2018年全国统一高考数学试卷(理科)(全国新课标ⅲ)

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高考真题及答案
2018年云南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅲ）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5.00分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}2．（5.00分）（1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3﹣iB．﹣3+i
C．3﹣iD．3+i
3．（5.00分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）

A．B．C．D．

4．（5.00分）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣D．﹣
5．（5.00分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（）A．10B．20C．40D．80
6．（5.00分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）
2
+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）
，3
]D．[2
，3
]
A．[2，6]B．[4，8]C．[
7．（5.00分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（）
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A．B．
C．D．

8．（5.00分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（）A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3
9．（5.00分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为
，则C=（）
A．
B．
C．
D．

10．（5.00分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9A．12
B．18

，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）C．24
D．54
﹣

11．（5.00分）设F1，F2是双曲线C：
=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，
|OP|，
O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=则C的离心率为（）A．
B．2
C．
D．

12．（5.00分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（）
A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜abD．ab＜0＜a+b
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高考真题及答案
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5.00分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），则λ=．
14．（5.00分）曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a=．15．（5.00分）函数f（x）=cos（3x+
）在[0，π]的零点个数为．
16．（5.00分）已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k=．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12.00分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．
18．（12.00分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

超过
不超过m
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m
第一种生产方
式第二种生产方
式
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2=P（K2≥k）
k
，0.0503.841
0.0106.635
0.00110.828
所在平面




19．（12.00分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧垂直，M是
上异于C，D的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．

20．（12.00分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且|
|成等差数列，并求该数列的公差．
+
+
+=1交于A，B两点，线
=．证明：||，||，
21．（12.00分）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．
（1）若a=0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0；（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a．
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（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10.00分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为参数），过点（0，﹣
，（θ为
）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．（1）画出y=f（x）的图象；
（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．


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2018年云南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅲ）
参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5.00分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}
【分析】求解不等式化简集合A，再由交集的运算性质得答案．【解答】解：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}．故选：C．
【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．
2．（5.00分）（1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3﹣iB．﹣3+i
C．3﹣iD．3+i
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：（1+i）（2﹣i）=3+i．故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3．（5.00分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）

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A．B．C．D．

【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可．【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A．

故选：A．
【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法，是基本知识的考查．
4．（5.00分）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣D．﹣
【分析】cos2α=1﹣2sin2α，由此能求出结果．【解答】解：∵sinα=，
∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故选：B．
【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5．（5.00分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（）A．10B．20C．40D．80
【分析】由二项式定理得（x2+）5的展开式的通项为：Tr+1=
r
（x2）5﹣r（）
=
，由10﹣3r=4，解得r=2，由此能求出（x2+）5的展开式中x4的
系数．
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高考真题及答案
【解答】解：由二项式定理得（x2+）5的展开式的通项为：Tr+1=
（x2）5﹣r（）r=
，
由10﹣3r=4，解得r=2，
∴（x2+）5的展开式中x4的系数为故选：C．
【点评】本题考查二项展开式中x4的系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
6．（5.00分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）
2
=40．
+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）
，3
]D．[2
，3
]
，
），∈
A．[2，6]B．[4，8]C．[
【分析】求出A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=2点P到直线x+y+2=0的距离：d=[
，设P（2+
=
]，由此能求出△ABP面积的取值范围．
【解答】解：∵直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=
=2
，
，
），
∵点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，∴设P（2+∴点P到直线x+y+2=0的距离：d=
=
，
∵sin（）∈[﹣1，1]，∴d=∈[]，
∴△ABP面积的取值范围是：[
故选：A．
【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距
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，]=[2，6]．

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离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
7．（5.00分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（）
A．B．
C．D．

【分析】根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可．【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B．函数的导数f′（x）=﹣4x3+2x=﹣2x（2x2﹣1），由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0，得x＜﹣
或0＜x＜
，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得2x（2x2﹣1）＞0，得x＞
或﹣
＜x＜0，此时函数单调递减，排除C，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数过定点以及判断函数的单调性是解决本题的关键．
8．（5.00分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（）
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高考真题及答案
A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3
【分析】利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可．
【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足X～B（10，p），P（x=4）＜P（X=6），可得p
．
，可得1﹣2p＜0．即
因为DX=2.4，可得10p（1﹣p）=2.4，解得p=0.6或p=0.4（舍去）．故选：B．
【点评】本题考查离散型离散型随机变量的期望与方差的求法，独立重复事件的应用，考查转化思想以及计算能力．
9．（5.00分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为
，则C=（）
A．
B．
C．
D．

【分析】推导出S△ABC=能求出结果．
=，从而sinC==cosC，由此
【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为∴S△ABC=∴sinC=
∵0＜C＜π，∴C=故选：C．
【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
10．（5.00分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为
==cosC，．
，，
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等边三角形且面积为9A．12
B．18

，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）C．24
D．54

【分析】求出，△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．
【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9
，可得
，解得AB=6，
球心为O，三角形ABC的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：O′C=
=
，OO′=
=2，
则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：故选：B．
=18
．

【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
11．（5.00分）设F1，F2是双曲线C：
﹣
=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，
|OP|，
O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=则C的离心率为（）A．
B．2
C．
D．

【分析】先根据点到直线的距离求出|PF2|=b，再求出|OP|=a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|cos∠PF2O，代值化简整理可得
a=c，问题得以解决．
﹣
=1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y=x，
【解答】解：双曲线C：
∴点F2到渐近线的距离d=
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=b，即|PF2|=b，

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∴|OP|=∵|PF1|=∴|PF1|=
|OP|，a，
=
=a，cos∠PF2O=，
在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O，
∴6a2=b2+4c2﹣2×b×2c×=4c2﹣3b2=4c2﹣3（c2﹣a2），即3a2=c2，即
a=c，
，
∴e==
故选：C．
【点评】本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题．
12．（5.00分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（）
A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜abD．ab＜0＜a+b【分析】直接利用对数的运算性质化简即可得答案．【解答】解：∵a=log0.20.3=
，b=log20.3=
，
∴=，
，
∵
，
，
∴ab＜a+b＜0．故选：B．
【点评】本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，是中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5.00分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），
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高考真题及答案
则λ=．
=（4，2），再由向量平行的性质能求
【分析】利用向量坐标运算法则求出出λ的值．
【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，﹣2），∴
=（4，2），
∵=（1，λ），∥（2+），∴
，
解得λ=．故答案为：．
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
14．（5.00分）曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a=﹣3．
【分析】球心函数的导数，利用切线的斜率列出方程求解即可．【解答】解：曲线y=（ax+1）ex，可得y′=aex+（ax+1）ex，曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，可得：a+1=﹣2，解得a=﹣3．故答案为：﹣3．
【点评】本题考查函数的导数的应用切线的斜率的求法，考查转化思想以及计算能力．
15．（5.00分）函数f（x）=cos（3x+【分析】由题意可得f（x）=cos（3x+x=
+kπ，即可求出．
）在[0，π]的零点个数为3．）=0，可得3x+
=
+kπ，k∈Z，即
高考真题解析

高考真题及答案
【解答】解：∵f（x）=cos（3x+∴3x+∴x=
=
+kπ，k∈Z，
）=0，
+kπ，k∈Z，
，
当k=0时，x=
当k=1时，x=π，当k=2时，x=π，当k=3时，x=∵x∈[0，π]，∴x=
，或x=π，或x=π，
π，
故零点的个数为3，故答案为：3
【点评】本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题，属于基础题．
16．（5.00分）已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k=2．
【分析】由已知可求过A，B两点的直线方程为y=k（x﹣1），然后联立直线与抛物线方程组可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0，可表示x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2，由∠AMB=90°，向量的数量积为0，代入整理可求k．【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），∴过A，B两点的直线方程为y=k（x﹣1），联立
可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=1，
高考真题解析

高考真题及答案
∴y1+y2=k（x1+x2﹣2）=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=﹣4，∵M（﹣1，1），∴
=（x1+1，y1﹣1），
•
=（x2+1，y2﹣1），=0
∵∠AMB=90°，∴
∴（x1+1）（x2+1）+（y1﹣1）（y2﹣1）=0，整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+2=0，∴1+2+
﹣4﹣+2=0，
即k2﹣4k+4=0，∴k=2．故答案为：2
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的相交关系的应用，解题的难点是本题具有较大的计算量．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12.00分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．
【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q=±2，由此能求出{an}的通项公式．
（2）当a1=1，q=﹣2时，Sn=
，由Sm=63，得Sm=
=63，m∈N，
无解；当a1=1，q=2时，Sn=2n﹣1，由此能求出m．【解答】解：（1）∵等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．∴1×q4=4×（1×q2），解得q=±2，当q=2时，an=2n﹣1，
当q=﹣2时，an=（﹣2）n﹣1，
高考真题解析

高考真题及答案
∴{an}的通项公式为，an=2n﹣1，或an=（﹣2）n﹣1．（2）记Sn为{an}的前n项和．当a1=1，q=﹣2时，Sn=由Sm=63，得Sm=当a1=1，q=2时，Sn=
=
=
，
=63，m∈N，无解；
=
=2n﹣1，
由Sm=63，得Sm=2m﹣1=63，m∈N，解得m=6．
【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
18．（12.00分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

超过m
不超过m
第一种生产方
式
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高考真题及答案
第二种生产方
式

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2=P（K2≥k）
k
，0.0503.841
0.0106.635
0.00110.828
【分析】（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
（2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；（3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论．【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，
第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92之间，第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85之间，所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m=由此填写列联表如下；

=80；
超过m15520
不超过m
51520
总计202040
第一种生产方式第二种生产方式
总计
（3）根据（2）中的列联表，计算K2=
=
=10＞6.635，
∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．
【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．
19．（12.00分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧垂直，M是
高考真题解析
所在平面
上异于C，D的点．

高考真题及答案
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．

【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明MC⊥平面ADM即可．
（2）根据三棱锥的体积最大，确定M的位置，建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用向量法进行求解即可．
【解答】解：（1）证明：在半圆中，DM⊥MC，∵正方形ABCD所在的平面与半圆弧∴AD⊥平面DCM，则AD⊥MC，∵AD∩DM=D，∴MC⊥平面ADM，∵MC⊂平面MBC，∴平面AMD⊥平面BMC．（2）∵△ABC的面积为定值，
∴要使三棱锥M﹣ABC体积最大，则三棱锥的高最大，此时M为圆弧的中点，
建立以O为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图∵正方形ABCD的边长为2，
∴A（2，﹣1，0），B（2，1，0），M（0，0，1），则平面MCD的法向量=（1，0，0），设平面MAB的法向量为=（x，y，z）则
=（0，2，0），=2y=0，•
=（﹣2，1，1），=﹣2x+y+z=0，
所在平面垂直，
由•
令x=1，
则y=0，z=2，即=（1，0，2），
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则cos＜，＞===，
=
．
则面MAB与面MCD所成二面角的正弦值sinα=

【点评】本题主要考查空间平面垂直的判定以及二面角的求解，利用相应的判定定理以及建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键．
20．（12.00分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且|
|成等差数列，并求该数列的公差．
+
+
=．证明：|
|，|
|，
+
=1交于A，B两点，线
【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，k=
=﹣
=﹣

又点M（1，m）在椭圆内，即得k＜﹣，
，解得m的取值范围，即可
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2由
+
+
=，可得x3﹣1=0，由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，
|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．即可证明|FA|+|FB|=2|FP|，求得A，B坐标再
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求公差．
【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的中点为M（1，m），∴x1+x2=2，y1+y2=2m将A，B代入椭圆C：
+
=1中，可得
，
两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，∴k=
=﹣
=﹣

点M（1，m）在椭圆内，即解得0＜m∴

，
．
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2，∵
+
+
=，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，y1+y2+y3=0，
∴x3=1，y3=﹣（y1+y2）=﹣2m
∵m＞0，可得P在第四象限，故y3=﹣，m=，k=﹣1
由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．则|FA|+|FB|=4﹣
，∴|FA|+|FB|=2|FP|，
联立
，可得|x1﹣x2|=

所以该数列的公差d满足2d=∴该数列的公差为±
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|x1﹣x2|=
，
．

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【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了点差法、焦半径公式，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用与计算能力的考查．属于中档题．
21．（12.00分）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．
（1）若a=0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0；（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a．
【分析】（1）对函数f（x）两次求导数，分别判断f′（x）和f（x）的单调性，结合f（0）=0即可得出结论；
（2）令h（x）为f′（x）的分子，令h″（0）计算a，讨论a的范围，得出f（x）的单调性，从而得出a的值．
【解答】（1）证明：当a=0时，f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x，（x＞﹣1）．
，
，
可得x∈（﹣1，0）时，f″（x）≤0，x∈（0，+∞）时，f″（x）≥0∴f′（x）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增，∴f′（x）≥f′（0）=0，
∴f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x在（﹣1，+∞）上单调递增，又f（0）=0．∴当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0．（2）解：由f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x，得f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+
﹣2=
，
令h（x）=ax2﹣x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1），h′（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）．
当a≥0，x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）＞h（0）=0，即f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，故x=0不是f（x）的极大值点，不符合题意．当a＜0时，h″（x）=8a+4aln（x+1）+显然h″（x）单调递减，①令h″（0）=0，解得a=﹣．
，
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∴当﹣1＜x＜0时，h″（x）＞0，当x＞0时，h″（x）＜0，∴h′（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，∴h′（x）≤h′（0）=0，
∴h（x）单调递减，又h（0）=0，
∴当﹣1＜x＜0时，h（x）＞0，即f′（x）＞0，当x＞0时，h（x）＜0，即f′（x）＜0，
∴f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，∴x=0是f（x）的极大值点，符合题意；②若﹣＜a＜0，则h″（0）=1+6a＞0，h″（e＜0，
∴h″（x）=0在（0，+∞）上有唯一一个零点，设为x0，∴当0＜x＜x0时，h″（x）＞0，h′（x）单调递增，∴h′（x）＞h′（0）=0，即f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，x0）上单调递增，不符合题意；③若a＜﹣，则h″（0）=1+6a＜0，h″（
﹣1）=（1﹣2a）e2＞0，
﹣1）=（2a﹣1）（1﹣e
）
∴h″（x）=0在（﹣1，0）上有唯一一个零点，设为x1，∴当x1＜x＜0时，h″（x）＜0，h′（x）单调递减，∴h′（x）＞h′（0）=0，∴h（x）单调递增，∴h（x）＜h（0）=0，即f′（x）＜0，
∴f（x）在（x1，0）上单调递减，不符合题意．综上，a=﹣．
【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性与极值的计算，零点的存在性定理，属于难题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10.00分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为
，（θ为
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参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．
【分析】（1）⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，直线l的方程为x=0，成立；当α≠的直线l的方程为y=tanα•x+＜1，进而求出
或
），联立
时，过点（0，﹣
）且倾斜角为α
，从而圆心O（0，0）到直线l的距离d=
，由此能求出α的取值范围．
，得（m2+1）y2+2
+2m2
（2）设直线l的方程为x=m（y+
﹣1=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出AB中点P的轨迹的参数方程．【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为
（θ为参数），
∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=当α≠
时，过点（0，﹣时，过点（0，﹣
）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+
，
∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，∴
或
，
，）．
），
＜1，
综上α的取值范围是（
（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），联立
，得（m2+1）y2+2
+2m2﹣1=0，
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，
=﹣+2，
=，=﹣，
∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）．
【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法，考查线段的中点的参数方程的求法，考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查数形结合思想的灵活运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．（1）画出y=f（x）的图象；
（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．

【分析】（1）利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可．
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（2）将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可．
【解答】解：（1）当x≤﹣时，f（x）=﹣（2x+1）﹣（x﹣1）=﹣3x，当﹣＜x＜1，f（x）=（2x+1）﹣（x﹣1）=x+2，当x≥1时，f（x）=（2x+1）+（x﹣1）=3x，
则f（x）=对应的图象为：
画出y=f（x）的图象；
（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，当x=0时，f（0）=2≤0•a+b，∴b≥2，当x＞0时，要使f（x）≤ax+b恒成立，
则函数f（x）的图象都在直线y=ax+b的下方或在直线上，∵f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2，且各部分直线的斜率的最大值为3，
故当且仅当a≥3且b≥2时，不等式f（x）≤ax+b在[0，+∞）上成立，即a+b的最小值为5．

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【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用不等式和函数之间的关系利用数形结合是解决本题的关键．

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2018年全国统一高考数学试卷(理科)(全国新课标ⅲ)

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