平面的基本性质（二）

平面的基本性质是立体几何中演绎推理的逻辑依据．以平面的基本性质证明诸点共线、诸线共点、诸点共面是立体几何中最基础的问题，既加深了对平面基本性质的理解，又是今后解决较复杂立体几何问题的基础．

一、素质教育目标

（一）知识教学点

掌握利用平面的基本性质证明诸点共面、诸线共面、三点共线、三线共点问题的一般方法．

1．证明若干点或直线共面通常有两种思路

（1）先由部分元素确定若干平面，再证明这些平面重合，如例1之①；

（2）先由部分元素确定一个平面，再证明其余元素在这平面内，如例1之②．

2．证明三点共线，通常先确定经过两点的直线是某两个平面的交线，再证明第三点是这两个平面的公共点，即该点分别在这两个平面内，如例2．

3．证明三线共点通常先证其中的两条直线相交于一点，然后再证第三条直线经过这一点，如练习．

（二）能力训练点

通过严格的推理论证，培养逻辑思维能力，发展空间想象能力．

（三）德育渗透点

通过对解题方法和规律的概括，了解个性与共性．特殊与一般间的关系，培养辩证唯物主义观点，又从有理有据的论证过程中培养严谨的学风．

二、教学重点、难点、疑问及解决办法

1．教学重点

（1）证明点或线共面，三点共线或三线共点问题．

（2）证明过程的书写格式与规则．

2．教学难点

（1）画出符合题意的图形．

（2）选择恰当的公理或推论作为论据．

3．解决办法

（1）教师完整板书有代表性的题目的证明过程，规范学生的证明格式．

（2）利用实物，摆放成符合题意的位置．

三、学生活动设计

动手画图并证明．

四、教学步骤

（一）明确目标

1．学会审题，根据题意画出图形，并写“已知、求证”．

2．论据正确，论证严谨，书写规范．

3．掌握基本方法：反证法和同一法，学习分类讨论．

（二）整体感知

立体几何教学中，对学生进行推理论证训练是发展学生逻辑思维能力的有效手段．首先应指导学生学会审题，包括根据题意画出图形，并写出已知、求证．其次，推理的依据是平面的基本性质，要引导学生确定平面．由于学生对立体几何中的推理颇不熟练，因此宜采用以启发为主，边讲边练的教学方式．教师在讲解时，应充分展开思维过程，培养学生分析空间问题的能力，在板书时，应复诵公理或推论的内容，加深对平面基本性质的理解．

（三）重点、难点的学习与目标完成过程

A．复习与讲评

师：我们已学习了平面的基本性质，那么具备哪些条件时，直线在平面内？

（生回答公理1，教师板画图1－20示意．）

师：具备哪些条件可以确定一个平面？

（生4人回答，教师板画图1－21示意．）

师：上一节课后布置思考证明推论3，现在请同学们共同讨论这个证明过程．

已知：直线a∥b．

求证：经过a、b有且只有一个平面．

证明：“存在性”．

∵a∥b，

∴a、b在同一平面α内（平行线的定义）．“唯一性”——在直线a上作一点A．

假设过a和b还有一个平面β，则A∈β．

那么过b和b外一点A有两个平面α和β．

这与推论1矛盾．

注：证唯一性，用了“反证法”．

B．例题与练习

师：先看怎样证几条线共面．

例1求证：两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内．分析：四条直线两两相交且不共点，可能有两种：一是有三条直线共点；二是没有三条直线共点，故而证明要分两种情况．

（1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q．

d∩c＝R，a、b、c相交于点O．

求证：a、b、c、d共面．

证明：∵d∩a＝P，

∴过d、a确定一个平面α（推论2）．

同理过d、b和d、c各确定一个平面β、γ．

∵O∈a，O∈b，O∈c，

∴O∈α，O∈β，O∈γ．

∴平面α、β、γ都经过直线d和d外一点O．

∴α、β、γ重合．

∴a、b、c、d共面．

注：本题的方法是“同一法”．

（2）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，a

∩b＝M，b∩c＝N，a∩c＝S，且无三线共点．

求证：a、b、c、d共面

证明：∵d∩a＝P，

∴d和a确定一个平面α（推论2）．

∵a∩b＝M，d∩b＝Q，

∴M∈α，Q∈α．

∴a、b、c、d四线共面．

注：①让学生从实物摆放中得到四条直线的两种位置关系．

②分类讨论时，强调要注意既不要重复，又不要遗漏．

③结合本例，说明证诸线共面的常用方法．

例2如图1－25，已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点，且EF交GH于P．

求证：P在直线BD上．

分析：易证BD是两平面交线，要证P在两平面交线上，必须先证P是两平面公共点．

已知：EF∩GH＝P， E∈AB、 F∈AD， G∈BC， H∈CD，

求证：B、D、P三点共线．

证明：∵AB∩BD＝B，

∴AB和BD确定平面ABD（推论2）．

∵A∈AB，D∈BD，

∵E∈AB，F∈AD，

∴EF∩GH＝P，

∴P∈平面ABD．

同理，P∈平面BCD．

∴平面ABD∩平面BCD＝BD．

∴P∈BD即B、D、P三点共线．

注：结合本例，说明证三点共线的常规思路．

练习：两个平面两两相交，有三条交线，若其中两条相交于一点，证明第三条交线也过这一点．

分析：虽说是证三线共点问题，但与例2有异曲同工之处，都是要证点P是两平面的公共点．

已知：如图1-26，α∩β=a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，b∩c＝p．

求证：p∈a．

证明：∵b∩c＝p，

∴p∈b．

∵β∩γ＝b，

∴p∈β．

同理，p∈α．

又∵α∩β=a，

∴p∈a．

师：以上例、习题分别证明了四线共面．三点共线和三线共点问题，这只是证明这类问题中的个例，根据不同的条件有不同的分析问题和解决问题的过程，但也具有一般的思路和方法．除了例1、例2两类问题的常用方法外，本练习是证三线共点问题，也有常用证法（将知识教学点中所列三条用幻灯显示）．

（四）总结、扩展

本课以练习为主，学习了线共面、点共线，线共点的一般证明方法和分类讨论的思想．证明依据是平面的基本性质，数学方法有反证法和同一法，这也是这一单元的主要证明方法．在证明的书写中，要求推论有据，书写规范．

五、布置作业

1．课本习题（略）．

2．求证：两两相交的三条直线必在同一个平面内．

3．已知：△ABC在平面α外，三角形三边AB、AC、BC所在直线分别交α于M、N、R，求证：M、N、R三点共线．

4．如图1－27，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是接AA1、CC1的中点，求证：点D1、E1、F1、B共面．

（提示：证明空间若干个点共面，通常先由其中三点确定一个平面，再证明其它的点也在这个平面内．本题先连结D1E并延长交DA延长线于G，连结D1F并延长交DC延长线于H，可证GH是D1、E、F三点确定的平面和平面AC的交线，然后再用平面几何知识证点B在GH上．）

六、板书设计

高中数学 直线、平面、简单几何课时-04教材素材