5.3.2　命题、定理、证明

知识要点分类练　　　　　　　夯实基础

知识点 1　命题的定义

1．下列语句中，是命题的是(　　)

A．有公共顶点的两个角是对顶角

B．在直线AB上取一点C

C．用圆规画圆

D．直角都相等吗？

2．下列语句中，不是命题的是(　　)

A．如果a＞b，那么b＜a B．同位角相等

C．垂线段最短 D．反向延长射线OA

3．判断下列语句是不是命题．

(1)画∠AOB的平分线；

(2)平面上有几个点？

(3)两点之间，线段最短；

(4)若a≠b，则|a|≠|b|.

知识点 2　命题的组成

4．把命题“三角形的内角和为180°”写成“如果……那么……”的形式是____________________________________________________．

5．指出下列命题的题设和结论：

(1)如果a是有理数，那么a2≥0；

(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．

知识点 3　真命题和假命题

6．下列命题中是真命题的是(　　)

A．两个锐角之和为钝角

B．两个锐角之和为锐角

C．钝角大于它的补角

D．锐角小于它的余角

7．下列命题中，假命题是(　　)

A．所有的有理数都可用数轴上的点表示

B．等角的补角相等

C．若|a|＝4，则a＝4

D．两点之间，线段最短

8．将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，指出它们的题设和结论，并判断其真假．

(1)有理数一定是自然数；

(2)两个负数之和仍为负数；

(3)平行于同一条直线的两条直线平行．

知识点 4　定理与证明

9．下列说法错误的是(　　)

A．命题不一定是定理，定理一定是命题

B．定理不可能是假命题

C．真命题是定理

D．如果真命题的正确性是经过推理证实的，那么这样得到的真命题就是定理

10．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是(　　)

A．a＝－2 B．a＝－1

C．a＝1 D．a＝2

11．已知：如图5－3－17，∠1和∠2互为补角，∠A＝∠D.

求证：AB∥CD.

证明：∵∠1与∠CGD是对顶角，

∴∠1＝∠CGD(______________)．

又∵∠1与∠2互为补角(已知)，

∴∠CGD与∠2互为补角，

∴AE∥FD(____________________)，

∴∠A＝∠BFD(____________________)．

∵∠A＝∠D(已知)，

∴∠BFD＝∠D(________________)， 图5－3－17

∴AB∥CD(____________________)．

12．写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．

已知：如图5－3－18，____________________．

求证：________．

然后给出证明．

图5－3－18

规律方法综合练　　　　　　　提升能力

13．思考下列五句话：(1)墙是白色的；(2)2加3等于5；(3)x2不是负数；(4)化简a＋2(a－1)；(5)什么是命题？在这五句话中，是命题的有(　　)

A．2句 B．3句

C．4句 D．5句

14．命题：(1)若|x|＝|y|，则x＝y；(2)大于直角的角是钝角；(3)若一个角的两边与另一个角的两边平行，则这两个角相等或互补．其中假命题是________(填写假命题的序号)．

15．命题“等角的补角相等”的题设是________________，结论是__________________．

16. 将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并判断其是真命题还是假命题．

(1)同位角相等；

(2)同角的补角相等；

(3)相等的角是对顶角．

17．如图5－3－19，∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并证明你的结论．

　图5－3－19

　拓广探究创新练　　　　　　　冲刺满分

18．阅读下面内容并做出相应的解答：

“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”两个命题中的题设、结论恰好对调，我们把其中一个命题称为另一个命题的逆命题．

请你写出“两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则同位角相等”的逆命题，并指出逆命题的题设与结论，判断它的真假，并说明理由．

19．如图5－3－20，①∠D＝∠B，②∠1＝∠2，③∠3＝∠4，④∠B＋∠2＋∠4＝180°，⑤∠B＋∠1＋∠3＝180°.

(1)从上述各项中选出哪一项作为题设能说明∠E＝∠F?

(2)选出其中的一项加以说明．

　图5－3－20

教师详解详析

1．A　2.D

3．解：(1)(2)不是命题；(3)(4)是命题．

4．如果三个角是一个三角形的内角，那么这三个角的和为180°

5．解：(1)题设：a是有理数；结论：a2≥0.

(2)题设：在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线；结论：这两条直线平行．

6．C

7．C　[解析] 命题A，B，D显然都是正确的，均为真命题；对于命题C，若|a|＝4，则a＝±4，所以命题C是假命题．

8．解：(1)如果一个数是有理数，那么它一定是自然数．题设：一个数是有理数．结论：这个数一定是自然数．命题为假命题．

(2)如果一个数是某两个负数之和，那么这个数是负数．题设：有一个数是某两个负数之和．结论：这个数是负数．命题为真命题．

(3)如果两条直线都与同一条直线平行，那么这两条直线互相平行．题设：两条直线都与同一条直线平行．结论：这两条直线互相平行．命题为真命题．

9．C

10．A　[解析] 选项A，a＝－2满足a2＞1，但不满足a＞1，故选项A就是能够证明原命题是假命题的反例．选项B，a＝－1不满足原命题的题设a2＞1，故选项B不会是反例．选项C，a＝1不满足原命题的题设a2＞1，故选项C不会是反例．选项D，把a＝2代入命题“若a2＞1，则a＞1”的题设和结论，都成立，故不是反例．故选A.

11．对顶角相等　同旁内角互补，两直线平行　两直线平行，同位角相等　等量代换　内错角相等，两直线平行

12．解：已知：如图，AB⊥EF，垂足为B，CD⊥EF，垂足为D.

求证：AB∥CD.

证明：∵AB⊥EF，CD⊥EF，

∴∠ABD＝∠CDF＝90°，

∴AB∥CD.

13．B　[解析] (1)(2)(3)是命题，(4)(5)不是命题．

14．(1)(2)

15．两个角分别是相等的两个角的补角

这两个角相等

16．解：(1)如果两个角是同位角，那么这两个角相等，是假命题．

(2)如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等，是真命题．

(3)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，是假命题．

17．解：∠AED与∠C相等．

证明：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠4＝180°，

∴∠2＝∠4，∴AB∥EF，

∴∠3＝∠ADE.

∵∠3＝∠B，

∴∠B＝∠ADE，

∴DE∥BC，

∴∠AED＝∠C.

18．解：逆命题：两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则内错角相等．

题设：两条直线被第三条直线所截，同位角相等．

结论：内错角相等．

它是真命题．

理由：两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则两直线平行，所以有内错角相等．

19．解：(1)②∠1＝∠2和⑤∠B＋∠1＋∠3＝180°.

(2)选②∠1＝∠2加以说明如下：

若∠1＝∠2，

则AD∥CB(内错角相等，两直线平行)，

所以∠E＝∠F(两直线平行，内错角相等)．

春学期七年级数学下册第五章相交线与平行线5.3平行线的性质5.3.2命题定理证明同步练习（新人教版）