试卷类型：A

广州市2013届高三年级调研测试

数 学（理 科） 2013.1

本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.

5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知i为虚数单位，则复数ii对应的点位于（ ）

A．第一象限 B． 第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合，集合，则（ ）

A． B． C． D．

3．已知函数, 则的值是 （ ）

A． B． C． D．

4.设向量， ，则“”是“//”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．函数的图象向右平移单位后与函数的图象重合，则的解析式是 （ ）

A． B．

C． D．

6．已知四棱锥的三视图如图1所示，则四棱锥的四个侧面中面积最大的是（ ）

A． B． C． D．

7．在区间和分别取一个数,记为,

则方程表示焦点在轴上且离心率小于

的椭圆的概率为（ ）

A． B． C． D．

8．在R上定义运算若对任意，不等式

都成立，则实数的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9. 已知等差数列的前项和为，若，则的值为 .

10.若的展开式的常数项为84，则的值为 .

11.若直线是曲线的切线，则实数的值为 .

12.圆上到直线的距离为的点的个数是 _ .

13.图2是一个算法的流程图，

则输出的值是 .

（2）选做题（14～15题，考生

只能从中选做一题）

14.（几何证明选讲选做题）

如图3，已知是⊙的一条弦，

点为上一点，，

交⊙于，若，，

则的长是

15．（坐标系与参数方程选讲选做题）

已知圆的参数方程为为参数), 以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为, 则直线截圆所得的弦长是 .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16、（本小题满分12分）

已知的内角的对边分别是,且.

(1) 求的值；

(2) 求的值.

17、（本小题满分12分）

某市四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：

为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查.

（1）问四所中学各抽取多少名学生？

（2）从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；

（3）在参加问卷调查的名学生中，从来自两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用表示抽得中学的学生人数，求的分布列.

18、（本小题满分14分）如图4,已知四棱锥，底面是正方形，面，点是的中点，点是的中点,连接,.

(1) 求证：面；

（2）若,，求二面角的余弦值.

19、（本小题满分14分）

如图5, 已知抛物线，直线与抛物线交于两点，

，，与交于点.

(1) 求点的轨迹方程；

(2) 求四边形的面积的最小值.

图5

20、（本小题满分14分）

在数和之间插入个实数,使得这个数构成递增的等比数列,将这个数的乘积记为,令,N.

(1)求数列的前项和；

(2)求.

21、（本小题满分14分）

若函数对任意的实数，，均有，则称函数

是区间上的“平缓函数”.

(1) 判断和是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由；

(2) 若数列对所有的正整数都有，设,

求证：.

2013届广州市高三年级调研测试数学（理科）试题

参考答案及评分标准

一、选择题

1. A

分析：，其对应的点为，位于第一象限

2. D

分析：，，

3. B

分析：，

4. A

分析：当时，有，解得；

所以，但，故“”是“”的充分不必要条件

5. B

分析：逆推法，将的图象向左平移个单位即得的图象，

即

6. C

分析：三棱锥如图所示，， ，

，

7. B

分析：方程表示焦点在轴且离心率小于的椭圆时，有，

即，化简得，又，，

画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，

求得阴影部分的面积为，故

8. C

分析：由题意得，故不等式化为，

化简得，

故原题等价于在上恒成立，

由二次函数图象，其对称轴为，讨论得

或，解得或，

综上可得

二、填空题

9.

分析：方法一、（基本量法）由得，即，

化简得，故

方法二、等差数列中由可将化为，

即，故

10.

分析：，令，得其常数项为，

即，解得

11.

分析：设切点为，由得，

故切线方程为，整理得，

与比较得，解得，故

12.

分析：圆方程化为标准式为，其圆心坐标，

半径，由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，由右图

所示，圆上到直线的距离为的点有4个．

13.

分析：由题意

，，，，，，，，

…

， ， ， ；

以上共503行，

输出的

14.

分析：如图，因为，所以是弦中点，

由相交弦定理知，

即，故

15.

分析：圆的参数方程化为平面直角坐标方程为，

直线的极坐标方程化为平面直角坐标方程为，

如右图所示，圆心到直线的距离，

故圆截直线所得的弦长为

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.（本小题满分12分）

（本小题主要考查同角三角函数的关系、正弦定理、二倍角、两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）

（1）解:∵,

依据正弦定理得:, …………… 1分

即,解得. …………… 3分

(2)解:∵，

∴. …………… 4分

∴. …………… 5分

∴, …………… 6分

. …………… 7分

∵,

∴. …………… 8分

∴ …………… 9分

…………… 10分

. …………… 12分

17．（本小题满分12分）

（本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）

（1）解：由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，

抽取的样本容量与总体个数的比值为.

∴应从四所中学抽取的学生人数分别为. …… 4分

（2）解：设“从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所

中学”为事件，

从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生的取法共有C种，… 5分

这两名学生来自同一所中学的取法共有CCCC. … 6分

∴.

答：从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学

的概率为. …………… 7分

(3) 解：由（1）知，在参加问卷调查的名学生中，来自两所中学的学生人数分别

为.

依题意得，的可能取值为， …………… 8分

， ， .

…………… 11分

∴的分布列为：

…………… 12分

18．（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）

（1）证法1：取的中点，连接，

∵点是的中点,

∴. …………… 1分

∵点是的中点，底面是正方形，

∴. …………… 2分

∴.

∴四边形是平行四边形.

∴. …………… 3分

∵平面，平面，

∴面. …………… 4分

证法2：连接并延长交的延长线于点，连接，

∵点是的中点，

∴, …………… 1分

∴点是的中点. …………… 2分

∵点是的中点,

∴. …………… 3分

∵面，平面，

∴面. …………… 4分

证法3： 取的中点，连接，

∵点是的中点，点是的中点,

∴，.

∵面，平面，

∴面. …………… 1分

∵面，平面，

∴面. …………… 2分

∵，平面，平面，

∴平面面. …………… 3分

∵平面，

∴面. …………… 4分

（2）解法1：∵，面，

∴面. …………… 5分

∵面，

∴. …………… 6分

过作，垂足为，连接，

∵，面，面，

∴面. …………… 7分

∵面，

∴. …………… 8分

∴是二面角的平面角. …………… 9分

在Rt△中，,，得，

…………… 10分

在Rt△中，，得，

. …………… 11分

在Rt△中，， …………… 12分

. …………… 13分

∴二面角的余弦值为. ……… 14分

解法2：∵，面，

∴面.

在Rt△中，,，得

5分

以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，

建立空间直角坐标系， …………… 6分

则.

∴，，. ……… 8分

设平面的法向量为，

由， ，

得

令，得，.

∴是平面的一个法向量. …………… 11分

又是平面的一个法向量， …………… 12分

. …………… 13分

∴二面角的余弦值为. …………… 14分

19. （本小题满分14分）

（本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）

解法一:

（1）解：设，

∵，

∴是线段的中点. …………… 2分

∴，① …………… 3分

. ② …………… 4分

∵， ∴.

∴. …………… 5分

依题意知，

∴. ③ …………… 6分

把②、③代入①得：，即. ………… 7分

∴点的轨迹方程为. …………… 8分

(2)解：依题意得四边形是矩形，

∴四边形的面积为

………… 9分

. …………… 11分

∵，当且仅当时，等号成立， …………… 12分

∴. …………… 13分

∴四边形的面积的最小值为. …………… 14分

解法二:

(1)解:依题意,知直线的斜率存在,设直线的斜率为,

由于,则直线的斜率为. …………… 1分

故直线的方程为,直线的方程为.

由 消去,得.

解得或. …………… 2分

∴点的坐标为. …………… 3分

同理得点的坐标为. …………… 4分

∵，

∴是线段的中点. …………… 5分

设点的坐标为,

则 …………… 6分

消去,得. …………… 7分

∴点的轨迹方程为. …………… 8分

(2)解：依题意得四边形是矩形，

∴四边形的面积为

…………… 9分

………… 10分

…………… 11分

. …………… 12分

当且仅当,即时,等号成立. …………… 13分

∴四边形的面积的最小值为. …………… 14分

20. （本小题满分14分）

（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力）

(1)解法1:设构成等比数列,其中,

依题意, , ① …………… 1分

, ② …………… 2分

由于, ………… 3分

①②得.…………… 4分

∵,

∴. …………… 5分

∵, …………… 6分

∴数列是首项为,公比为的等比数列. …………… 7分

∴. …………… 8分

解法2: 设构成等比数列,其中,公比为,

则,即. …………… 1分

依题意,得

…………… 2分

…………… 3分

…………… 4分

. …………… 5分

∵, …………… 6分

∴数列是首项为,公比为的等比数列. ………… 7分

∴. ……… 8分

(2)解: 由(1)得, …………… 9分

∵, …………10分

∴,N. ………11分

∴

. …………… 14分

21.(本小题满分14分)

（本小题主要考查函数、绝对值不等式等基础知识，考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）

(1) 解：是R上的“平缓函数”，但不是区间R的“平缓函数”；

设，则,则是实数集R上的增函数，

不妨设，则，即，

则. …………… 1分

又也是R上的增函数，则，

即， …………… 2分

由、得 .

因此,，对都成立. …………… 3分

当时，同理有成立

又当时，不等式，

故对任意的实数， R,均有.

因此是R上的“平缓函数”. ………… 5分

由于 …………… 6分

取，，则， ………… 7分

因此，不是区间R的“平缓函数”. …………… 8分

（2）证明:由（1）得：是R上的“平缓函数”，

则， 所以. …………… 9分

而，

∴. …………… 10分

∵,……… 11分

∴. …………… 12分

∴

…………… 13分

. …………… 14分

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