高一数学笔记(2)
发布时间:2019-11-17 21:11:06
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第一章集合
1一般地,研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set),也简称集。
2元素与集合的关系;
(1)如果a是集合A的元素,就说a属于(belongto)A,记作a∈A
(2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于(notbelongto)A,记作a
3常用数集及其记法
非负整数集(或自然数集),记作N
正整数集,记作N*或N+;
整数集,记作Z
有理数集,记作Q
4任何一个集合是它本身的子集
5真子集的概念:若集合
6空集的概念
不含有任何元素的集合称为空集(emptyset),记作:
规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集
7集合基本运算的一些结论:
A∩B
A
(CUA)∪A=U,(CUA)∩A=
若A∩B=A,则A
若A∪B=B,则A
若x∈(A∩B),则x∈A且x∈B
若x∈(A∪B),则x∈A,或x∈B
:
第二章函数
§1.2.2函数的表示法
1.函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数(function).
记作: y=f(x),x∈A.
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range).
2构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域
3一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A
记作“f:A
补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。
1.3.1函数的单调性
1.增函数
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1
思考:仿照增函数的定义说出减函数的定义.(学生活动)
注意:
2.函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间:
3.判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:
§1.3.2函数的奇偶性
1.偶函数(evenfunction)(偶函数的图象关于y轴对称);
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
仿照偶函数的定义给出奇函数的定义
2.奇函数(oddfunction)(奇函数的图象关于原点对称)
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
注意:
注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;(3)利用定理,或借助函数的图象判定.
§1.3.1函数的最大(小)值
(一)函数最大(小)值定义
1.最大值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
那么,称M是函数y=f(x)的最大值(MaximumValue).
思考:仿照函数最大值的定义,给出函数y=f(x)的最小值(MinimumValue)的定义.(学生活动)
注意:
2.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
§2.1.1指数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念
一般地,如果
当
式子
当
由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作
思考:(课本P58探究问题)
结论:当
当
.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义
规定:
.有理指数幂的运算性质
(1)
(2)
(3)
§2.1.2指数函数及其性质
(一)指数函数的概念
一般地,函数
2.你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗?
图象特征 | 函数性质 | ||
向x、y轴正负方向无限延伸 | 函数的定义域为R | ||
图象关于原点和y轴不对称 | 非奇非偶函数 | ||
函数图象都在x轴上方 | 函数的值域为R+ | ||
函数图象都过定点(0,1) | |||
自左向右看, 图象逐渐上升 | 自左向右看, 图象逐渐下降 | 增函数 | 减函数 |
在第一象限内的图象纵坐标都大于1 | 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 | ||
在第二象限内的图象纵坐标都小于1 | 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 | ||
图象上升趋势是越来越陡 | 图象上升趋势是越来越缓 | 函数值开始增长较慢,到了某一值后增长速度极快; | 函数值开始减小极快,到了某一值后减小速度较慢; |
课题:§2.2.1对数
1.对数的概念
一般地,如果
说明:
对数的性质
(1)负数和零没有对数;(2)1的对数是零:
(3)底数的对数是1:
(5)
:§
(一)对数函数的概念
1.定义:函数
其中
注意:
(二)对数的运算性质
如果
注意:换底公式
利用换底公式推导下面的结论
(1)
函数对底数的限制:
图象特征 | 函数性质 | ||
函数图象都在y轴右侧 | 函数的定义域为(0,+∞) | ||
图象关于原点和y轴不对称 | 非奇非偶函数 | ||
向y轴正负方向无限延伸 | 函数的值域为R | ||
函数图象都过定点(1,1) | |||
自左向右看, 图象逐渐上升 | 自左向右看, 图象逐渐下降 | 增函数 | 减函数 |
第一象限的图象纵坐标都大于0 | 第一象限的图象纵坐标都大于0 | ||
第二象限的图象纵坐标都小于0 | 第二象限的图象纵坐标都小于0 | ||