间：2020-12-01 11:25:07

数学试卷

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟．

第Ⅰ卷　选择题(共45分)

一、选择题(本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．记全集U＝R，集合A＝{x|x2≥16}，集合B＝{x|2x≥2}，则(∁UA)∩B＝(　　)

A．[4，＋∞) B．(1，4] C．[1，4) D．(1，4)

2．已知直线l1：(a－2)x＋ay＋3＝0，l2：x＋(a－2)y＋4＝0，其中a∈R，“则a＝－1”是“l1⊥l2”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知a＝log32，b＝log56，c＝ln2，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a．c．a．c

4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC，a＝2，b＝2，则△ABC的面积为(　　)

A．2 B．2 C．4 D．4

5．已知抛物线x2＝y的焦点F与双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点重合，且点F到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为(　　)

6．《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍．请问第几天，莞的长度是蒲的长度的4倍(　　)

A．4天 B．5天 C．6天 D．7天

7．已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0，x∈R)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，纵坐标扩大到原来的2倍得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的命题中正确的是(　　)

A．函数g(x)是奇函数

B．g(x)的图象关于直线x＝对称

C．g(x)在上是增函数

D．当x∈时，函数g(x)的值域是[0，2]

8．在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，＝2，＝2，若＝λ＋μ，则＋＝(　　)

A. B. C．－ D．－

9．已知函数f(x)＝3x＋3－x＋2x2－3，若函数g(x)＝|f(x)|－loga(x＋2)(a>0，a≠1)在区间[－1，1]上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)

A. B．(2，＋∞) C. D.

第Ⅱ卷　非选择题(共105分)

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在相应的横线上．)

10．已知复数z＝(i是虚数单位)，则复数z的虚部为________．

11．二项式(＋)10，则该展开式中的常数项是________．

12．已知圆C：x2＋y2－2x－2y－6＝0，直线l过点(0，3)，且与圆C交于A、B两点，|AB|＝4，则直线l的方程为______________．

13．底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面中心的四棱锥叫做正四棱锥．已知正四棱锥的高为2，体积为12，则该正四棱锥的外接球的表面积为________．

14．世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有________种．

15．已知x>0，y>0，则的最大值是________．

三、解答题(本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

16．(本小题满分13分)某校高三实验班的60名学生期中考试的语文、数学成绩都在[100，150]内，其中语文成绩分组区间是：[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]，其成绩的频率分布直方图如图所示，这60名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示：

分组区间	[100，110)	[110，120)	[120，130)	[130，140)	[140，150]
x∶y	1∶2	2∶1	3∶5		3∶4
语文人数x		24			3
数学人数y		12			4

(1)求图中a的值及数学成绩在[130，140)的人数；

(2)语文成绩在[140，150]的3名学生均是女生，数学成绩在[140，150]的4名学生均是男生，现从这7名学生中随机选取4名学生，事件M为：“其中男生人数不少于女生人数”，求事件M发生的概率；

(3)若从数学成绩在[130，150]的学生中随机选取2名学生，且这2名学生中数学成绩在[140，150]的人数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．

17．(本小题满分15分)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2(n∈N*)，数列{bn}为等比数列，且a2＋1，a4＋1分别为数列{bn}第二项和第三项．

(1)求数列{an}与数列{bn}的通项公式；

(2)若数列，求数列{cn}的前n项和为Tn.

18．(本小题满分15分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1＝，BC＝1，AB＝C1C＝2，点E是棱C1C的中点．

(1)求证：C1B⊥平面ABC；

(2)求二面角A－EB1－A1的余弦值；

(3)在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

19．(本小题满分16分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率e＝，左、右焦点分别是F1、F2，且椭圆上一动点M到F2的最远距离为＋1，过F2的直线l与椭圆C交于A，B两点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)当△F1AB以∠F1AB为直角时，求直线AB的方程；

(3)直线l的斜率存在且不为0时，试问x轴上是否存在一点P使得∠OPA＝∠OPB，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

20．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝msin(1－x)＋lnx.

(1)当m＝1时，求函数f(x)在(0，1)的单调性；

(2)当m＝0且a≥－时，g(x)＝－af(x)＋，求函数g(x)在(0，e]上的最小值；

(3)当m＝0时，h(x)＝f(x)＋－b有两个零点x1，x2，且x12.求证：x1＋x2>1.

数学答案

1．C　[命题立意]本题考查不等式解法、集合的交集、补集运算．

[解析]∵A＝{x|x2≥16}，∴∁UA＝{x|x2<16}＝{x|－4，∵B＝{x|2x≥2}＝{x|x≥1}，∴(∁UA)∩B＝{x|1≤x<4}，故选C.

2．A　[命题立意]本题考查两直线垂直、充分必要条件．

[解析]当l1⊥l2时有(a－2)·1＋a(a－2)＝0，解得a＝－1或a＝2，∴“a＝－1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．故选A.

3．A　[命题立意]本题考查对数函数的单调性．

[解析]∵a＝log32＝，c＝ln2＝，∴a，又∵b＝log56>1，∴a故选A.

4．B　[命题立意]本题考查正、余弦定理、三角形面积．

[解析]∵(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC，∴由正弦定理得(b－c)2＝a2－bc.整理得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝，又∵A∈(0，π)，∴A＝，又∵a＝2，b＝2，a2＝b2＋c2－2bccosA，∴12＝4＋c2－2c，∴c＝4，∴S△ABC＝bcsinA＝2，故选B.

5．D　[命题立意]本题考查双曲线、抛物线的几何性质．

[解析]∵抛物线x2＝y的焦点F(0，5)，∴c＝5，又∵点F到双曲线的渐近线的距离为4，∴＝b＝4，又∵a2＋b2＝c2，∴a2＝9，∴双曲线方程为－＝1.故选D.

6．B　[命题立意]本题考查等比数列的前n项和公式．

[解析]根据题意，设蒲每天长高的长度组成数列{an}，莞每天长高的长度组成数列{bn}，则{an}，{bn}均为等比数列，a1＝4，b1＝1，公比分别为和2，∴{an}的前n项和An＝＝8，{bn}的前n项和Bn＝＝2n－1，设第t天莞的长度是蒲的长度的4倍，则4×8＝2t－1，解得t＝5，故选B.

7．C　[命题立意]本题考查图象变换、正弦型函数的性质．

[解析]f(x)＝sinωx－cosωx＝2sin，∵f(x)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，∴T＝π，∴ω＝2即f(x)＝2sin，∴g(x)＝4×sin＝4sin，∵g(x)不是奇函数，∴A错误；∵g＝4sin＝2，∴B错误；∵当x∈时，2x＋∈，∴g(x)在上是增函数，C正确，∵当x∈时2x＋∈，∴g(x)值域为[0，4]，D错误，故选C.

8．D　[命题立意]本题考查向量的线性运算．

[解析]∵＝2，∴＝，∵＝2，∴＝·，∴＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＝＋，∴＝－，∴＝＋＝＋＝－＋＝－，∵＝λ＋μ，∴λ＝，μ＝－，∴＋＝－4＝－，故选D.

9．B　[命题立意]本题考查函数零点、函数的奇偶性、单调性．

[解析]g(x)＝|f(x)|－loga(x＋2)(a>0且a≠1)在区间[－1，1]上有4个不同的零点等价于y＝|f(x)|与g(x)＝loga(x＋2)在[－1，1]上的图象有四个不同的交点，∵f(－x)＝3－x＋3x＋2x2－3＝f(x)，∴f(x)为偶函数，当x>0时，f′(x)＝3xln3－3－xln3＋4x＝·ln3＋4x>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵f(0)＝－1，f(1)＝，∴ ∈(0，1)，使得f(x0)＝0，画出图象如图：

g(x)＝loga(x＋2)恒过点A(－1，0)，当0时无交点，不合题意；

当a>1时，由图得只需解得a>2，故选B.

10.　[命题立意]本题考查复数的除法运算、有关概念．

[解析]∵z＝＝＝＝＋i.

∴z的虚部为.

11．180　[命题立意]本题考查二项展开式的特定项．

[解析]的展开式通项为Tr＋1＝Cr10()10－r·＝2rCr10x5－r，令5－r＝0得r＝2，∴常数项为22C210＝180.

12．y＝3或4x－3y＋9＝0　[命题立意]本题考查直线的方程、直线与圆的位置关系．

[解析]圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝8，∴圆心C(1，1)，半径r＝2，∵|AB|＝4，∴圆心C到直线l的距离d＝＝2，当l的斜率不存在时l：x＝0，不满足d＝2；当l的斜率存在时，设l：y＝kx＋3，则圆心C到l的距离d＝＝2，解得k＝0或k＝，∴l的方程为y＝3或y＝x＋3即y＝3或4x－3y＋9＝0.

13.π　

[命题立意]本题考查正四棱锥的外接球的表面积．

[解析]如图正四棱锥P－ABCD，PE⊥平面ABCD于E，则E为正方形ABCD中心，PE＝2，∵正四棱锥的体积为12，∴12＝×AB2×2，∴AB＝3，∴AE＝3，外接球的球心O在PE上，设半径为R，则(R－2)2＋32＝R2，∴R＝，∴S球＝4πR2＝π.

14．36　[命题立意]本题考查排列、组合．

[解析]若小张、小赵都被选上有A22A23＝12种方案，若小张、小赵被选上1人有C12C12·A33＝24种方案，根据分类加法计数原理有12＋24＝36种方案．

15.　[命题立意]本题考查基本不等式．

[解析]＋＝＝＝，令t＝＋，则t≥2(当且仅当x＝y时等号成立).＋＝＝≤

＝.∴＋的最大值为.

16．[命题立意]本题考查频率分布直方图、古典概型、超几何分布．

[解题思路](1)由直方图根据面积和等于1，求出a；根据直方图求出语文成绩在各区间的人数，再按x与y的比例求出数学成绩在各区间的人数；(2)将M分解为“4男0女”、“3男1女”、“2男2女”三个互斥事件，利用古典概型求得概率；(3)X服从超几何分布，写出X的所有可能取值，分别求出相对应的概率，写出分布列，代入期望公式求得期望．

[解](1)∵(0.005＋0.020＋a＋0.040＋0.005)×10＝1，a＝0.030.

语文成绩在[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]中的人数分别为3，24，18，12，3.

∴数学成绩在[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]中的人数分别为6，12，30，8，4.

∴数学成绩在[130，140)的人数为8人．

(2)事件M发生的概率P(M)＝＝.

(3)由题意可知X可能取值有0，1，2.

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝＝.

X的分布列为

X	0	1	2
P

∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

17．[命题立意]本题考查知Sn求an、等比数列的通项公式、错位相减求和、裂项相消求和．

[解题思路](1)利用an＝求得an，解方程组求出b1和q，得bn；(2)由(1)得cn＝(2n－1)·2n＋，对于(2n－1)·2n利用错位相减法求和，对利用裂项相消法求和，再相加即可．

[解](1)∵Sn＝n2，∴当n＝1时，a1＝1.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，

当n＝1时也满足上式，

∴an＝2n－1(n∈N*)．

设数列{bn}的首项为b1，公比为q，

则

∴b1＝2，q＝2.

∴bn＝2n，n∈N*.

(2)∵cn＝anbn＋，

∴cn＝(2n－1)2n＋.

设{(2n－1)2n}前n项和为An，前n项和为Bn，

An＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)2n

2An＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－1)×2n＋1

∴－An＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)×2n＋1

＝2＋－(2n－1)2n＋1

＝－6＋(3－2n)2n－1

∴An＝6＋(2n－3)×2n＋1，n∈N*.

∵＝，

∴Bn＝

＝＝，

∴Tn＝6＋(2n－3)×2n－1＋.

18．[命题立意]本题考查线面垂直的证明、二面角、线面角．

[解题思路](1)利用勾股定理证明C1B⊥BC，由已知线面垂直得C1B⊥AB，由线面垂直的判定定理得C1B⊥平面ABC；(2)建立空间直角坐标系，分别求出平面AB1E和平面A1B1E的一个法向量，利用向量法求得二面角的余弦值；(3)假设存在点M满足题意，设＝λ，求出，利用(2)中平面A1BE的法向量，利用向量法及已知线面角的正弦值求出λ即可．

[解](1)证明：∵BC＝1，CC1＝2，∠BCC1＝，

∴BC1＝，

又∵BC2＋BC21＝CC21，

∴BC1⊥BC.

∵AB⊥侧面BB1C1C，

∴AB⊥BC1，

又∵AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，

∴C1B⊥平面ABC.

(2)以B为原点，分别以，和的方向为x，y和z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有A(0，0，2)，B1(－1，，0)，E，A1(－1，，2)，

设平面AB1E的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，

＝(－1，，－2)，＝.

∵

∴

令y1＝，则x1＝1，

∴n＝(1，，1)．

设平面A1B1E的一个法向量为m＝(x，y，z)．

＝(0，0，－2)，＝.

∵∴

令y＝，则x＝1，∴m＝(1，，0)．

|m|＝2，|n|＝，m·n＝4.

∴cos〈m，n〉＝＝＝.

设二面角A－EB1－A1为α，

则cosα＝cos〈m，n〉＝.

∴设二面角A－EB1－A1的余弦值为.

(3)假设存在点M，设M(x，y，z)，

∵＝λ，λ∈[0，1]，

∴(x－1，y，z)＝λ(－1，0，2)．

∴M(1－λ，0，2λ)，∴＝.

由(2)知平面A1B1E的一个法向量为m＝(1，，0)．

∴＝，

得69λ2－38λ＋5＝0.

即(3λ－1)(23λ－5)＝0，

∴λ＝或λ＝.

∵在棱CA上存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，

∴＝或＝.

19．[命题立意]本题考查椭圆的方程、直线的方程、直线与椭圆的位置关系．

[解题思路](1)解方程组求出a，b得椭圆方程；(2)根据|AO|＝|F1F2|＝1，B、A在椭圆上联立求出A点坐标，利用两点式求出AB的方程；(3)设P(m，0)，设出直线AB的方程与椭圆方程联立，消y，利用韦达定理及斜率公式，由kAP＋kBP＝0求出m即可．

[解](1)∵∴∴椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)解法一：由题意可知，当直线斜率k不存在时，△F1AB不符合题意．

设A(x0，y0)，连接AO，∵∠F1AB为直角，∴△AF1F2为直角三角形，

又∵O为F1F2中点，∴|AO|＝

|F1F2|＝1，即|AO|＝1，

∴x20＋y20＝1，

又∵x20＋2y20＝2，

∴y20＝1，A(0，1)或A(0，－1)．

∴k＝±1，∴直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.

解法二：由题意可知，当k不存在时，△F1AB不符合题意．

设直线lAB：y＝k(x－1)，

则lAF1：y＝－(x＋1)，

∴得(k2＋1)x＝k2－1，

∴A，

∴＋＝2，k4－2k2＋1＝0，∴k2＝1.

直线AB的方程为y＝－x＋1或y＝x－1.

(3)设P(m，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，lAB：y＝k(x－1)，

∴(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.

∴x1＋x2＝，x1x2＝，

∵kAP＝，kBP＝，

kAP＋kBP＝＝0，

∴y1x2＋y2x1－m(y1＋y2)＝0.

∴2kx1x2－(k＋mk)(x1＋x2)＋2km＝0.

∴2km＝4k，m＝2.

∴P(2，0)．

20．[命题立意]本题考查利用导数研究函数的单调性、最值、构造函数证明不等式．

[解题思路](1)对f(x)求导，判断f′(x)在(0，1)上的正负情况，得f(x)单调性；(2)对g(x)求导，分a≥0，a<0两种情况讨论g(x)在(0，e]上的单调性，得最小值；(3)由h(x)有两个零点x1、x2，且x1整理得x1＝，x2＝，令t＝，则x1＋x2＝(t∈(0，1))．构造函数l(t)＝t－－2lnt，对l(t)求导，判断l(t)在(0，1)上的单调性，利用l(1)＝0证得t－－2lnt<0即可．