习题8.1

1.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程：

(1) (2)

(3) (4)

解 (1) 1阶 非线性

(2) 1阶 线性

(3) 3阶 线性

(4) 1阶 线性

2.验证下列函数是否是所给微分方程的解

(1)

(2) (C为任意常数)

(3) (C为任意常数)

(4) (C1 ,C2为任意常数)

(5) (C为任意常数)

(6)

解 (1) 是，左==右

(2) 是，左==右

(3) 是，左==右

(4) 是，左=

=右

(5) 是，左=右

(6) 是，左=

=

= 右

3.求下列微分方程的解

(1); (2);

(3) (4)

解 (1)

(2)

(3)

解得

即

(4)

解得

整理得

4.已知曲线经过原点，并且它在点处的切线的斜率等于，试求这条曲线的方程。

解 已知

解得

又知曲线过原点，得

所求曲线方程为

习题8.2

1.用分离变量法求下列微分方程的解

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

解 (1) 解得

(2) 解得

(3) 解得 即

(4)解得

整理得

(5)解得

由于 ，解得

则

(6)解得

由于 则

原方程解为

2.求下列齐次方程的解

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

解 (1) 令，代入方程得

分离变量得

两边积分得

整理得

将回代，即得原方程通解

(2) 原式可化为

令，代入方程得

分离变量得

两边积分得

将回代，即得原方程通解

整理得

(3) 原式可化为

令，代入方程得

分离变量得

两边积分得

即

将回代，即得原方程通解

(4) 原式可化为

令，代入方程得

分离变量得

两边积分得

即

将回代，即得原方程通解

(5)

令

(6) 原式可化为

令，代入方程得

分离变量得

两边积分得

即

将回代，即得原方程通解

将代入得C=2

于是，特解为

习题8.3

1.求下列微分方程的通解

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

解 (1) 这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程

的通解。分离变量得

两端同时积分，得

得通解为

用常数变易法，把C换成C(x)，即

两边微分，得

代入原方程，得

两端同时积分，得

故所求微分方程通解为

其中C为任意常数。

(2)

则

或：这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程

的通解。分离变量得

两端同时积分，得

得通解为

用常数变易法，把C换成C(x)，即

两边微分，得

代入原方程，得

两端同时积分，得

故所求微分方程通解为

其中C为任意常数。

(3)

则

(4)

则

(5) 原式可化为

则

(6) 原式可化为

则

2.某种商品的消费量X随收入I的变化满足方程

（a是常数）

当时，，求函数的表达式。

解原式可化为

则

又当时，，得

则原方程解为

习题8.4

1.某商品的需求函数与供给函数分别为

(其中a,b,c,d,均为正常数)

假设商品价格P是时间t的函数，已知初始价格，且在任一时刻t，价格P(t)的变化率与这一时刻的超额需求成正比（比例常数为k>0）

(1)求供需相等时的价格（均衡价格）

（2）求价格P(t)的表达式

（3）分析价格P(t)随时间的变化情况

解 （1）当时，即

，得

（2）由于，即

方程通解为

已知价格，代入得，于是

（3）由于

2.已知某种商品的需求价格弹性为，其中p为价格，Q为需求量，且当p=1时，需求量Q=1，试求需求函数关系。

解 设需求关系式为，则由题设知

即

此微分方程通解为

将Q(1)=1代入，得C=1，故所求需求函数为

3. 设某厂生产某种产品，随产量的增加，其总成本的增长率正比于产量与常数2之和，反比于总成本，当产量为0时，成本为1，求总成本函数。

解 设产量为x，总成本为C，比例系数为1，则依题意有

解此微分方程，得

把初始条件代入解得

于是总成本函数为

4.在宏观经济研究中，发现某地区的国民收入y，国民储蓄S和投资I均是时间t的函数，且储蓄额S是国民收入的，投资额为国民收入增长率的。若当t=0时，国民收入为5亿元，试求国民收入函数（假定在时间t的储蓄额全部用于投资）

解 依题意得

因为储蓄额全部用于投资，故有

即国民收入函数应满足方程

解得

将初始条件代入上式，得

于是

习题8.5

1、求下列微分方程通解

(1) (2)

(3) (4)

解 (1)

(2)

(3) 令，原方程降阶为

分离变量得

两边积分得

即

所以

(4) 令，原方程降阶为

分离变量得

两边积分得

即

所以

2求解初值问题

(1). (2)

解 (1) 设，则，代入原方程，得

分离变量得

积分得

，即

由 得

则，由知单调增加，于是

再积分一次，可得通解

由 得

即

(2) 令,原方程化为

属于一阶线性方程

由得

又由 得

初值问题的解为

习题8.6

1.求下列方程通解

(1) (2)

(3) (4)

解 (1)

解 特征方程为

解得两个不同实根，所求方程的通解为

其中是任意常数

(2)

解 特征方程为

解得两个不同实根，所求方程的通解为

其中是任意常数

(3)

解 特征方程为

其特征根为二重实根，所求方程通解为

其中是任意常数

(4)

解 特征方程为

解得两个共轭虚根，所求方程通解为

其中是任意常数

2.求方程满足初始条件的特解

解 特征方程为

解得两个共轭虚根，所求方程通解为

由初始条件得

又由

由，得

于是满足初始条件的特解为

3.求微分方程的一个特解

解，其中不是特征方程的根，得

为所给方程的一个特解，直接将代入原方程，得

比较系数得

解得

所以即为所求特解

4.求微分方程的通解

解，其中对应的齐次方程为

特征方程有二重特征根

齐次方程通解为

由于是重特征根，所以设非齐次方程特解为

直接将代入原方程，得

比较系数得

解得，因此为所给方程的一个特解，从而所求方程通解为

其中是任意常数

5.求方程的通解

解 对应齐次方程为

它的特征方程有重根

故对应齐次方程的通解为

由于不是特征根，因此设所给方程的特解为

代入原方程得

比较系数得

解得，因此为所给方程的一个特解，从而通解为

习题8.7

1. 设某种产品就要推向市场，t时刻的销量为x(t)，由于产品良好性能，每个产品都是一个宣传品，t时刻产品销售的增长率与x(t)成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的市场容量N，统计表明与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N- x(t)也成正比，试给出x(t)的方程，并求销量达到多少时最为畅销。

解

其中k为比例系数，分离变量积分，可得

由

以及

当时，有，即销量单调增加；当时，；当时，；当时，；即当销量达到最大需求量N的一半时，产品最为畅销，当销量不足N的一半时，销售速度不断增大，当销量超过一半时，销售速度逐渐减少。

2、某商品的价格由供求关系决定，若供给量与需求量均是价格的线性函数：

若价格是时间t(年)的函数，且已知在时刻t时，价格的变化率与过剩需求成正比，比例系数为2，试求价格与时间t(年)的函数关系，且已知初始价格元，问当年时价格应为多少？

解 依题意，得

解得

由已知，代入得

于是

则当时，

习题8.8

1、计算下列各题的差分

（1） （2）

解 (1)

(2)

解

2、求下列差分方程的通解

（1） （2）

（3） （4）

解 （1） 因，对应齐次方程通解为

（C为任意常数）

设代入原方程，有

比较系数得，所以

所求方程通解为

C为任意常数

（2） 因，对应齐次方程通解为

（C为任意常数）

设代入原方程，有

比较系数得

故有

所求方程通解为

（3）对应齐次方程通解为

（C为任意常数）

又，即，且，因此，原方程的特解为

故原方程通解为

（4）对应齐次方程通解为

（C为任意常数）

又，即，且，因此，原方程的特解为

故原方程通解为

3、求下列二阶差分方程的通解

（1） （2）

（3） （4）

解 (1) 特征方程得特征根

从而得到方程的通解

其中为任意常数。

（2）原方程对应的特征方程为

特征方程有两个共轭复根

且，即

知方程有两个特解

于是原方程通解为

其中为任意常数。

（3）特征方程为

解得重根，于是原方程通解为

其中为任意常数。

下面求非齐次方程特解

因为，则，且不是特征根

则形式特解为，代入原方程

比较系数得

于是

原方程通解为

其中为任意常数。

（4）特征方程为

解得重根，于是原方程通解为

其中为任意常数。

下面求非齐次方程特解

因为，则，是重根

则形式特解为，代入原方程

比较系数得

于是

原方程通解为

其中为任意常数。

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