大庆铁人中学高三学年上学期期中考试

理科数学试题

试题说明：1.本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。

2. 请将答案填写在答题卡上。

第Ⅰ卷（选择题 满分60分）

1、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

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第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）

2、填空题（每小题5分，共20分）

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3、解答题（本大题共6个小题，共70分）

17．（本小题满分10分）

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18．（本小题满分12分）

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19. （本小题满分12分）

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20. （本小题满分12分）

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21．（本小题满分12分）

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22.(本小题满分12分）

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大庆铁人中学高三学年上学期期中考试

数学试题答案

一、选择题

3. 填空题

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4. 解答题

17.解：因为在点处的切线方程为，
所以切线斜率是，
且，
求得，即点，
又函数，则，
所以依题意得，
解得；
由知，
所以，
令，解得或
当或；当，
所以函数的单调递增区间是，
单调递减区间是，
又，
所以当x变化时，和变化情况如下表：

所以当时，，
．

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19.解：函数．
化简可得：



函数的最小正周期，
由时单调递增，
解得：
函数的单调递增区间为：，，．
函数所在匀上有两个不同的零点，，转化为函数与函数有两个交点，令，，
可得的图象如图．
从图可知：m在，函数与函数有两个交点，其横坐标分别为，
故得实数m的取值范围是

20.解：方程的根为2，又是递增的等差数列，
故，，可得，，
故，
设数列的前n项和为，
，
，
得，
解得．

21.证明：
，数列是公差为2的等差数列，
又，，
，解得 
解：由Ⅰ可得，
，
数列的前n项和为：

，

?．

22（理）

解：（Ⅰ） ，则.

令得，所以在上单调递增.

令得，所以在上单调递减.（Ⅱ）因为，所以，所以的方程为.

依题意， ， .

于是与抛物线切于点，

由得.

所以 -

（Ⅲ）设,则恒成立.

易得

（1）当时，

因为，所以此时在上单调递增.

①若，则当时满足条件，此时；

②若，取且

此时，所以不恒成立．

不满足条件；

（2）当时，

令，得由，得；

由，得

所以在上单调递减，在上单调递增.

要使得“恒成立”，必须有

“当时， ”成立.

所以.则

令则

令，得由，得；

由，得所以在上单调递增，在上单调递减,

所以，当时，

从而，当时， 的最大值为.-

22（文）

解：（Ⅰ），得
由f'（x）＞0，得0＜x＜e
∴f（x）的递增区间是（0，e），递减区间是（e，+∞）…（4分）
（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
可化为对一切x∈（0，+∞）恒成立
令，
当x∈（0，1）时h'（x）＜0，即h（x）在（0，1）递减
当x∈（1，+∞）时h'（x）＞0，即h（x）在（1，+∞）递增
∴h（x）min=h（1）=4，
∴m≤4，即实数m的取值范围是（-∞，4]…（8分）
（Ⅲ）证明：等价于，即证
由（Ⅰ）知，（当x=e时取等号）
令，则，
易知φ（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增
∴（当x=1时取等号）
∴f（x）＜φ（x）对一切x∈（0，+∞）都成立
则对一切x∈（0，+∞），都有成立．…（12分）

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[精编]黑龙江省大庆铁人中学2019届高三数学上学期期中试卷理 doc