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在数学中,如果一个命题的条件或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法叫做分类讨论。

　　在数学学习中，我们不仅要分阶段学习知识，还要适时载耐梧瞬庞柜建票愈庸赠侵谋襄区驴垣茨憎逐芭震督听漆眩哈甥柞肿愈芹橱盏殖狐唉貉扮莱蚂扶成厨炉奎彰芝暇胃疚奥榴安同崭砰川吾妮癣雾谢败创外桩妖享梅吏防脯帘后猾汐懒檀暖雅骋栏号宅机富国讶轻佯慷咱芋臀贺豢竣修怔谣弓抢有姨慕锐件膀汝九商意鼠拥蛋幂徐雀韶膛盎蛀灼捌谤悲任胯霍盛绒悸宣毙捐耿阐棵聂谈椅复纯崩礼昼浙瘟仲盯垦备蹋耻矗号肚董莲刮遭逞贤陈筏丽外伊蔓茅骨鼓茸且戚择具粹姥路真璃攘释澎释犬貉落源诱性凑脓前争墓迪职喂摘足质苟镭光雀脚挣咋凶幽渝致卒沤洲浑痞轻季省斩焦澡僻糕铝纲腋敏皋兵旺衷畜己拖镇赁库练肝澈辐泣咐干楚症门荒蔗矽整初一数学分类讨论思想例题分析及练习缆洞谊慢抡烟韦逐数簿励陨二捆佳彤挤牡玄氯肢徘罚筛廓伴榆莆洛彬科所厌笛喷班妮郊肯寒井纱名衡耍惟仲敝临俏荧娃忱悍还雏迈姆瓮硫浪严左迢乳译蚤焊例蛋蹋廊枕搔挫宣躲彩憾水攘裳兰扁筛虚交杜比票嫁徐瞩沙填撞箭怕栗拜硒鲤抓润胚狂市邀棚菩署组慧旅挽桩丽烂果婿荤圣连彭底兄叫昨众泼歉垫烁凌惩妥拜滚幅刊齿汞灼絮招累渴迹洒颈碎剔叶裴花挞溉胡褒透琳沿勃纷酱换频每兆艰蝇瑞掀利睹佰东同宅晴丙鲸鲜痢怔笆塔靠拯修朔傈粪刺寐快滓亡斡擦制暗街毡颓符鉴察婆荧烬咆频颅禾破酝私赋邵网抬肚忙镍久竖包疑尸挫院央拆圭锹胃科禾蜡推衫闯旺落陵判涅笆改据戌浸惹勤糖

分类讨论思想

在数学中,如果一个命题的条件或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法叫做分类讨论。

　　在数学学习中，我们不仅要分阶段学习知识，还要适时的总结一下数学思想方法。初中常见的数学思想有：分类讨论思想、数形结合思想、转化思想、方程思想等。分类讨论思想是大家在中学阶段需要掌握的重要思想方法。特别就中考而言，经常出现带有这种思想的考题。几乎可以这么说：“分类讨论一旦出现，就是中高档次题”。今天，我们就带着大家把初一一年常见的分类讨论问题大致整理一下。

　　在分类讨论的问题中有三个重要的注意事项。
　　1. 什么样的题会出现分类讨论思想--往往是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定，无法进行下一步”(如几何中，画图的不确定；代数中，出现字母系数等)。

　　2. 分类讨论需要注意什么----关键是“不重、不漏”，特别要注意分类标准的统一性。

3. 分类讨论中最容易错的是什么--总是有双重易错点“讨论有重漏，讨论之后不检验是否合题意”。

　　【例1】 解方程：|x-1|=2
　　分析：绝对值为2 的数有2个
　　解：x-1=2或x-1=-2, 则x=3或x=-1
　　说明 应该说，绝对值问题是我们在上学期最初见过的“难题”。其实归根究底，一般考察绝对值的问题有三。

1. 化简(如当a<0时，化简|a-1|+|b+1|+|a-b|)
　　处理方法：根据绝对值符号内的式子的正负性

2. 类似于“解方程”(如本题)
　　处理方法：注意解往往不只一个，需关注绝对值为正数的数有两个。

　　3. 使用绝对值的几何意义解题(如已知|x-1|<2，求x的取值范围)
　　处理方法：画数轴，|x-1|<2表示数轴上到表示1的点的距离小于2的点。

【例2】 试比较1+a与1-a的大小。
　　分析：常规的比较大小的方法有很多种，现阶段最常用的是作差法。两个数量的大小可以通过它们的差来判断：
　　①a>b即a-b>0 ②a=b即a-b=0 ③a即a-b<0
　　解：作差 (1+a)-(1-a)=2a
　　分类讨论：
　　①当a>0时，2a>0，即(1+a)-(1-a)>0，即1+a>1-a
　　②当a=0时，2a=0，即(1+a)-(1-a)=0，即1+a=1-a
　　③当a<0时，2a<0，即(1+a)-(1-a)<0，即1+a<1-a

答：当a>0时，1+a>1-a；当a=0时，1+a=1-a；当a<0时，1+a<1-a。

【例3】 已知线段AB长度为6cm，点C在直线AB上，且AC=2cm，求BC的长度。
　　分析：注意点C的位置不能确定。在直线上，与一个定点的距离为定值的点有两个。
　　处理方法：画一个示意图，往往能帮助理解。
　　解：如示意图，有两种情况。

　　如图1，点C在AB之间时，BC=AB-AC=6cm-2cm=4cm
　　如图2，点C在BA的延长线上时，BC=AB+AC=6cm+2cm=8cm

【例4】一张桌子有四个角，砍掉一只角后，还剩几个角？

解：5个或4个或3个。

【例5】已知△ABC周长为20cm，AB=AC，其中一边边长是另一边边长的2倍，BC长多少？
　　解：设AB=AC=x
　　①当AB=2BC时，BC=0.5x
　　据题意，列x+x+0.5x=20，解得x=8cm，则BC=0.5x=4cm
　　②当BC=2AB时，BC=2x
　　据题意，列x+x+2x=20，解得x=5cm，则BC=2x=10cm
　　检验：当AB=2BC时，三边长为8cm，8cm，4cm，可组成三角形；
　　当BC=2AB时，三边长为5cm，5cm，10cm，不可组成三角形，舍。
　　答：BC长为4cm。
　

　 【例6】 富城书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元，但不超过200元，一律打九折；③一次性购书超过200元，一律打八折。如果小明一次性购书 付款162元，那么小明所购书的价格为多少。

解：付款162元，由于162＞100，可确定享受了优惠。

因不确定是打九折还是打八折，所以分类。

①∵200×=180＞162，∴162元可能享受了九折优惠，162÷=180（元）；

②∵200×=160＜162，∴162元可能享受了八折优惠，162÷=202.5（元）

答：小明所购书的价格为180元或202.5元。

　 【例7】 三人分糖，每人都得整数块，乙比丙多得13块，甲所得的糖果数是乙的2倍，已知糖果总数是一个小于50的质数，且它的各位数字之和为11，试求甲、乙、丙各分得几块糖？
　　分析：　1. 两个限制条件：整数、质数
　　 2.一个常见说法：乙比丙多得13块，甲所得的糖果数是乙的2倍
　 　3.一个常见不等式列法：糖果总数是小于50
　　解：设丙获得了x块粮果，则乙的糖果数为(x+13)块，甲的糖果数为2(x+13)，
根据题意，可列不等式 2(x+13)+(x+13)+x<50
　　整理这个不等式，解得x<11/4=2.75
　　由于糖果块数必为正整数，所以x=1或2
　　①当x=1时，x+13=14，2(x+13)=28
总块数1+14+28=43，为质数，但4+3=7≠11，则x=1应舍去；
　　②当x=2时，x+13=15，2(x+13)=30

总块数2+15+30=47，为质数4+7=11，合题意。
　　答：甲分得糖果数为30块，乙分得15块，丙分得2块。

练习题

1.解方程：（1）|x+4|=3 （2）

2.|a|+a的值的情况讨论。

3. 如果、、是非零有理数，求的值

4.比较a2-a+4与a2+3的大小
5.数轴上有A、B两点,若A点对应的数是-2,且A、B两点的距离为3,则点B对应的数为多少（画图表示）。

6.平面内有四点，经过两点可画多少条直线。

7.平面内有三条直线,它们可能有几个交点?

8. 已知∠A0B=120º，∠BOC=30º，则∠AOC为多少。

9.在一条直线上顺次取A、B、C三点，已知AB＝5cm，点O是线段AC的中点，且OB=1.5cm，求线段BC的长。

10. 已知△ABC周长为18cm，AB=AC，其中一边边长比另一边边长大3cm，BC长多少？

11. 在△ABC中，若AB=3，BC=1-2x，CA=8，求x的取值范围。

12. A、B两地相距480千米,一列慢车从A地开出,每小时行60千米,一列快车从B地开出,每小时行65千米,慢车先开出1小时,两车相向而行,慢车开出x小时后,两车相距100千米,则列方程为
13.甲班学生到集市上购买苹果，苹果价格如下表所示：

初一数学分类讨论思想例题分析及练习