4.5　解直角三角形

[过关演练]　(30分钟　　70分)

1.cos 60°的值等于 (D)

A. B.1 C. D.

【解析】根据特殊角的三角函数值,可得cos 60°=.

2.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sin α的值是 (C)

A. B. C. D.

【解析】作AB⊥x轴于点B,由勾股定理得OA=5,在Rt△AOB中利用正弦的定义得出sin α=.

3.如图,已知AD是等腰△ABC底边上的高,且sin B=.点E在AC上,且AE∶EC=2∶3,则tan ∠ADE= (D)

A. B. C. D.

【解析】作EF∥CD交AD于点F,∵sin B=sin C=,∴设AD=4x,则AC=5x,CD=3x.∵,∴DF=x,AF=x,∵,∴EF=x,∴tan ∠ADE=.

4.△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形的边长为1),AD⊥BC于点D,下列选项中,错误的是 (C)

A.sin α=cos α B.tan C=2

C.sin β=cos β D.tan α=1

【解析】∵AD⊥BC,AD=BD,∴α=45°,∴sin α=cos α,tan α=1.在Rt△ACD中,CD=1,AD=2,∴AC=,∴tan C==2,sin β=,cos β=,∴sin β≠cos β.

5.如图,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB与AD的长度之比为 (B)

A. B.

C. D.

【解析】在Rt△ABC中,AB=,在Rt△ACD中,AD=,∴AB∶AD=.

6.如图,已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点,正方形EFGH的顶点G,H都在边AD上,若AB=3,BC=4,则tan∠AFE的值 (A)

A.等于

B.等于

C.等于

D.随点E位置的变化而变化

【解析】∵EF∥AD,∴∠AFE=∠FAG,∵EH∥CD,∴△AEH∽△ACD,∴.设EH=3x,AH=4x,∴HG=GF=3x,∴tan ∠AFE=tan ∠FAG=.

7.如图,AB是一垂直于水平面的建筑物,某同学从建筑物底端B出发,先沿水平方向向右行走20米到达点C,再经过一段坡度(或坡比)为i=1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A,B,C,D,E均在同一平面内).在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°,则建筑物AB的高度约为(参考数据:sin 24°≈0.41,cos 24°≈0.91,tan 24°≈0.45)(A)

A.21.7米 B.22.4米

C.27.4米 D.28.8米

【解析】作BM⊥ED交ED的延长线于点M,作CN⊥DM于点N.在Rt△CDN中,∵,∴设CN=4k,DN=3k,∵CD=10,∴(3k)2+(4k)2=100,∴k=2,∴CN=8,DN=6,∵四边形BMNC是矩形,∴BM=CN=8,MN=BC=20,EM=MN+DN+DE=66,在Rt△AEM中,tan 24°=,∴0.45=,∴AB=21.7(米).

8.在△ABC中,AB=12,AC=13,cos ∠B=,则BC的边长为 (D)

A.7 B.8

C.8或17 D.7或17

【解析】∵cos ∠B=,∴∠B=45°,当△ABC为钝角三角形时,如图1,∵AB=12,∠B=45°,∴AD=BD=12,∵AC=13,∴由勾股定理得CD=5,∴BC=BD-CD=12-5=7;当△ABC为锐角三角形时,如图2,∴BC=BD+CD=12+5=17.综上,BC的长为7或17.

9.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB的中线,CD=5,AC=6,则sin B的值是 　. 

【解析】∵在Rt△ABC中,CD是斜边AB的中线,CD=5,∴AB=2CD=10,∴sin B=.

10.如图所示的网格是正方形网格,∠BAC　>　∠DAE.(填“>”“=”或“<”) 

【解析】如图,连接NH,BC,过点N作NP⊥AD于点P,S△ANH=2×2-×1×2×2-×1×1=AH·NP,PN,PN=,在Rt△ANP中,sin ∠NAP==0.6,在Rt△ABC中,sin ∠BAC=>0.6,∵正弦值随着角度的增大而增大,∴∠BAC>∠DAE.

11.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠B是锐角,AE⊥BC于点E,M是AB的中点,连接MD,ME.若∠EMD=90°,则cos B的值为 　. 

【解析】延长DM交CB的延长线于点H,连接ED.∵四边形ABCD是菱形,∴AD=BC=AB=2,AD∥CH,∴∠ADM=∠H,∵AM=BM,∠AMD=∠HMB,∴△ADM≌△BHM,∴HB=AD=2,HM=DM,∵EM⊥DH,∴EH=ED,设BE=x,∵AE⊥BC,∴AE⊥AD,∴∠AEB=∠EAD=90°,∵AE2=AB2-BE2=DE2-AD2,∴22-x2=(2+x)2-22,解得x=-1或--1(舍弃),∴cos ∠ABE=.

12.如图,一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡,从A滑行至B,已知AB=500米,则这名滑雪运动员的高度下降了　280　米.(参考数据:sin 34°≈0.56,cos 34°≈0.83,tan 34°≈0.67) 

【解析】在Rt△ABC中,sin B=,∴AC=ABsin 34°≈500×0.56=280(米).

13.(8分)某地铁站口的垂直截图如图所示,已知∠A=30°,∠ABC=75°,AB=BC=4米,求点C到地面AD的距离.(结果保留根号)

解:过点B作BE⊥AD于点E,作BF∥AD,过点C作CF⊥BF于点F,

在Rt△ABE中,∠A=30°,

∴BE=AB=2(米).

∵BF∥AD,∴∠ABF=∠A=30°,

又∵∠ABC=75°,∴∠CBF=45°.

在Rt△BCF中,CF=BC·sin 45°=4×=2(米).

∴点C到地面AD的距离为(2+2)米.

14.(10分)如图,BC是路边坡角为30°,长为10米的一道斜坡,在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯,射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°(图中的点A,B,C,D,M,N均在同一平面内,CM∥AN).

(1)求灯杆CD的高度;

(2)求AB的长度.(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.73,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)

解:(1)延长DC交AN于点H.

∵∠DBH=60°,∠DHB=90°,

∴∠BDH=30°,

∵∠CBH=30°,

∴∠CBD=∠BDC=30°,

∴CD=BC=10(米).

答:灯杆CD的高度为10米.

(2)在Rt△BCH中,CH=BC=5,BH=5≈8.65,

∴DH=15,

在Rt△ADH中,AH==20,

∴AB=AH-BH=20-8.65≈11.4(米).

答:AB的长度为11.4米.

[名师预测]

1.∠A,∠B都是锐角△ABC的内角,cos A-+=0,则∠C的度数是 (D)

A.30° B.45° C.60° D.90°

【解析】由题意得cos A-=0,sin B-=0,则cos A=,sin B=,故∠A=30°,∠B=60°,则∠C=180°-30°-60°=90°.

2.坡比常用来反映斜坡的倾斜程度,如图所示,斜坡AB的坡比为 (C)

A.1∶3 B.3∶1

C.1∶2 D.2∶1

【解析】∵AB=3,BC=1,∠C=90°,∴AC==2,∴斜坡AB的坡比为=1∶2.

3.如图,点D(0,3),O(0,0),C(4,0)在☉A上,BD是☉A的一条弦,则sin ∠OBD= (A)

A. B. C. D.

【解析】连接CD,∵D(0,3),C(4,0),∴OD=3,OC=4,∵∠COD=90°,∴CD==5,∵∠OBD=∠OCD,∴sin ∠OBD=sin ∠OCD=.

4.如图,在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE,在地面观测点A处测得屋顶C与树梢D的仰角分别是45°与60°,∠CAD=60°,在屋顶C处测得∠DCA=90°.若房屋的高BC=6米,则树高DE的长度为 (D)

A.3米 B.6米

C.3米 D.6米

【解析】∵在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠CAB=45°,BC=6米,∴AC=BC=6米;∵在Rt△ACD中,∠DCA=90°,∠CAD=60°,∴∠ADC=30°,∴AD=2AC=12米;∵在Rt△DEA中,∠AED=90°,∠EAD=60°,∴DE=AD·sin 60°=6米.

5.如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB,垂足是E,DE=6,sin A=,则菱形ABCD的周长是　40　. 

【解析】由已知可得△AED为直角三角形,则sin A=,即,解得AD=10,故菱形ABCD的周长为10×4=40.

6.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,D是AC上一点,若tan ∠DBA=,则AD的长为　2　. 

【解析】过点D作DE⊥AB于点E,∵∠C=90°,AC=BC=6,∴AB=AC=6,∠A=45°,在Rt△ADE中,设AE=x,则DE=x,AD=x,在Rt△BED中,tan ∠DBE=,∴BE=5x,∴x+5x=6,解得x=,∴AD==2.

7.轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上,轮船航行半小时到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上,则C处与灯塔A的距离是　25　海里. 

【解析】根据题意,∠BCD=30°,∵∠ACD=60°,∴∠ACB=30°+60°=90°,∵∠CBA=75°-30°=45°,∴△ABC为等腰直角三角形,∵BC=50×0.5=25,∴AC=BC=25(海里).

8.计算:2cos 30°-(2017+π)0+|3tan 30°-2|.

解:原式=2×-1+|-2|

=-1+2-

=1.

9.如图,为了测量建筑物AB的高度,在D处竖立标杆CD,标杆的高是2 m,在DB上选取观测点E,F,从点E测得标杆和建筑物的顶部C,A的仰角分别为58°,45°.从点F测得C,A的仰角分别为22°,70°.求建筑物AB的高度.(结果精确到0.1 m,参考数据:tan 22°≈0.40,tan 58°≈1.60,tan 70°≈2.75)

解:在Rt△CED中,∠CED=58°,

∴DE=,

在Rt△CFD中,∠CFD=22°,

∴DF=,

∴EF=DF-DE=,

同理EF=BE-BF=,

∴,

解得AB≈5.9(米),

答:建筑物AB的高度约为5.9米.

10.如图,学校的实验楼对面是一栋教学楼,小敏在实验楼的窗户C处测得教学楼顶部D的仰角是18°,教学楼底部B的俯角是20°,量得实验楼与教学楼之间的距离是AB=30 m.

(1)求∠BCD的度数;

(2)求教学楼的高BD.

(结果精确到0.1 m,参考数据:tan 18°≈0.32,tan 20°≈0.36)

解:(1)过点C作CE⊥BD于点E,

∴∠DCE=18°,∠BCE=20°,

∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°.

(2)由已知得CE=AB=30 m,

在Rt△CBE中,BE=CE×tan 20°≈30×0.36=10.80 (m),

在Rt△CDE中,DE=CE×tan 18°≈30×0.32=9.60 (m),

∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60=20.4 (m).

答:教学楼的高为20.4 m.

安徽省2019年中考数学一轮复习 第二讲 空间与图形 第四章 三角形 4.5 解直角三角形测试