2019高考数学异构异模复习 第七章 不等式 7.3 简单的线性规划撬题 文

1．若x，y满足则z＝x＋2y的最大值为(　　)

A．0 B．1

C. D．2

答案　D

解析　由题意作出可行域如图中阴影部分所示，当z＝x＋2y经过点A(0,1)时，目标函数取得最大值，且zmax＝0＋2×1＝2.

2.已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝(　　)

A．3 B．2

C．－2 D．－3

答案　B

解析　画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝ax＋y的最大值为4，即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在y轴上的截距的最大值为4，作出过点D(0,4)的直线，由图可知，目标函数在点B(2,0)处取得最大值，故有a×2＋0＝4，解得a＝2.故选B.

3．若变量x，y满足约束条件，则z＝3x＋2y的最小值为(　　)

A．4 B.

C．6 D.

答案　B

解析　作出如图中阴影部分所示的可行域，当直线y＝－x＋经过点A时z取得最小值．由

得，此时，zmin＝3×1＋2×＝.

4．若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为(　　)

A．2 B．－2

C. D．－

答案　D

解析　如图，作出

所表示的平面区域，作出目标函数取得最小值－4时对应的直线y－x＝－4，即x－y－4＝0.显然z的几何意义为目标函数对应直线x－y＋z＝0在x轴上的截距的相反数，故该直线与x轴的交点(4,0)必为可行域的顶点，又kx－y＋2＝0恒过点(0,2)，故k＝＝－.故选D.

5．x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　　)

A.或－1 B．2或

C．2或1 D．2或－1

答案　D

解析　画出约束条件下的可行域，如图所示．令z＝0，画出直线y＝ax.

当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则必须使得直线y＝ax与x＋y－2＝0平行，此时a＝－1；

当a>0时，则直线y＝ax与2x－y＋2＝0平行，此时a＝2.

6．已知不等式组(a>0)表示的平面区域的面积是，则a等于(　　)

A. B．3

C. D．2

答案　A

解析　画出平面区域，可知该区域是一个三角形，其面积等于·2h＝，所以h＝.解方程组得y＝，所以＝，解得a＝，选A.

7．在平面直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)

C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

答案　D

解析　已知直线y＝k(x－1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示．

当直线y＝k(x－1)－1位于y＝－x和x＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域．所以直线y＝k(x－1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k的取值范围是(－∞，－1)．当直线y＝k(x－1)－1与y＝x平行时不能形成三角形，不平行时，由题意可得k>1时，也可形成三角形，综上可知k<－1或k>1.

8．设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为(　　)

A．1，－1 B．2，－2

C．1，－2 D．2，－1

答案　B

解析　首先画出|x|＋|y|≤1表示的平面区域为阴影部分．

x＋y＝1，x＋y＝－1，x－y＝1，x－y＝－1这四条直线的交点为(0,1)，(0，－1)，(1,0)，(－1,0)，由图形可知，当过点(0,1)时，x＋2y 取得最大值2，过点(0，－1)时，x＋2y取得最小值－2.

9．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(　　)

A.12万元 B．16万元

C．17万元 D．18万元

答案　D

解析　根据题意，设每天生产甲x吨，乙y吨，

则目标函数为z＝3x＋4y，作出不等式组所表示的平面区域如下图中阴影部分所示，作出直线3x＋4y＝0并平移，易知当直线经过点A(2,3)时，z取得最大值且zmax＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元，故选D.

10．若x，y满足约束条件则的最大值为________．

答案　3

解析　作出可行域如图中阴影部分所示，

由可行域知，在点A(1,3)处，取得最大值3.

11．若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．

答案　

解析　在平面直角坐标系中画出可行域如图中阴影部分所示，易得在点A处，z取得最大值，且zmax＝.

12.若实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是________．

答案　3

解析　∵x2＋y2≤1，∴6－x－3y>0，令t＝|2x＋y－2|＋|6－x－3y|，当2x＋y－2≥0时，t＝x－2y＋4.点(x，y)可取区域Ⅰ内的点(含边界)．

通过作图可知，当直线t＝x－2y＋4过点A时，t取最小值，∴tmin＝－＋4＝3.

当2x＋y－2<0时，t＝8－3x－4y，点(x，y)可取区域Ⅱ内的点(不含线段AB)．

通过作图可知，此时t>8－3×－4×＝3.

综上，tmin＝3，即|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是3.

13．实数x、y满足

(1)若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；

(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围．

解　由作出可行域如图中阴影部分所示．

(1)z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此的取值范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(OA斜率不存在)．

而由得B(1,2)，则kOB＝＝2.

∴zmax不存在，zmin＝2，

∴z的取值范围是[2，＋∞)．

(2)z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方．

因此x2＋y2的范围最小为|OA|2(取不到)，最大为|OB|2.

由得A(0,1)，

∴|OA|2＝()2＝1，

|OB|2＝()2＝5.

∴z的最大值为5，没有最小值．

故z的取值范围是(1,5]．

14.某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A，B两种规格金属板，每张面积分别为2 m2与3 m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A，B两种规格金属板各取多少张才能完成计划，并使总的用料面积最省？

解　设A，B两种金属板各取x张，y张，用料面积为z，

则约束条件为目标函数z＝2x＋3y.

作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．

z＝2x＋3y变成y＝－x＋，得斜率为－，在y轴上截距为，且随z变化的一组平行直线．

当直线z＝2x＋3y过可行域上点M时，截距最小，z最小，解方程组得M点的坐标为(5,5)．

此时zmin＝2×5＋3×5＝25(m2)．

两种金属板各取5张时，用料面积最省．

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