2015-2016学年甘肃省嘉峪关市酒钢三中高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，共12×5=60分）

1．已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点M满足|MF1|+|MF2|=5，则点M的轨迹是（　　）

A．双曲线 B．椭圆 C．线段 D．不存在

2．中心在原点的双曲线，一个焦点为，一个焦点到最近顶点的距离是，则双曲线的方程是（　　）

A． B． C． D．

3．过抛物线y2=8x的焦点且倾斜角为45°直线l，交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为（　　）

A．8 B．16 C．24 D．32

4．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点，则等于（　　）

A． B． C． D．

5．在下列命题中：

①若、共线，则、所在的直线平行；

②若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面；

③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定也共面；

④已知三向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为=x+y+z．

其中真命题的个数为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

6．下列命题中是真命题的是（　　）

①“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；

②“正多边形都相似”的逆命题；

③“若m＞0，则x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题；

④“∃x∈R，x2+x+2≤0”的否定．

A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①④

7．已知正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，顶点C，D在椭圆上，则此椭圆的离心率为（　　）

A． B． C． D．

8．设P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的点，F1、F2是焦点，双曲线的离心率是，且∠F1PF2=90°，△F1PF2面积是9，则a+b=（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

9．四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为矩形，AB=2，AD=4，AA1=6，∠A1AB=∠A1AD=60°，则AC1的长为（　　）

A． B．46 C． D．32

10．已知P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（　　）

A．（，﹣1） B．（，1） C．（1，2） D．（1，﹣2）

11．过原点的直线l与双曲线有两个交点，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

12．设抛物线y2=4x的焦点为F，过点M（2，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，，则△BCF与△ACF的面积的比值为（　　）

A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．一条渐近线方程为且过点（4，1）的双曲线的方程为　　　　　　．

14．已知A（2，﹣2，4），B（2，﹣5，1），C（1，﹣4，1），则直线AB与直线BC的夹角为　　　　　　．

15．已知椭圆x2+ky2=3k（k＞0）的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是　　　　　　．

16．方程表示的曲线为C，则给出的下面四个命题：

（1）曲线C不能是圆

（2）若1＜k＜4，则曲线C为椭圆

（3）若曲线C为双曲线，则k＜1或k＞4

（4）若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则

其中正确的命题是　　　　　　（填序号）

三、解答题（6小题共70分，请在指定位置写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知命题p：|4﹣x|≤6，q：x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0），若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．

18．如图，已知三棱锥O﹣ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．

（1）求异面直线EB与AC所成角的余弦值；

（2）求直线EB和平面ABC的所成角的正弦值．

（3）求点E到面ABC的距离．

19．已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为．求抛物线的方程．

20．过定点P（1，2）的直线l交双曲线于A，B两点，线段AB的中点坐标为（2，4），双曲线的左顶点到右焦点的距离为．求曲线C的方程．

21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别在AB、PB上，且BE：AE=1：2，PF：BF=2：1．

（1）求平面DEF与平面PBC所成钝二面角的余弦值；

（2）在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出它的坐标，若不存在说明理由．

22．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过点M（﹣1，0）的直线l与椭圆交于P、Q两点．

（1）若直线l的斜率为1，且，求椭圆的标准方程；

（2）若（1）中椭圆的右顶点为A，直线l的倾斜角为α，问α为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．

2015-2016学年甘肃省嘉峪关市酒钢三中高二（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，共12×5=60分）

1．已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点M满足|MF1|+|MF2|=5，则点M的轨迹是（　　）

A．双曲线 B．椭圆 C．线段 D．不存在

【考点】椭圆的定义．

【分析】直接由椭圆的定义得答案．

【解答】解：∵F1（﹣3，0），F2（3，0），

∴|F1F2|=6，

又|MF1|+|MF2|=5＜6，

∴点M的轨迹不存在．

故选：D．

2．中心在原点的双曲线，一个焦点为，一个焦点到最近顶点的距离是，则双曲线的方程是（　　）

A． B． C． D．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】由题意知，双曲线的焦点在y轴，c=，a=1，从而可得其标准方程．

【解答】解：∵中心在原点的双曲线，一个焦点为F（0，），

∴其焦点在y轴，且半焦距c=；

又F到最近顶点的距离是﹣1，

∴a=1，

∴b2=c2﹣a2=3﹣1=2．

∴该双曲线的标准方程是y2﹣=1．

故选A．

3．过抛物线y2=8x的焦点且倾斜角为45°直线l，交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为（　　）

A．8 B．16 C．24 D．32

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】求得抛物线的焦点，设出直线AB的方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和抛物线的定义，即可得到所求值．

【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F为（2，0），

设直线AB的方程为y﹣0=（x﹣2），

即为y=x﹣2，代入抛物线的方程，可得

x2﹣12x+4=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=12，

由抛物线的定义可得，

|AB|=x1+x2+p=12+4=16．

故选：B．

4．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点，则等于（　　）

A． B． C． D．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】由题意作图，可得所求数量积为，由已知易得其模长和夹角，由数量积的定义可得答案．

【解答】解：如图连接空间四边形ABCD的对角线AC，BD，

由空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，

可知底面ABC为等边三角形，故∠BDC=60°，

又点E、F分别是AB、AD的中点，所以，

故==

==﹣，

故选B

5．在下列命题中：

①若、共线，则、所在的直线平行；

②若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面；

③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定也共面；

④已知三向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为=x+y+z．

其中真命题的个数为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】①若、共线，则、所在的直线平行或重合；

②若、所在的直线是异面直线，则、一定共面；

③若、、三向量两两共面，则、、三向量不一定共面；

④已知三个不共面的向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为=x+y+z，即可判断出．

【解答】解：①若、共线，则、所在的直线平行或重合，因此不正确；

②若、所在的直线是异面直线，则、一定共面，因此②不正确；

③若、、三向量两两共面，则、、三向量不一定共面，不正确；

④已知三个不共面的向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为=x+y+z，可知④不正确．

综上可知：都不正确．

故选：A．

6．下列命题中是真命题的是（　　）

①“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；

②“正多边形都相似”的逆命题；

③“若m＞0，则x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题；

④“∃x∈R，x2+x+2≤0”的否定．

A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①④

【考点】四种命题．

【分析】①先写出否命题，然后判断．②写出命题的逆命题，然后判断．③写出命题的逆否命题，然后判断．④写出命题的否定，然后判断．

【解答】解：①原命题的否命题为：“若x2+y2=0，则x，y全为零，”所以①正确；

②“正多边形都相似”的逆命题是：相似的多边形都是正多边形，所以②错误；

③“若m＞0，则x2+x﹣m=0中△=1+4m＞0，方程有实根”，命题的逆否命题是真命题，所以③正确；

④“∃x∈R，x2+x+2≤0”的否定是：∀x∈R，x2+x+2＞0，是真命题．所以④正确．

故选：B．

7．已知正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，顶点C，D在椭圆上，则此椭圆的离心率为（　　）

A． B． C． D．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】设椭圆方程为（a＞b＞0），可得正方形边长AB=2c，再根据正方形的性质，可计算出2a=AC+BC=2c+2c，最后可得椭圆的离心率e==．

【解答】解：设椭圆方程为，（a＞b＞0）

∵正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，

∴焦距2c=AB，其中c=＞0

∵BC⊥AB，且BC=AB=2c

∴AC==2c

根据椭圆的定义，可得2a=AC+BC=2c+2c

∴椭圆的离心率e====

故选A

8．设P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的点，F1、F2是焦点，双曲线的离心率是，且∠F1PF2=90°，△F1PF2面积是9，则a+b=（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】利用双曲线的定义、勾股定理，△F1PF2面积是9，可得c2﹣a2=9，结合双曲线的离心率是=，求出a，c，可得b，即可求出a+b的值．

【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，则|m﹣n|=2a①

由∠F1PF2=90°，可得m2+n2=4c2，②

则①2﹣②得：﹣2mn=4a2﹣4c2，

∴mn=2c2﹣2a2，

∵△F1PF2面积是9，

∴c2﹣a2=9，

∵双曲线的离心率是=，

∴c=5，a=4，

∴b=3，

∴a+b=7．

故选：D．

9．四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为矩形，AB=2，AD=4，AA1=6，∠A1AB=∠A1AD=60°，则AC1的长为（　　）

A． B．46 C． D．32

【考点】棱柱的结构特征．

【分析】画出图形，将，两边平方求值，然后开方求线段长度．

【解答】解：如图因为，

并且AB=2，AD=4，AA1=6，∠A1AB=∠A1AD=60°，

所以=4+16+36+0+2×2×6×+2×4×=92，

所以AC1=；

故选C．

10．已知P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（　　）

A．（，﹣1） B．（，1） C．（1，2） D．（1，﹣2）

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】如图所示，过点P作PM⊥l，垂足为M，连接FM，利用抛物线的定义可得|PM|=|FP|．可知当PQ∥x轴时，点P、Q、M三点共线，因此|PM|+|PQ|取得最小值|QM|，求出即可．

【解答】解：设准线为l：x=﹣1，焦点为F（1，0）．

如图所示，过点P作PM⊥l，垂足为M，连接FM，则|PM|=|FP|．

故当PQ∥x轴时，|PM|+|PQ|取得最小值|QM|=2﹣（﹣1）=3．

设点P（x，1），代入抛物线方程12=4x，解得，∴．

故选B．

11．过原点的直线l与双曲线有两个交点，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】设过原点的直线方程为y=kx，与双曲方程联立，得：x2（3k2﹣1）﹣9=0，因为直线与双曲有两个交点，所以△=36（3k2﹣1）＞0，由此能求出k的范围，再由直线的斜率公式可得倾斜角的范围．

【解答】解：双曲线，即为﹣=1，

设过原点的直线方程为y=kx，

与双曲方程联立，

得：x2（3k2﹣1）﹣9=0，

因为直线与双曲有两个交点，所以△=36（3k2﹣1）＞0，

∴k2＞，

解得k＞，或k＜﹣．

由直线的斜率公式k=tanα（0≤α＜π，且α≠），

可得α∈（，）∪（，）；

当α=时，直线为y轴，显然与双曲线有两个交点．

故选：B．

12．设抛物线y2=4x的焦点为F，过点M（2，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，，则△BCF与△ACF的面积的比值为（　　）

A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】利用三角形面积公式，可把△BCF与△ACF的面积之比转化为BC长与AC长的比，再根据抛物线的焦半径公式借助|BF|=求出B点坐标，得到AB方程，代入抛物线方程，解出A点坐标，就可求出BC与AC的长度之比，得到所需问题的解．

【解答】解：∵抛物线方程y2=4x的焦点为F坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1

设A（x1，y1），B（x2，y2），则|BF|=x2+1=，

∴x2=

把x2=代入抛物线y2=4x得y=±，不妨取y2=﹣，即B（，﹣）为例进行研究

∴直线AB过点M（2，0）与B（，﹣）

方程为y=（x﹣2），代入抛物线方程，解得，x1=8，

∴|AE|=8+1=9，

∵在△AEC中，BN∥AE，

∴△BCF与△ACF的面积的比值为====，

故选：C．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．一条渐近线方程为且过点（4，1）的双曲线的方程为　﹣=1　．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】由渐近线方程为，可设双曲线的方程为y2﹣x2=λ（λ≠0），代入点（4，1），解方程即可得到所求双曲线的方程．

【解答】解：由一条渐近线方程为，

可设双曲线的方程为y2﹣x2=λ（λ≠0），

代入点（4，1），可得λ=1﹣×16=﹣3，

即有双曲线的方程为y2﹣x2=﹣3，

甘肃省嘉峪关市高二数学上学期期末试卷理（含解析）