指数函数

一、指数函数的定义：

函数word/media/image1_1.png叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。

注意点1：为什么要规定word/media/image2_1.png呢？

①若word/media/image3_1.png，则当word/media/image4_1.png时，word/media/image5_1.png；当word/media/image6_1.png时，word/media/image7_1.png无意义.

②若word/media/image8_1.png，则对于word/media/image9_1.png的某些数值，可使word/media/image7_1.png无意义. 如word/media/image10_1.png，这时对于word/media/image11_1.png，word/media/image12_1.png，…等等，在实数范围内函数值不存在.

③若word/media/image13_1.png，则对于任何word/media/image14_1.png，word/media/image15_1.png，是一个常量，没有研究的必要性.

为了避免上述各种情况，所以规定word/media/image2_1.png。在规定以后，对于任何word/media/image14_1.png，word/media/image7_1.png都有意义，且word/media/image16_1.png. 因此指数函数的定义域是word/media/image17_1.png，值域是word/media/image18_1.png 。

注意点2：

上述指数函数的定义是形式上的定义，它实质上是一种指数的对应关系，以a为底数作为指数对应过去。从对应的角度看指数函数的话，就能很容易理解为什么函数word/media/image19_1.png不是指数函数，也能理解指数函数的解析式word/media/image20_1.png中，word/media/image7_1.png的系数为什么是1.

有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如word/media/image21_1.png (word/media/image22_1.png，word/media/image23_1.png)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如word/media/image24_1.png (word/media/image22_1.png)，因为它可以化为word/media/image25_1.png，其中word/media/image26_1.png，且word/media/image27_1.png。

二、函数的图象

word/media/image28.gif（1）①特征点：指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象经过两点(0，1)和(1,a)，我们称这两点为指数函数的两个特征点.

②指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象中，y＝1反映了它的分布特征；而直线x＝1与指数函数图象的交点(1,a)的纵坐标则直观反映了指数函数的底数特征，我们称直线x＝1和y＝1为指数函数的两条特征线(如右图所示).

（2）、函数的图象单调性

当a＞1时，函数在定义域范围内呈单调递增；

当0＜a＜1时，函数在定义域范围内呈单调递减；

推论：（1）底互为倒数的两个函数图像关于y轴对称

（2）当a＞1时，底数越大，函数图象

越靠近Y轴 ；

当0＜a＜1时，底数越小，函数图

象越靠近Y轴 。

（3）、函数的图象奇偶性：

若函数word/media/image29_1.png是奇函数，则对定义域内的每一个word/media/image30_1.png，都有word/media/image31_1.png;

特别当word/media/image32_1.png属于定义域时，有word/media/image33_1.png，所以word/media/image34_1.png．

若函数word/media/image29_1.png是偶函数，则对定义域内的每一个word/media/image30_1.png，都有f(-x)=f(x)。

高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.3 指数函数基础知识素材 北师大版必修1