2014-2015学年度（下）高二第二次考试

数学试题（文科）

2015.05

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1. 全集，集合，，那么集合（ ）

A. B. C. D.

2. 等差数列的前项和为，且=，=，则公差等于 （ ）

A． B． C． D．

3. 在中，，，，的面积为，则（ ）

A． B． C． D．

4. 下列函数在上为减函数的是

A． B． C． D．

5.已知双曲线的离心率为，则的值为

A. B. C. D.

6. 设定义在R上的奇函数满足，则的解集为

A． B． C． D．

7. 将函数的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于轴对称，则的一个可能取值为

A． B． C． D．

8. 给出下列关于互不相同的直线、、和平面、的四个命题：

① 若，，点，则与不共面；

② 若、是异面直线，，，且，，则；

③ 若，，，则；

④ 若，，，，，则， 其中为真命题的是

A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③

9. 在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为( ).

A. B. C. D.

10. 已知且，则向量等于（ ）

A. B. C. D.

11.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与 的一个交点，若，则=

A． B． C． D．

12. 设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是

A. B． C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）

13.已知变量，满足约束条件则的最大值为____________.

14. 正项等比数列中，，，则数列的前项和等于　　　．

15. 已知椭圆：，点与的焦点不重合，若关于的两焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则 ________________．

16．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点，例如是上的平均值函数，就是它的均值点．现有函数是上的平均值函数，则实数的取值范围是 __________________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17.（本小题满分12分）

已知等比数列中,.

(Ⅰ)若为等差数列,且满足,求数列的通项公式;

Ⅱ)若数列满足,求数列的前项和.

18.（本题12分）某校卫生所成立了调查小组，调查 “ 按时刷牙与患龋齿的关系” ，对该校某年级700 名学生进行检查，按患龋齿和不患龋齿分类，得汇总数据：按时刷牙且不患龋齿的学生有60 名，不按时刷牙但不患龋齿的学生有100 名，按时刷牙但患龋齿的学生有 140 名.

(1) 能否在犯错概率不超过 0.01 的前提下，认为该年级学生的按时刷牙与患龋齿有关系？

(2) 4名校卫生所工作人员甲、乙、丙、丁被随机分成两组，每组 2 人，一组负责数据收集，

另一组负责数据处理，求工作人员甲分到“ 负责收集数据组” 并且工作人员乙分到“ 负责数据处理组”的概率.

19．（本小题满分12分）

如图，四边形为矩形，平面,，平面于点，且点在上。（1）求证：；

（2）求三棱锥的体积；

（3）设点在线段上，且满足，

试在线段上确定一点，使得平面.

20．（本小题满分12分）

已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到点

的最大距离为8. （1）求椭圆的标准方程；

（2）已知圆，直线，试证：当点在椭圆上运动

时，直线与圆恒相交，并求直线被圆所截得的弦长的取值范围．

21.（本小题满分12分）

设函数，曲线过点，且在点处的切线方程为.

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）证明：当时，；

（Ⅲ）若当时，恒成立，求实数的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. (本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲.

如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交B,C两点，且AB=AC,作直线AF与圆E相切于点F，连接EF交BC于点D,己知圆E的半径为2， (1)求AF的长.⑵求证：AD=3ED.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是

（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程.（Ⅰ）判断直线与曲线的位置关系；

（Ⅱ）设为曲线上任意一点，求的取值范围．

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数.（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ）若存在实数，使得，求实数的取值范围．
数学试卷答案及评分标准

一、选择题：

二、填空题：

13. 6 14. 1022 15. 16.

三、解答题：

17..解： (Ⅰ)在等比数列中,. 所以,由得,即,

因此, 在等差数列中,根据题意,

可得, 所以,----6分

(Ⅱ)若数列满足,则,

因此有

---------12分

18.

19．解：（Ⅰ）证明：由平面及

∴平面，∴ ……………………2分

而平面，∴，又，

∴平面，又平面，∴。 ……………………4分

（Ⅱ）在中，过点作于点，则平面．

由已知及（Ⅰ）得． ……………………6分

故 ……………………8分

（Ⅲ）在中过点作交于点，

在中过点作交于点，连接

，则由得

……………………10分

∵MG∥AE

∵平面 由

∴平面，

又平面，则平面。

∴当点为线段上靠近点的一个三等分点时，平面。…12分

20. 【解析】（1）设椭圆C的方程为

直线所经过的定点是（3，0），即点F（3，0）

∵椭圆上的点到点的最大距离为8

∴ ∴ ∴椭圆C的方程为

（2）∵点在椭圆上 ∴，

∴原点到直线的距离

∴直线与圆恒相交

∵ ∴

21.解：(Ⅰ)，

，

，．………………………………4分

(Ⅱ)，

设，，

，在上单调递增，

，在上单调递增，．

．………………………………8分

（Ⅲ）设，

，

(Ⅱ) 中知，，

，

①当即，，在单调递增，，成立．

②当即时，，

，令，得，

当时，，在上单调递减，不成立．

综上，．………………………………12分

22解析 (1) 延长交圆于点，连结，则，

又，，所以，

又，可知.

所以根据切割线定理，即. (5分)

(2) 过作于，则与相似，

从而有，因此. (10分)

23.解：(Ⅰ)直线 的普通方程为

曲线的直角坐标系下的方程为

圆心到直线的距离为

所以直线与曲线的位置关系为相离. ……………5分

(Ⅱ)设，

则.……………10分

24. (Ⅰ)① 当时，，所以

② 当时，，所以为

③ 当时，，所以

综合①②③不等式的解集为……………5分

(Ⅱ)即

由绝对值的几何意义，只需…………………10分

扶沟高中2014-2015学年度（下）高二第二次考试

数学参考答案（文科）

一、选择题：

二、填空题：

13. 6 14. 1022 15. 16.

三、解答题：

17..解： (Ⅰ)在等比数列中,. 所以,由得,即,

因此, 在等差数列中,根据题意,

可得, 所以,----6分

(Ⅱ)若数列满足,则,

因此有

---------12分

18.

19．解：（Ⅰ）证明：由平面及

∴平面，∴ ……………………2分

而平面，∴，又，

∴平面，又平面，∴。 ……………………4分

（Ⅱ）在中，过点作于点，则平面．

由已知及（Ⅰ）得． ……………………6分

故 ……………………8分

（Ⅲ）在中过点作交于点，

在中过点作交于点，连接

，则由得

……………………10分

∵MG∥AE

∵平面 由

∴平面，

又平面，则平面。

∴当点为线段上靠近点的一个三等分点时，平面。…12分

20. 【解析】（1）设椭圆C的方程为

直线所经过的定点是（3，0），即点F（3，0）

∵椭圆上的点到点的最大距离为8

∴ ∴ ∴椭圆C的方程为

（2）∵点在椭圆上 ∴，

∴原点到直线的距离

∴直线与圆恒相交

∵ ∴

21.解：(Ⅰ)，

，

，．………………………………4分

(Ⅱ)，

设，，

，在上单调递增，

，在上单调递增，．

．………………………………8分

（Ⅲ）设，

，

(Ⅱ) 中知，，

，

①当即，，在单调递增，，成立．

②当即时，，

，令，得，

当时，，在上单调递减，不成立．

综上，．………………………………12分

22解析 (1) 延长交圆于点，连结，则，

又，，所以，

又，可知.

所以根据切割线定理，即. (5分)

(2) 过作于，则与相似，

从而有，因此. (10分)

23.解：(Ⅰ)直线 的普通方程为

曲线的直角坐标系下的方程为

圆心到直线的距离为

所以直线与曲线的位置关系为相离. ……………5分

(Ⅱ)设，

则.……………10分

24. (Ⅰ)① 当时，，所以

②当时，，所以为

③ 当时，，所以

综合①②③不等式的解集为……………5分

(Ⅱ)即

由绝对值的几何意义，只需…………………10分

河南省扶沟县高级中学2014-2015学年高二5月月考数学（文）试题 Word版含答案