四川省成都市成华区2018-2019学年八年级（下）期末数学试卷

一、选择題（每小题3分，共30分，每小题只有一项符合要求，答案涂在答题卡上）

1．（3分）若分式有意义，则实数x的取值范围是（　　）

A．x＞＝2 B．x＜﹣2 C．x≠﹣2 D．x＝﹣2

2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

3．（3分）不等式1﹣x≥2的解在数轴上表示正确的是（　　）

A． B．

C． D．

4．（3分）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（　　）

A．a＝2，b＝3 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝2，b＝﹣3

5．（3分）下列命题，其中是真命题的为（　　）

A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B．对角线互相垂直的四边形是菱形

C．对角线相等的四边形是矩形

D．一组邻边相等的矩形是正方形

6．（3分）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（　　）

A．360° B．540° C．720° D．900°

7．（3分）分式方程﹣1＝的解为（　　）

A．x＝1 B．x＝﹣1 C．无解 D．x＝﹣2

8．（3分）如图所示，将一个含30°角的直角三角板ADC绕点A逆时针旋转，点B的对应点是点B′，若点B′、A、C在同一条直线上，则三角板ABC旋转的度数是（　　）

A．60° B．90° C．I20° D．150°

9．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AB，AC的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长是（　　）

A．24 B．18 C．12 D．6

10．（3分）直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＜k1x+b的解集为（　　）

A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞2 D．x＜2

二.填空题（每小题4分，共16分）

11．（4分）分解因式：a2﹣5a＝　 　．

12．（4分）不等式组的所有整数解的积是　 　．

13．（4分）已知x+＝6，则x2+＝　 　，（x﹣）2＝　 　．

14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝7，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点E，交BC于点F，再分别以点E、F为圆心大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G，射线BG交CD的延长线于点H，则DH的长是　 　．

三.解答题（共54分）

15．（5分）（1）分解因式：2a2b﹣4a2b2+2ab2

（2）解不等式组

16．（5分）（1）解方程：；

（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1．

17．（6分）先化简：（﹣）÷，并从0≤x≤4中选取合适的整数代入求值．

18．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）

（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

（2）画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；

（3）△A1B1C1与△A2B2C2能组成轴对称图形吗？若能，请你画出所有的对称轴．

19．（10分）某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同．

（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；

（2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2800kg，则至少购进A型机器人多少台？

20．（10分）已知点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上滑动（点P不与B、C重合），且∠PAQ＝∠B，

（1）如图1，若AP⊥BC，求证：AP＝AQ；

（2）如图2．若AP与BC不垂直，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由；

（3）如图3，若AB＝4，∠B＝60°，请直接写出四边形APCQ的面积．

一、填空题（每小题4分，共20分）

21．（4分）若分式的值为0，则x的值为　 　．

22．（4分）已知x+y＝，xy＝，则x2y+xy2的值为　 　．

23．（4分）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CP'，连接AP'．若PA＝3，PC＝4，PB＝5，则四边形APCP'的面积为　 　．

24．（4分）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为　 　．

25．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是BC边上一定点，且CD＝1，点E是线段DB上一动点，连接AE，以AE为斜边在AE的右侧作等腰直角△AEF．当点E从点D出发运动至点B停止时，点F的运动的路径长为　 　．

二.解答题（共30分）

26．（8分）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备共10台．已知每台A型设备日处理能力为12吨；每台B型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．

（1）请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案；

（2）已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？

27．（10分）如图，矩形ABCD中，AC＝2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′．使点B的对应点B′落在AC上，B'C'交AD于点E，在B′C′上取点F，使B′F＝AB．

（1）求证：AE＝C'E；

（2）求∠BFB'的度数；

（3）若AB＝2，求BF的长．

28．（12分）如图1．在边长为10的正方形ABCD中，点M在边AD上移动（点M不与点A，D重合），MB的垂直平分线分别交AB，CD于点E，F，将正方形ABCD沿EF所在直线折叠．则点B的对应点为点M，点C落在点N处，MN与CD交于点P，

（1）若AM＝4，求BE的长；

（2）随着点M在边AD上位置的变化，∠MBP的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出∠MBP的度数；

（3）随着点M在边AD上位置的变化，点P在边CD上位置也发生变化，若点P恰好为CD的中点（如图2），求CF的长．

参考答案

一、选择題（每小题3分，共30分，每小题只有一项符合要求，答案涂在答题卡上）

1．解：若分式有意义，

则x+2≠0，

解得：x≠﹣2，

故选：C．

2．解：A、不是轴对称，是中心对称图形，故本选项错误；

B、既是轴对称又是中心对称图形，故本选项正确；

C、是轴对称，不是中心对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称，是中心对称图形，故本选项错误．

故选：B．

3．解：不等式1﹣x≥2，

解得：x≤﹣1，

表示在数轴上，如图所示：

故选：A．

4．解：∵x2+ax+b＝（x+1）（x﹣3），

∴a＝1﹣3＝﹣2，b＝﹣3×1＝﹣3，

故选：B．

5．解：A、例如等腰梯形，故本选项错误；

B、根据菱形的判定，应是对角线互相垂直的平行四边形，故本选项错误；

C、对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形，故本选项错误；

D、一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项正确．

故选：D．

6．解：该正多边形的边数为：360°÷60°＝6，

该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°．

故选：C．

7．解：去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3，

整理得：2x﹣x+2＝3

解得：x＝1，

检验：把x＝1代入（x﹣1）（x+2）＝0，

所以分式方程的无解．

故选：C．

8．解：旋转角是∠BAB′＝180°﹣30°＝150°．

故选：D．

9．解：∵E，F分别是AB，AC的中点，EF＝3，

∴BC＝2EF＝2×3＝6，

菱形ABCD的周长是4BC＝4×6＝24，故选A．

10．解：两条直线的交点坐标为（﹣1，2），且当x＞﹣1时，直线l2在直线l1的下方，故不等式k2x＜k1x+b的解集为x＞﹣1．

故选：B．

二.填空题（每小题4分，共16分）

11．解：a2﹣5a＝a（a﹣5）．

故答案是：a（a﹣5）．

12．解：由1﹣2x＜3，得：x＞﹣1，

由≤2，得：x≤3，

所以不等式组的解集为：﹣1＜x≤3，

它的整数解为0、1、2、3，

所有整数解的积是0．

故答案为0．

13．解：∵x+＝6，

∴（x+）2＝36，

∴x2+2+＝36，

∴x2+＝34，

（x﹣）2＝x2﹣2+＝34﹣2＝32．

故答案为34，32．

14．解：由作图可知：BH是∠ABC的角平分线，

∴∠ABG＝∠GBC，

∵平行四边形ABCD，

∴AD∥BC，

∴∠AGB＝∠GBC，

∴∠ABG＝∠AGB，

∴AG＝AB＝4，

∴GD＝AD＝AG＝7﹣4＝3，

∵平行四边形ABCD，

∴AB∥CD，

∴∠H＝∠ABH＝∠AGB，

∵∠AGB＝∠HGD，

∴∠H＝∠HGD，

∴DH＝GD＝3，

故答案为：3

三.解答题（共54分）

15．解：（1）原式＝2ab（a﹣2ab+b）；

（2）由①得：x＞2，

由②得：x≤4，

则不等式组的解集为2＜x≤4．

16．解：（1）方程两边同乘以3（x﹣1）得：

3x﹣3（x﹣1）＝2x，

解得：x＝，

检验：当x＝时，3（x﹣1）≠0，

故x＝是原方程的解；

（2）原式＝×

＝x﹣1，

当x＝+1时，原式＝．

17．解：原式＝[﹣]•，

＝•，

＝•，

＝．

∵x≠0，x﹣2≠0，x﹣4≠0，

∴x＝1或3．

当x＝1时，原式＝＝1；

当x＝3时，原式＝＝1．

18．解：（1）（2）如下图所示：

（3）成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的垂直平分线，如图，对称轴有2条．

19．解：（1）设B型机器人每小时搬运x千克材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克材料，

根据题意，得＝，

解得x＝120．

经检验，x＝120是所列方程的解．

当x＝120时，x+30＝150．

答：A型机器人每小时搬运150千克材料，B型机器人每小时搬运120千克材料；

（2）设购进A型机器人a台，则购进B型机器人（20﹣a）台，

根据题意，得150a+120（20﹣a）≥2800，

解得a≥．

∵a是整数，

∴a≥14．

答：至少购进A型机器人14台．

20．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴∠B+∠C＝180°，∠B＝∠D，AB＝AD，

∵∠PAQ＝∠B，

∴∠PAQ+∠C＝180°，

∴∠APC+∠AQC＝180°，

∵AP⊥BC，

∴∠APC＝90°

∴∠AQC＝90°

在△APB和△AQD中，

∴△APB≌△AQD（AAS）

∴AP＝AQ；

（2）如图，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F．

由（1）可得，∠PAQ＝∠EAF＝∠B，AE＝AF，

∴∠EAP＝∠FAQ，

在△AEP和△AFQ中，

∴△AEP≌△AFQ（ASA），

∴AP＝AQ；

（3）如图，连接AC、BD交于O，

∵∠ABC＝60°，BA＝BC，

∴△ABC为等边三角形，

∵AE⊥BC，

∴BE＝EC，

同理，CF＝FD，

∴四边形AECF的面积＝×四边形ABCD的面积，

由（2）得，四边形APCQ的面积＝四边形AECF的面积，

∵AB＝4，∠B＝60°

∴OA＝AB＝2，OB＝AB＝2，

∴四边形ABCD的面积＝×2×2×4＝8，

∴四边形APCQ的面积＝4．

一、填空题（每小题4分，共20分）

21．解：因为分式的值为0，所以＝0，

化简得x2﹣9＝0，即x2＝9．

解得x＝±3

因为x﹣3≠0，即x≠3

所以x＝﹣3．

故答案为﹣3．

22．解：∵x+y＝，xy＝，

∴x2y+xy2

＝xy（x+y）

＝

＝

＝3，

故答案为：．

23．解：连结PP′，如图，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC＝60°，AB＝AC，

∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CP'，

∴CP＝CP′＝4，∠PCP′＝60°，

∴△PCP′为等边三角形，

∴PP′＝PC＝4，

∵∠ACP+∠BCP＝60°，∠ACP+∠ACP′＝60°，

∴∠BCP＝∠ACP′，且AC＝BC，CP＝CP′

∴△BCP≌△ACP′（SAS），

∴AP′＝PB＝5，

在△APP′中，∵PP′2＝42＝16，AP2＝32＝9，AP′2＝52＝25，

∴PP′2+AP2＝AP′2，

∴△APP′为直角三角形，∠APP′＝90°，

∴S四边形APCP′＝S△APP′+S△PCP′＝AP×PP′+×PP′2＝6+4，

故答案为：6+4．

24．解：，

解①得，x＜5；

解②得，

∴不等式组的解集为；

∵不等式有且只有四个整数解，

∴，

解得，﹣2＜a≤2；

解分式方程得，y＝2﹣a（a≠1）；

∵方程的解为非负数，

∴2﹣a≥0即a≤2；

综上可知，﹣2＜a≤2且a≠1，

∵a是整数，

∴a＝﹣1，0，2；

∴﹣1+0+2＝1

故答案为1．

25．解：如图，连接CF，作FM⊥BC于M，FN⊥AC于N．

∵∠FNC＝∠MCN＝∠FMC＝90°，

∴四边形CMFN是矩形，

∴∠MFN＝∠AFE＝90°，

∴∠AFN＝∠MFE，

∵AF＝FE，∠FNA＝∠FME＝90°，

∴△FNA≌△FME（AAS），

∴FM＝FM，AN＝EM，

∴四边形CMFN是正方形，

∴CN＝CM，CF＝CM，∠FCN＝∠FCM＝45°，

∵AC+CE＝CN+AN+CM﹣EM＝2CM，

∴CF＝（AC+CE）．

∴点F在射线CF上运动（CF是∠ACB的角平分线），

当点E与D重合时，CF＝（AC+CD）＝2，

当点E与B重合时，CF＝（AC+CB）＝，

∵﹣2＝，

∴点F的运动的路径长为．

故答案为：．

二.解答题（共30分）

26．解：（1）设购买A种设备x台，则购买B种设备（10﹣x）台，

根据题意，得12x+15（10﹣x）≥140，

解得x≤3，

∵x为正整数，

∴x＝1，2，3，

∴该景区有三种设计方案：

方案一：购买A种设备1台，B种设备9台；

方案二：购买A种设备2台，B种设备8台；

方案三：购买A种设备3台，B种设备7台；

（2）各方案购买费用分别为：

方案一：3×1+4.4×9＝42.6＞40，实际付款：42.6×0.9＝38.34（万元）；

方案二：3×2+4.4×8＝41.2＞40，实际付款：41.2×0.9＝37.08（万元）；

方案三：3×3+4.4×7＝39.8＜40，实际付款：39.8（万元）；

∵37.08＜38.34＜39.8，

∴采用（1）设计的第二种方案，使购买费用最少．

27．（1）证明：∵在Rt△ABC中，AC＝2AB，

∴∠ACB＝∠AC′B′＝30°，∠BAC＝60°，

由旋转可得：AB′＝AB，∠B′AC′＝∠BAC＝60°，

∴∠EAC′＝∠AC′B′＝30°，

∴AE＝C′E；

（2）解：由（1）得到△ABB′为等边三角形，

∴∠AB′B＝60°，即∠BB'F＝∠AB'B+∠AB'F＝150°，

∵BB'＝B'F，

∴∠FBB′＝∠B'FB＝15°；

（3）解：连接AF，过A作AM⊥BF，可得△AB′F是等腰直角三角形，△AB′B为等边三角形，

∴∠AFB′＝45°，∠BB′F＝150°，

∵BB′＝B′F，

∴∠B′FB＝∠B′BF＝15°，

∴∠AFM＝30°，∠ABF＝45°，

在Rt△AMF中，AM＝BM＝AB•cos∠ABM＝2×＝2，

在Rt△AMF中，MF＝AM＝2，

则BF＝2+2．

28．解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A＝90°，AB＝AD＝10，

由翻折可知：EB＝EM，设EB＝EM＝x，

在Rt△AEM中，∵EM2＝AM2+AE2，

∴x2＝42+（10﹣x）2，

∴x＝．

∴BE＝．

（2）如图1﹣1中，

设AM＝y，则BE＝EM＝x，MD＝10﹣y，

在Rt△AEM中，由勾股定理得AE2+AM2＝EM2，

（10﹣x）2+y2＝x2，可得y2＝20x﹣100，

∵∠EMP＝90°，∠A＝∠D，

∴Rt△AEM∽Rt△DMP，

∴＝，即＝，

解得DM+MP+DP＝＝＝20，

∴△DMP的周长为20，

∴PM＝AM+PC，

延长DC到K，使得CK＝AM，则△BAM≌△BCK（SAS），

∴∠ABM＝∠CBK，AM＝CK，BM＝BK，

∴∠MBK＝∠ABC＝90°，PM＝PC+CK＝PK，

∵BP＝BP，

∴△PBM≌△PBK（SSS），

∴∠PBM＝∠PBK＝45°．

（3）如图2中，作FG⊥AB于G．则四边形BCFG是矩形，FG＝BC，CF＝BG．设AM＝x，

∵PC＝PD＝5，

∴PM+x＝5，DM＝10﹣x，

在Rt△PDM中，（x+5）2＝（10﹣x）2+25，

∴x＝，

∴AM＝，

设EB＝EM＝m，

在Rt△AEM中，则有m2＝（10﹣m）2+（）2，

∴m＝，

∴AE＝10﹣＝，

∵AM⊥EF，

∴∠ABM+∠GEF＝90°，∠GEF+∠EFG＝90°，

∴∠ABM＝∠EFG，

∵FG＝BC＝AB，∠A＝∠FGE＝90°，

∴△BAM≌△FGE（AAS），

∴EG＝AM＝，

∴CF＝BG＝AB﹣AE﹣EG＝10﹣﹣＝．

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