线性代数习题及答案

习题一

1. 求下列各排列的逆序数.

(1) 341782659； (2) 987654321；

(3) n(n-1)…321； (4) 13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2.

【解】

(1) τ(341782659)=11;

(2) τ(987654321)=36;

(3) τ(n(n-1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n-1)=;

(4) τ(13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2)=0+1+…+(n-1)+(n-1)+(n-2)+…+1+0=n(n-1).

2. 略.见教材习题参考答案.

3. 略.见教材习题参考答案.

4. 本行列式的展开式中包含和的项.

解： 设 ，其中分别为不同列中对应元素的行下标，则展开式中含项有

展开式中含项有

.

5. 用定义计算下列各行列式.

(1)； (2).

【解】(1) D=(-1)τ(2314)4!=24; (2) D=12.

6. 计算下列各行列式.

(1)； (2)；

(3)； (4).

【解】(1);

(2);

7. 证明下列各式.

(1)；

(2)；

(3)

(4)；

(5).

【证明】(1)

(2)

(3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:

从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为

但对（*）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故

(4) 对D2n按第一行展开，得

据此递推下去，可得

(5) 对行列式的阶数n用数学归纳法.

当n=2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n-1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n时结论也成立.

按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加：

但由归纳假设

从而有

8. 计算下列n阶行列式.

(1) (2)；

(3). (4)其中；

(5).

【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x+(n-1),得

将第一行乘（-1）后分别加到其余各行，得

(2)按第二行展开

(3) 行列式按第一列展开后，得

(4)由题意，知

.

(5)

.

即有

由 得

.

9. 计算n阶行列式.

【解】各列都加到第一列，再从第一列提出，得

将第一行乘（-1）后加到其余各行，得

10. 计算阶行列式（其中）.

.

【解】行列式的各列提取因子,然后应用范德蒙行列式.

11. 已知4阶行列式

;

试求与，其中为行列式的第4行第j个元素的代数余子式.

【解】

同理

12. 用克莱姆法则解方程组.

(1) (2)

【解】方程组的系数行列式为

故原方程组有惟一解，为

13. λ和μ为何值时，齐次方程组

有非零解?

【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式

即

故或时，方程组有非零解.

14. 问：齐次线性方程组

有非零解时，a,b必须满足什么条件？

【解】该齐次线性方程组有非零解，a,b需满足

即(a+1)2=4b.

15. 求三次多项式，使得

【解】根据题意，得

这是关于四个未知数的一个线性方程组，由于

故得

于是所求的多项式为

16. 求出使一平面上三个点位于同一直线上的充分必要条件.

【解】设平面上的直线方程为

ax+by+c=0 (a,b不同时为0)

按题设有

则以a,b,c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为

上式即为三点位于同一直线上的充分必要条件.

习题 二

1. 计算下列矩阵的乘积.

（1）； （2）　；

（3）　； （4）　；

（5） ； （6）　.

【解】

(1) (2); (3) (10);

(4)

(5); (6).

2.　 设，，

求(1);(2)；(3)吗?

【解】(1) (2)

(3) 由于AB≠BA,故(A+B)(A-B)≠A2-B2.

3. 举例说明下列命题是错误的.

(1) 若， 则； (2) 若， 则或；

(3) 若，， 则.

【解】

(1) 以三阶矩阵为例，取,但A≠0

(2) 令,则A2=A,但A≠0且A≠E

(3) 令

则AX=AY,但X≠Y.

4.　设, 求A2，A3，…，Ak.

【解】

5.　，　求并证明：

.

【解】

今归纳假设

那么

所以，对于一切自然数k,都有

6. 已知，其中

求及.

【解】因为|P|= -1≠0,故由AP=PB,得

而

7. 设，求||.

解：由已知条件，的伴随矩阵为

又因为，所以有

，且，

即

于是有 .

8.　已知线性变换

利用矩阵乘法求从到的线性变换.

【解】已知

从而由到的线性变换为

9.　 设，为阶方阵，且为对称阵，证明：也是对称阵.

【证明】因为n阶方阵A为对称阵，即A′=A,

所以 (B′AB)′=B′A′B=B′AB,

故也为对称阵.

10.　设A，B为n阶对称方阵，证明：AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA.

【证明】已知A′=A,B′=B，若AB是对称阵，即(AB)′=AB.

则 AB=(AB)′=B′A′=BA,

反之，因AB=BA,则

(AB)′=B′A′=BA=AB,

所以，AB为对称阵.

11. A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明：

(1) B2是对称矩阵.

(2) AB-BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.

【证明】

因A′=A,B′= -B,故

(B2)′=B′·B′= -B·(-B)=B2;

(AB-BA)′=(AB)′-(BA)′=B′A′-A′B′

= -BA-A·(-B)=AB-BA;

(AB+BA)′=(AB)′+(BA)′=B′A′+A′B′

= -BA+A·(-B)= -(AB+BA).

所以B2是对称矩阵，AB-BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.

12. 求与A=可交换的全体二阶矩阵.

【解】设与A可交换的方阵为,则由

=,

得

.

由对应元素相等得c=0,d=a,即与A可交换的方阵为一切形如的方阵，其中a,b为任意数.

13. 求与A=可交换的全体三阶矩阵.

【解】由于

A=E+,

而且由

可得

由此又可得

所以

即与A可交换的一切方阵为其中为任意数.

14.　求下列矩阵的逆矩阵.

(1)； (2)；

(3)； (4)　；

(5)　； (6)　，

未写出的元素都是0（以下均同，不另注）.

【解】

(1); (2);

(3); (4);

(5); (6).

15. 利用逆矩阵，解线性方程组

【解】因,而

故

16. 证明下列命题：

(1) 若A，B是同阶可逆矩阵，则（AB）*=B*A*.

(2) 若A可逆，则A*可逆且（A*）-1=（A-1）*.

(3) 若AA′=E,则（A*）′=(A*)-1.

【证明】（1） 因对任意方阵c，均有c*c=cc*=|c|E,而A,B均可逆且同阶，故可得

|A|·|B|·B*A*=|AB|E(B*A*)

=(AB) *AB(B*A*)=(AB) *A(BB*)A*

=(AB) *A|B|EA*=|A|·|B|(AB) *.

∵ |A|≠0,|B|≠0,

∴ (AB) *=B*A*.

(2) 由于AA*=|A|E,故A*=|A|A-1,从而(A-1) *=|A-1|(A-1)-1=|A|-1A.

于是

A* (A-1) *=|A|A-1·|A|-1A=E,

所以

(A-1) *=(A*)-1.

(3) 因AA′=E，故A可逆且A-1=A′.

由(2)(A*)-1=(A-1) *,得

(A*)-1=(A′) *=(A*)′.

17.　已知线性变换

求从变量到变量的线性变换.

【解】已知

且|A|=1≠0,故A可逆，因而

所以从变量到变量的线性变换为

18.　解下列矩阵方程.

(1)；

(2)；

(3)；

(4).

【解】(1) 令A=;B=.由于

故原方程的惟一解为

同理

(2) X=; (3) X=; (4) X=

19. 若(k为正整数)，证明：

.

【证明】作乘法

从而E-A可逆，且

20.设方阵A满足A2－A－2E＝O，证明A及A＋2E都可逆，并求A-1及(A+2E)-1.

【证】因为A2-A-2E=0,

故

由此可知，A可逆，且

同样地

由此知，A+2E可逆，且

21. 设，,求.

【解】由AB=A+2B得(A-2E)B=A.

而

即A-2E可逆，故

22.　 设.　其中，， 求.

【解】因可逆，且故由

得

23. 设次多项式，记,称为方阵的次多项式.

(1)， 证明

，；

(2) 设， 证明，.

【证明】

(1)即k=2和k=3时，结论成立.

今假设

那么

所以，对一切自然数k，都有

而

(2) 由(1)与A=P -1BP,得

B=PAP -1.

且

Bk=( PAP -1)k= PAkP -1,

又

24.，证明矩阵满足方程.

【证明】将A代入式子得

故A满足方程.

25. 设阶方阵的伴随矩阵为，

证明：(1) 若｜｜＝０，则｜｜＝０；

(2).

【证明】（1） 若|A|=0，则必有|A*|=0，因若| A*|≠0，则有A*( A*)-1=E,由此又得

A=AE=AA*( A*)-1=|A|( A*)-1=0,

这与| A*|≠0是矛盾的，故当|A| =0，则必有| A*|=0.

(2) 由A A*=|A|E，两边取行列式，得

|A|| A*|=|A|n,

若|A|≠0，则| A*|=|A|n-1

若|A|=0,由(1)知也有

| A*|=|A|n-1.

26.　设

.

求(1); (2); (3)；(4)｜｜k (为正整数).

【解】

(1); (2);

(3); (4).

27. 用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵.

（1）； （2）;

（3）.

【解】(1) 对A做如下分块

其中

的逆矩阵分别为

所以A可逆，且

同理(2)

(3)

习题 三

1. 略.见教材习题参考答案.

2. 略.见教材习题参考答案.

3. 略.见教材习题参考答案.

4. 略.见教材习题参考答案.

5.，证明向量组线性相关.

【证明】因为

所以向量组线性相关.

6. 设向量组线性无关，证明向量组也线性无关，这里

【证明】 设向量组线性相关，则存在不全为零的数使得

把代入上式，得

.

又已知线性无关，故

该方程组只有惟一零解，这与题设矛盾，故向量组线性无关.

7. 略.见教材习题参考答案.

8..证明：如果，那么线性无关.

【证明】已知,故R(A)=n,而A是由n个n维向量

组成的，所以线性无关.

9. 设是互不相同的数，r≤n.证明：是线性无关的.

【证明】任取n-r个数tr+1,…,tn使t1,…,tr,tr+1,…,tn互不相同，于是n阶范德蒙行列式

从而其n个行向量线性无关，由此知其部分行向量也线性无关.

10. 设的秩为r且其中每个向量都可经线性表出.证明：为的一个极大线性无关组.

【证明】若 (1)

线性相关，且不妨设

(t<r) (2)

是(1)的一个极大无关组，则显然（2）是的一个极大无关组，这与的秩为r矛盾，故必线性无关且为的一个极大无关组.

11. 求向量组=(1,1,1,k), =(1,1,k,1), =(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组.

【解】把按列排成矩阵A，并对其施行初等变换.

当k=1时，的秩为为其一极大无关组.

当k≠1时，线性无关，秩为3，极大无关组为其本身.

12. 确定向量,使向量组与向量组=(0,1,1),

=(1,2,1), =(1,0,-1)的秩相同，且可由线性表出.

【解】由于

而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a-2=0,即a=2,又

要使可由线性表出，需b-a+2=0,故a=2,b=0时满足题设要求，即=(2,2,0).

13. 设为一组n维向量.证明：线性无关的充要条件是任一n维向量都可经它们线性表出.

【证明】充分性: 设任意n维向量都可由线性表示，则单位向量，当然可由它线性表示，从而这两组向量等价，且有相同的秩，所以向量组的秩为n，因此线性无关.

必要性：设线性无关，任取一个n维向量,则线性相关，所以能由线性表示.

14. 若向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，也可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，则向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.

证明：由已知条件，，且向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，即两向量组等价，且

，

又，向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，即两向量组等价，且

，

所以向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.

15. 略.见教材习题参考答案.

16. 设向量组与秩相同且能经线性表出.证明与等价.

【解】设向量组

(1)

与向量组

(2)

的极大线性无关组分别为

(3)

和

(4)

由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出，即

因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|aij|≠0，可由（*）解出,即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1），（2）等价，所以（1）和（2）等价.

17. 设A为m×n矩阵，B为s×n矩阵.证明：

.

【证明】因A,B的列数相同，故A,B的行向量有相同的维数，矩阵可视为由矩阵A扩充行向量而成，故A中任一行向量均可由中的行向量线性表示，故

同理

故有

又设R(A)=r,是A的行向量组的极大线性无关组,R（B）=k,是B的行向量组的极大线性无关组.设是中的任一行向量，则若属于A的行向量组，则可由表示，若属于B的行向量组，则它可由线性表示，故中任一行向量均可由,线性表示，故

所以有

.

18. 设A为s×n矩阵且A的行向量组线性无关，K为r×s矩阵.证明：B＝KA行无关的充分必要条件是R(K)=r.

【证明】设

A=(As,Ps×(n-s)),

因为A为行无关的s×n矩阵，故s阶方阵As可逆.

()当B=KA行无关时，B为r×n矩阵.

r=R(B)=R(KA)≤R(K),

又K为r×s矩阵R(K)≤r,∴ R(K)=r.

()当r=R(K)时，即K行无关，

由B=KA=K(As,Ps×(n-s))=(KAs,KPs×(n-s))

知R(B)=r,即B行无关.

19. 略.见教材习题参考答案.

20. 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.

(1)； (2).

【解】(1) 矩阵的行向量组的一个极大无关组为;

(2) 矩阵的行向量组的一个极大无关组为.

21. 略.见教材习题参考答案.

22. 集合V1＝{()｜∈R且＝0}是否构成向量空间?为什么?

【解】由（0,0,…,0）∈V1知V1非空，设)则

因为

所以,故是向量空间.

23. 试证：由,生成的向量空间恰为R3.

【证明】把排成矩阵A=(),则

,

所以线性无关，故是R3的一个基，因而生成的向量空间恰为R3.

24. 求由向量所生的向量空间的一组基及其维数.

【解】因为矩阵

∴是一组基，其维数是3维的.

25. 设,证明:

.

【解】因为矩阵

由此知向量组与向量组的秩都是2，并且向量组可由向量组线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而也可由线性表出.所以

.

26. 在R3中求一个向量，使它在下面两个基

下有相同的坐标.

【解】设在两组基下的坐标均为()，即

即

求该齐次线性方程组得通解

(k为任意实数)

故

27. 验证为R3的一个基，并把

用这个基线性表示.

【解】设

又设

,

即

记作 B=AX.

则

因有,故为R3的一个基，且

即

.

习题四

1. 用消元法解下列方程组.

(1) (2)

【解】(1)

得

所以

(2)

解②-①×2得 x2-2x3=0

③-① 得 2x3=4

得同解方程组

由⑥得 x3=2,

由⑤得 x2=2x3=4,

由④得 x1=2-2x3 -2x2 = -10,

得 (x1,x2,x3)T=(-10,4,2)T.

2. 求下列齐次线性方程组的基础解系.

(1) (2)

(3) (4)

【解】(1)

得同解方程组

得基础解系为

.

(2) 系数矩阵为

∴ 其基础解系含有个解向量.

基础解系为

(3)

得同解方程组

取得基础解系为

(-2，0，1，0，0)T,(-1，-1，0，1，0).

(4) 方程的系数矩阵为

∴ 基础解系所含解向量为n-R(A)=5-2=3个

取为自由未知量

得基础解系

3. 解下列非齐次线性方程组.

(1) (2)

(3) (4)

【解】

（1） 方程组的增广矩阵为

得同解方程组

(2) 方程组的增广矩阵为

得同解方程组

即

令得非齐次线性方程组的特解

xT=(0，1，0，0)T.

又分别取

得其导出组的基础解系为

∴ 方程组的解为

(3)

∴ 方程组无解.

(4) 方程组的增广矩阵为

分别令

得其导出组的解为

令,

得非齐次线性方程组的特解为：xT=(-16,23,0,0,0)T,

∴ 方程组的解为

其中为任意常数.

4. 某工厂有三个车间，各车间相互提供产品（或劳务），今年各车间出厂产量及对其它车间的消耗如下表所示.

表中第一列消耗系数0.1,0.2,0.5表示第一车间生产1万元的产品需分别消耗第一，二，三车间0.1万元，0.2万元，0.5万元的产品；第二列，第三列类同，求今年各车间的总产量.

解：根据表中数据列方程组有

即

解之

5.取何值时，方程组

(1)有惟一解，(2)无解，(3)有无穷多解，并求解.

【解】方程组的系数矩阵和增广矩阵为

|A|=.

(1) 当≠1且≠-2时，|A|≠0，R(A)=R(B)=3.

∴ 方程组有惟一解

（2） 当=-2时，

R(A)≠R(B),∴ 方程组无解.

(3) 当=1时

R(A)=R(B)<3,方程组有无穷解.

得同解方程组

∴ 得通解为

6. 齐次方程组

当取何值时，才可能有非零解?并求解.

【解】方程组的系数矩阵为

|A|=

当|A|=0即=4或=-1时，方程组有非零解.

(i) 当=4时,

得同解方程组

(ii) 当=-1时,

得

∴ ()T=k·(-2,-3,1)T.k∈R

7. 当a,b取何值时，下列线性方程组无解，有惟一解或无穷多解？在有解时，求出其解.

（1） (2)

【解】方程组的增广矩阵为

(1)

(i) 当b≠-52时,方程组有惟一解

(ii) 当b=-52,a≠-1时，方程组无解.

(iii) 当b=-52，a=-1时，方程组有无穷解.

得同解方程组

(*)

其导出组的解为

非齐次线性方程组（*）的特解为

取x4=1,

∴ 原方程组的解为

(2)

(i) 当a-1≠0时，R(A)=R()=4,方程组有惟一解.

(ii) 当a-1=0时,b≠-1时，方程组R(A)=2<R()=3,

∴ 此时方程组无解.

(iii) 当a=1，b= -1时，方程组有无穷解.

得同解方程组

取

∴ 得方程组的解为

8. 设，求一秩为2的3阶方阵B使AB=0.

【解】设B=(b1 b2 b3),其中bi(i=1,2,3)为列向量,

由

为Ax=0的解.

求=0的解.由

得同解方程组

∴ 其解为

取

则

9.已知是三元非齐次线性方程组Ax=b的解，且R(A)=1及

求方程组Ax=b的通解.

【解】Ax=b为三元非齐次线性方程组

R(A)=1Ax=0的基础解系中含有3-R(A)=3-1=2个解向量.

由为Ax=b的解为Ax=0的解,

且线性无关为Ax=0的基础解系.

又

∴ 方程组Ax=b的解为

10. 求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系由下列向量组成.

(1)

(2)

【解】

(1)设齐次线性方程组为Ax=0

由为Ax=0的基础解系，可知

令 k1=x2 , k2=x3

Ax=0即为x1+2x2-3x3=0.

(2) A()=0A的行向量为方程组为的解.

即的解为

得基础解系为=(-5 -1 1 1 0)T =(-1 -1 1 0 1)T

A=

方程为

11. 设向量组=（1，0，2，3），=（1，1，3，5），=（1，-1，a+2，1），=（1，2，4，a+8），=（1，1，b+3，5）

问：（1） a，b为何值时，不能由，，，线性表出？

（2） a，b为何值时，可由，，，惟一地线性表出？并写出该表出式.

（3） a，b为何值时，可由，，，线性表出，且该表出不惟一？并写出该表出式.

【解】

(*)

(1)不能由，，，线性表出方程组（*）无解,即a+1=0,且b≠0.即a=-1,且b≠0.

(2)可由，，，惟一地线性表出方程组(*)有惟一解，即a+1≠0，即a≠-1.

(*) 等价于方程组

(3)可由，，，线性表出，且表出不惟一方程组（*）有无数解，即有

a+1=0,b=0a=-1,b=0.

方程组（*）

为常数.

∴

12. 证明：线性方程组有解的充要条件是.

【解】

方程组有解的充要条件，即R(A)=4=R(A)

得证.

13. 设是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明

（1）线性无关；

（2）线性无关.

【 证明】

(1)线性无关

成立,

当且仅当ki=0(i=1,2,…,n-r),k=0

∵为Ax=0的基础解系

由于

.

由于为线性无关

∴线性无关.

(2) 证线性无关.

成立

当且仅当ki=0(i=1,2,…,n-r),且k=0

即

由(1)可知，线性无关.

即有ki=0(i=1,2,…,n-r),且

∴线性无关.

14. 设有下列线性方程组（Ⅰ）和(Ⅱ)

（Ⅰ） (Ⅱ)

(1) 求方程组（Ⅰ）的通解；

(2) 当方程组（Ⅱ）中的参数m,n,t为何值时，（Ⅰ）与(Ⅱ)同解？

解：（1）对方程组（Ⅰ）的增广矩阵进行行初等变换

由此可知系数矩阵和增广矩阵的秩都为3，故有解.由方程组

（*）

得方程组（*）的基础解系

令，得方程组（Ⅰ）的特解

于是方程组（Ⅰ）的通解为，k为任意常数。

(2) 方程组（Ⅱ）的增广矩阵为

系数矩阵与增广矩阵的秩均为3，令

(**)

方程组（**）的基础解系为

当时，，当时，

方程组（Ⅱ）与方程组（Ⅰ）同解，则，故有

把m，n代入方程组，同时有 ，即t = 6.

也就是说当m=2，n=4，t=6时，方程组（Ⅱ）与方程组（Ⅰ）同解.

习题五

1. 计算.

【解】

2.　把下列向量单位化.

(1)＝（3，0，－1，4）； (2)　＝（5，1，－2，0）.

【解】

3. 利用施密特正交化方法把下列向量组正交化.

(1) 1 =(0，1，1)′, 2 =(1,1,0)′, 3 =(1,0,1)′;

(2) 1 =(1,0,-1,1), 2 =(1,-1,0,1), 3 =(-1,1,1,0)

【解】

4. 试证，若n维向量与正交，则对于任意实数k，l，有k与l正交.

【证】与正交.

∴与正交.

5.　下列矩阵是否为正交矩阵.

【解】

(1) A′A≠E, ∴A不是正交矩阵

(2) A′A=EA为正交矩阵

6.　设x为n维列向量，x′x＝1，令H＝E－２xx′.求证H是对称的正交矩阵.

【证】

∴ H为对称矩阵.

∴ H是对称正交矩阵.

7.　 设A与B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵.

【证】A与B为n阶正交矩阵A′A=EB′B=E

(AB)(AB)′=AB·(B′A′)=A(BB′)A′=AEA′=AA′=E

∴ AB也是正交矩阵.

8.　判断下列命题是否正确.

(1) 满足Ax＝x的x一定是A的特征向量；

(2) 如果x1，…，xr是矩阵A对应于特征值的特征向量.则k1x1＋k2x2＋…＋krxr也是A对应于的特征向量；

(3) 实矩阵的特征值一定是实数.

【解】

(1) ╳.Ax=x,其中当x=0时成立，但x=0不是A的特征向量.

(2) ╳.例如：E3×3x=x特征值=1,的特征向量有

则不是E3×3的特征向量.

(3) ╳.不一定.实对称矩阵的特征值一定是实数.

9. 求下列矩阵的特征值和特征向量.

【解】(1)

当时，

为得解

对应的特征向量为

.

当时,

其基础解系为,对应的特征向量为

∴ 特征值为

(i) 当时，

其基础解系为

∴ 对应于=2的特征向量为

且使得特征向量不为0.

(ii)当时,

,

解得方程组的基础解系为

∴ 对应于的特征向量为

特征值为

(i) 当时,

得基础解系为

对应的特征向量为

(ii) 当时，

其基础解系为(2,-2,1)′,

所以与对应的特征向量为

(iii) 当时，

其基础解系为(2,1,-2)′

∴ 与对应的特征向量为

∴ A的特征值为1,2.

(i) 当时,

其基础解系为(4,-1,1,0)′.

∴ 其对应的特征向量为k·(4,-1,1,0)T,k∈R且k≠0.

(ii) 当时，

其基础解系为：（1,0,0,0）′.

∴ 其对应的特征向量为

10.设3阶方阵A的特征值为λ1＝1，λ2＝0，λ3＝－1，对应的特征向量依次为

求矩阵A.

【解】

由于为不同的特征值线性无关，则有

可逆

11.　 设3阶实对称矩阵A的特征值为－1，1，1，与特征值－1对应的特征向量x＝（－1，1，1）′，求A.

【解】对应的特征向量为x1=(-1,1,1)T,设对应的特征向量为x2=(x1,x2,x3)T,A为实对称矩阵，所以(x1,x2)=0,即有-x1+x2+x3=0.

得方程组的基础解系为

可知为对应的特征向量.

将正交化得

=(-1,1,1)T, 单位化：;

=(1,1,0)T, ;

则有

12. 若n阶方阵满足A2＝A，则称A为幂等矩阵，试证，幂等矩阵的特征值只可能是1或者是零.

【证明】设幂等矩阵的特征值为，其对应的特征向量为x.

由A2=A可知

所以有或者=1.

13. 若A2＝E，则A的特征值只可能是±1.

【证明】设是A的特征值，x是对应的特征向量.

则Ax=x A2x= (Ax)= 2x

由A2=E可知

x=Ex=A2x=2x

(2-1)x=0,

由于x为的特征向量，∴ x≠02-1=0=±1.

14. 设λ1,λ2是n阶矩阵A的两个不同的特征根， 1, 2分别是A的属于λ1, λ2的特征向量，证明1+2不是A的特征向量.

证明：假设1+2是A的属于特征根λ的特征向量，则

A（1+2）=λ（1+2）=λ1+λ2.

又 A（1+2）= A1+ A 2=λ11+λ22

于是有 （λ-λ1）1+（λ-λ2）2 =0

由于， 1与2线性无关，故λ-λ1=λ-λ2=0.

从而与矛盾，故1+2不是A的特征向量.

15. 求正交矩阵T，使T－１AT为对角矩阵.

【解】

(i)当时,

方程组的基础解系为

(-2,1,0)T,

(2,0,1)T.

(ii) 当时,

其基础解系为.

取,单位化为,

取，取，使正交化.

令

单位化

得.

(i) 当时,

其基础解系为

正交化得

单位化得

(ii) 当时，

其基础解系为 =(2,1,2)T.

单位化得

(i) 当时,

其基础解系为

由于()=0,所以正交.

将它们单位化得

(ii) 当时,

其基础解系为=(1,-1,-1,1)T,

单位化得

(iii) 当时,

其基础解系为=(-1,-1,1,1)T,

单位化为

(i) 当=2时,

其基础解系为=(2,1,-2)T,

单位化得

,

(ii) 当=5时,

其基础解系为=(2,-2,1)T.

单位化得

.

(iii) 当=-1时,

,

其基础解系为=(1,2,2)T,

单位化得

,

得正交阵

16. 设矩阵与相似.

(1) 求x与y；

(2) 求可逆矩阵P，使P－1AP=B.

【解】(1)由A~B可知，A有特征值为-1,2,y.

由于-1为A的特征值，可知

.

将x=0代入|A-E|中可得

可知y= -2.

(2) (i) 当=-1时,

其基础解系为 =(0,-2,1)T,

= -1对应的特征向量为 =(0,-2,1)T.

(ii) 当=2时,

其基础解系为 =(0,1,1)T

所以=2对应的特征向量为 =(0,1,1)T

(ⅲ) 当=-2时,

,

其基础解系为 =(-2,1,1)T,

取可逆矩阵

则

17. 设， 求A100.

【解】

特征值为

(i) 当时,

其基础解系为

(ii) 当时,

其基础解系为(-1,1,2)T.

令,则

18.将下列二次型用矩阵形式表示.

(1)；

(2)；

(3).

【解】

(1)

(2)

(3)

19. 写出二次型的矩阵.

【解】

20. 当t为何值时，二次型的秩为2.

【解】

21. 已知二次型经过正交变换化为标准型，求参数a,b及所用的正交变换矩阵.

【解】由题知

二次型矩阵

当时,

即有 2ab=0.

当时,

当时,

(ⅰ) 当时,

得基础解系为=(1,0,-1)T,

单位化

(ⅱ) 当时,

其基础解系为=(0,1,0)T.

(iii) 当时，

其基础解系为=(1,0,1)T.

单位化得

得正交变换矩阵

22. 用配方法把下列二次型化为标准型，并求所作变换.

【解】

令

由于

∴ 上面交换为可逆变换.

得

令为可逆线性变换

令为可逆线性交换

所作线性交换为

23. 用初等变换法化下列二次型为标准型，并求所作变换.

【解】(1)

(2) 二次型矩阵为

24. 设二次型

(1) 用正交变换化二次型为标准型；

(2) 设A为上述二次型的矩阵，求A5.

【解】(1) 二次型的矩阵为

求得A的特征值.

对于，求解齐次线性方程组

(A-E)x=0，得基础解系为

将正交单位化得

对于，求解方程组(A+2E)x=0,

得基础解系为将单位化得

于是

即为所求的正交变换矩阵，且

(2) 因为所以

故

25. 求正交变换，把二次曲面方程化成标准方程.

【解】的矩阵为

(1) 当时,

其基础解系为

正交化得

单位化得

(2) 当时,

.

其基础解系为.

单位化得

正交变换矩阵

为所求正交变换.得

二次曲面方程的标准方程为

26. 判断下列二次型的正定性.

【解】(1) 矩阵为

∴ 二次型为负定二次型.

(2) 矩阵

∴ 二次型为正定二次型.

(3) 矩阵为

∴ 为正定二次型.

27. t满足什么条件时，下列二次型是正定的.

【解】(1) 二次型的矩阵为

可知时，二次型为正定二次型.

(2) 二次型的矩阵为

当t满足时，二次型为正定二次型.

28. 假设把任意x1≠0，x2≠0，…，xn≠0代入二次型都使f＞0，问f是否必然正定?

【解】错，不一定.

当为实二次型时,若≠0,

都使得f>0,则f为正定二次型.

29. 试证：如果A,B都是n阶正定矩阵，则A+B也是正定的.

【证】A,B是正定矩阵，则存在正定二次型

= xTAx = xTBx

且A′=A ， B′=B (A+B)′=(A′+B′)=A+B

有

= xT(A+B)x=xTAx+xTBx>0

∴ A+B为正定.

30. 试证：如果A是n阶可逆矩阵，则A′A是正定矩阵.

【证】A可逆 (A′A)′= A′·(A′)′= A′A A′A = A′E A

可知A′A与E合同

A′A正定.

31. 试证：如果A正定，则A′,A－１，A*都是正定矩阵.

【证】A正交，可知A′=A

可逆阵C，使得A=C′EC.

(i) A=C′ECA′=(C′EC)′A′=C′E′(C′)′=C′EC

∴ A′与E合同，可知A′为正定矩阵.

(ii) (A-1)′=(A′)-1=A-1可知A-1为对称矩阵.

由A正交可知，A为点对称矩阵

其特征值设为且有>0(i=1,2,…,n)

Axi=xixi=A-1xiA-1xi=xi

可知A-1的特征值为， (i=1,2,…,n)

∴ A-1正定.

(iii) 由A*=|A|·A-1可知

(A′)1=|A|·(A-1)′=|A|·A-1=A*

由(ii)可知A-1为正定矩阵即存在一个正定二次型

= xTA-1x

有>0

∵ A正交|A|>0

= xTA*x=xT·|A|·A-1x=|A|·(xTA-1x)

即有时，

xTA-1x>0

∵ |A|>0,即有

= xTA*x >0

∴ A*为正定矩阵.

习题 六

1. 检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间.

(1) 2阶反对称(上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；

(2) 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：

k·；

(3) 2阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法；

(4) 与向量(1，1，0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法.

【解】（1）是.由于矩阵加法和数量乘法满足线性空间定义中的1-8条性质，因此只需考虑反对称（上三角）矩阵对于加法和数量乘法是否封闭即可.下面仅对反对称矩阵验证：设A，B均为2阶反对称矩阵，k为任一实数，则

(A+B)′=A′+B′=-A-B=-(A+B),

(kA)′=kA′=k(-A)=-(kA),

所以2阶反对称矩阵的全体对于矩阵加法和数量乘法构成一个线性空间.

（2） 否.因为(k+l)·,而,所以这种数量乘法不满足线性空间定义中的第7条性质.

（3） 否.因为零矩阵不可逆（又因为加法和数量乘法都不封闭）.

（4） 否.因为加法不封闭.例如，向量（1，0，0），（0，1，0）都不平行于（1，1，0），但是它们之和（1，0，0）+（0，1，0）=（1，1，0）不属于这个集合.

2. 设U是线性空间V的一个子空间，试证：若U与V的维数相等，则U＝Ｖ.

【证明】设U的维数为m，且是U的一个基，因UV,且V的维数也是m，自然也是V的一个基，故U=V.

3. 设是n维线性空间Vn的线性无关向量组，证明Vn中存在向量使成为Vn的一个基(对n-r用数学归纳法).

【证明】对差n-r作数学归纳法.

当n-r=0时，结论显然成立.

假定对n-r=k时，结论成立，现在考虑n-r=k+1的情形.

因为向量组还不是V的一个基，它又是线性无关的，所以在V中必存在一个向量不能由线性表出，把添加进去所得向量组

,

必定还是线性无关的，此时n-(r+1)=(n-r)-1=(k+1)-1=k.

由归纳法假设, ,可以扩充为整个空间的一个基.