2016年大庆市初中升学统一考试

数学试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．地球上的海洋面积为361 000 000平方千米，数字361 000 000用科学记数法表示为（　　）

A．36.1×107B．0.361×109C．3.61×108D．3.61×107

2．已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（　　）

A．a•b＞0 B．a+b＜0 C．|a|＜|b| D．a﹣b＞0

3．下列说法正确的是（　　）

A．对角线互相垂直的四边形是菱形

B．矩形的对角线互相垂直

C．一组对边平行的四边形是平行四边形

D．四边相等的四边形是菱形

4．当0＜x＜1时，x2、x、的大小顺序是（　　）

A．x2B．＜x＜x2C．＜x D．x＜x2＜

5．一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（　　）

A． B． C． D．

6．由若干边长相等的小正方体构成的几何体的主视图、左视图、俯视图如图所示，则构成这个几何体的小正方体有（　　）个．

A．5 B．6 C．7 D．8

7．下列图形中是中心对称图形的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

8．如图，从①∠1=∠2 ②∠C=∠D ③∠A=∠F 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

9．已知A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是反比例函数y=上的三点，若x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，则下列关系式不正确的是（　　）

A．x1•x2＜0 B．x1•x3＜0 C．x2•x3＜0 D．x1+x2＜0

10．若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（　　）

A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11．函数y=的自变量x的取值范围是　　　　　　．

12．若am=2，an=8，则am+n=　　　　　　．

13．甲乙两人进行飞镖比赛，每人各投5次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为15，乙所得环数如下：0，1，5，9，10，那么成绩较稳定的是　　　　　　（填“甲”或“乙”）．

14．如图，在△ABC中，∠A=40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC=　　　　　　．

15．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为　　　　　　．

16．一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为　　　　　　海里/小时．

17．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=10，一圆弧过点B和点C，且与AD相切，则图中阴影部分面积为　　　　　　．

18．直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为　　　　　　．

三、解答题（本大题共10小题，共66分）

19．计算（+1）2﹣π0﹣|1﹣|

20．已知a+b=3，ab=2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．

21．关于x的两个不等式①＜1与②1﹣3x＞0

（1）若两个不等式的解集相同，求a的值；

（2）若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围．

22．某车间计划加工360个零件，由于技术上的改进，提高了工作效率，每天比原计划多加工20%，结果提前10天完成任务，求原计划每天能加工多少个零件？

23．为了了解某学校初四年纪学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校初四年级m名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图（图一）和扇形统计图（图二）：

（1）根据以上信息回答下列问题：

①求m值．

②求扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数．

③补全条形统计图．

（2）直接写出这组数据的众数、中位数，求出这组数据的平均数．

24．如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E．

（1）求证：AG=CG．

（2）求证：AG2=GE•GF．

25．如图，P1、P2是反比例函数y=（k＞0）在第一象限图象上的两点，点A1的坐标为（4，0）．若△P1OA1与△P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点P1、P2为直角顶点．

（1）求反比例函数的解析式．

（2）①求P2的坐标．

②根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y=的函数值．

26．由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少，已知原有蓄水量y1（万m3）与干旱持续时间x（天）的关系如图中线段l1所示，针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水，注水量y2（万m3）与时间x（天）的关系如图中线段l2所示（不考虑其它因素）．

（1）求原有蓄水量y1（万m3）与时间x（天）的函数关系式，并求当x=20时的水库总蓄水量．

（2）求当0≤x≤60时，水库的总蓄水量y（万m3）与时间x（天）的函数关系式（注明x的范围），若总蓄水量不多于900万m3为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x的范围．

27．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH．

（1）求证：MH为⊙O的切线．

（2）若MH=，tan∠ABC=，求⊙O的半径．

（3）在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．

28．若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1=﹣2x2+4x+2与C2：u2=﹣x2+mx+n为“友好抛物线”．

（1）求抛物线C2的解析式．

（2）点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ+OQ的最大值．

（3）设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为（﹣1，4），问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由．

2016年黑龙江省大庆市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．地球上的海洋面积为361 000 000平方千米，数字361 000 000用科学记数法表示为（　　）

A．36.1×107B．0.361×109C．3.61×108D．3.61×107

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．

【解答】解：361 000 000用科学记数法表示为3.61×108，

故选：C．

【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

2．已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（　　）

A．a•b＞0 B．a+b＜0 C．|a|＜|b| D．a﹣b＞0

【考点】实数与数轴．

【分析】根据点a、b在数轴上的位置可判断出a、b的取值范围，然后即可作出判断．

【解答】解：根据点a、b在数轴上的位置可知1＜a＜2，﹣1＜b＜0，

∴ab＜0，a+b＞0，|a|＞|b|，a﹣b＞0，．

故选：D．

【点评】本题主要考查的是数轴的认识、有理数的加法、减法、乘法法则的应用，掌握法则是解题的关键．

3．下列说法正确的是（　　）

A．对角线互相垂直的四边形是菱形

B．矩形的对角线互相垂直

C．一组对边平行的四边形是平行四边形

D．四边相等的四边形是菱形

【考点】矩形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定．

【分析】直接利用菱形的判定定理、矩形的性质与平行四边形的判定定理求解即可求得答案．

【解答】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；故本选项错误；

B、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直；故本选项错误；

C、两组组对边分别平行的四边形是平行四边形；故本选项错误；

D、四边相等的四边形是菱形；故本选项正确．

故选．

【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定以及平行四边形的判定．注意掌握各特殊平行四边形对角线的性质是解此题的关键．

4．当0＜x＜1时，x2、x、的大小顺序是（　　）

A．x2B．＜x＜x2C．＜x D．x＜x2＜

【考点】不等式的性质．

【分析】先在不等式0＜x＜1的两边都乘上x，再在不等式0＜x＜1的两边都除以x，根据所得结果进行判断即可．

【解答】解：当0＜x＜1时，

在不等式0＜x＜1的两边都乘上x，可得0＜x2＜x，

在不等式0＜x＜1的两边都除以x，可得0＜1＜，

又∵x＜1，

∴x2、x、的大小顺序是：x2＜x＜．

故选（A）

【点评】本题主要考查了不等式，解决问题的根据是掌握不等式的基本性质．不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞．

5．一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（　　）

A． B． C． D．

【考点】列表法与树状图法．

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取到的是一个红球、一个白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：画树状图得：

∵共有20种等可能的结果，取到的是一个红球、一个白球的有12种情况，

∴取到的是一个红球、一个白球的概率为： =．

故选C．

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

6．由若干边长相等的小正方体构成的几何体的主视图、左视图、俯视图如图所示，则构成这个几何体的小正方体有（　　）个．

A．5 B．6 C．7 D．8

【考点】由三视图判断几何体．

【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行三列，故可得出该几何体的小正方体的个数．

【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有2+1+1+1=5个小正方体，

第二层应该有2个小正方体，

因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是5+2=7个．

故选C

【点评】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．

7．下列图形中是中心对称图形的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】中心对称图形．

【分析】根据中心对称图形的概念求解．

【解答】解：第2个、第4个图形是中心对称图形，共2个．

故选B．

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

8．如图，从①∠1=∠2 ②∠C=∠D ③∠A=∠F 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

【考点】命题与定理．

【分析】直接利用平行线的判定与性质分别判断得出各结论的正确性．

【解答】解：如图所示：当①∠1=∠2，

则∠3=∠2，

故DB∥EC，

则∠D=∠4，

当②∠C=∠D，

故∠4=∠C，

则DF∥AC，

可得：∠A=∠F，

即⇒③；

当①∠1=∠2，

则∠3=∠2，

故DB∥EC，

则∠D=∠4，

当③∠A=∠F，

故DF∥AC，

则∠4=∠C，

故可得：∠C=∠D，

即⇒②；

当③∠A=∠F，

故DF∥AC，

则∠4=∠C，

当②∠C=∠D，

则∠4=∠D，

故DB∥EC，

则∠2=∠3，

可得：∠1=∠2，

即⇒①，

故正确的有3个．

故选：D．

【点评】此题主要考查了命题与定理，正确掌握平行线的判定与性质是解题关键．

9．已知A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是反比例函数y=上的三点，若x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，则下列关系式不正确的是（　　）

A．x1•x2＜0 B．x1•x3＜0 C．x2•x3＜0 D．x1+x2＜0

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】根据反比例函数y=和x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，可得点A，B在第三象限，点C在第一象限，得出x1＜x2＜0＜x3，再选择即可．

【解答】解：∵反比例函数y=中，2＞0，

∴在每一象限内，y随x的增大而减小，

∵x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，

∴点A，B在第三象限，点C在第一象限，

∴x1＜x2＜0＜x3，

∴x1•x2＜0，

故选A．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性，本题是逆用，难度有点大．

10．若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（　　）

A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定

【考点】一元二次方程的解．

【分析】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=﹣c，作差法比较可得．

【解答】解：∵x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，

∴ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=﹣c，

则N﹣M=（ax0+1）2﹣（1﹣ac）

=a2x02+2ax0+1﹣1+ac

=a（ax02+2x0）+ac

=﹣ac+ac

=0，

∴M=N，

故选：B．

【点评】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11．函数y=的自变量x的取值范围是　x≥　．

【考点】函数自变量的取值范围．

【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．

【解答】解：由题意得，2x﹣1≥0，

解得x≥．

故答案为：x≥．

【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

12．若am=2，an=8，则am+n=　16　．

【考点】同底数幂的乘法．

【专题】计算题；实数．

【分析】原式利用同底数幂的乘法法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．

【解答】解：∵am=2，an=8，

∴am+n=am•an=16，

故答案为：16

【点评】此题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握乘法法则是解本题的关键．

13．甲乙两人进行飞镖比赛，每人各投5次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为15，乙所得环数如下：0，1，5，9，10，那么成绩较稳定的是　甲　（填“甲”或“乙”）．

【考点】方差．

【分析】计算出乙的平均数和方差后，与甲的方差比较后，可以得出判断．

【解答】解：乙组数据的平均数=（0+1+5+9+10）÷5=5，

乙组数据的方差S2= [（0﹣5）2+（1﹣5）2+（9﹣5）2+（10﹣5）2]=16.4，

∵S2甲＜S2乙，

∴成绩较为稳定的是甲．

故答案为：甲．

【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．

14．如图，在△ABC中，∠A=40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC=　110°　．

【考点】三角形内角和定理．

【分析】由D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点可推出∠DBC+∠DCB=70，再利用三角形内角和定理即可求出∠BDC的度数．

【解答】解：∵D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，

∴有∠CBD=∠ABD=∠ABC，∠BCD=∠ACD=∠ACB，

∴∠ABC+∠ACB=180﹣40=140，

∴∠OBC+∠OCB=70，

∴∠BOC=180﹣70=110°，

故答案为：110°．

【点评】此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题，熟记三角形内角和定理是解决问题的关键．

15．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为　4n﹣3　．

【考点】三角形中位线定理；规律型：图形的变化类．

【分析】结合题意，总结可知，每个图中三角形个数比图形的编号的4倍少3个三角形，即可得出结果．

【解答】解：第①是1个三角形，1=4×1﹣3；

第②是5个三角形，5=4×2﹣3；

第③是9个三角形，9=4×3﹣3；

∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；

故答案为：4n﹣3．

【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．

16．一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为　　海里/小时．

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．

【分析】设该船行驶的速度为x海里/时，由已知可得BC=3x，AQ⊥BC，∠BAQ=60°，∠CAQ=45°，AB=80海里，在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ，再在直角三角形AQC中求出CQ，得出BC=40+40=3x，解方程即可．

【解答】解：如图所示：

设该船行驶的速度为x海里/时，

3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，

由题意得：AB=80海里，BC=3x海里，

在直角三角形ABQ中，∠BAQ=60°，

∴∠B=90°﹣60°=30°，

∴AQ=AB=40，BQ=AQ=40，

在直角三角形AQC中，∠CAQ=45°，

∴CQ=AQ=40，

∴BC=40+40=3x，

解得：x=．

即该船行驶的速度为海里/时；

故答案为：．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键．

17．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=10，一圆弧过点B和点C，且与AD相切，则图中阴影部分面积为　75﹣　．

【考点】扇形面积的计算；矩形的性质；切线的性质．

【分析】设圆的半径为x，根据勾股定理求出x，根据扇形的面积公式、阴影部分面积为：矩形ABCD的面积﹣（扇形BOCE的面积﹣△BOC的面积）进行计算即可．

【解答】解：设圆弧的圆心为O，与AD切于E，

连接OE交BC于F，连接OB、OC，

设圆的半径为x，则OF=x﹣5，

由勾股定理得，OB2=OF2+BF2，

即x2=（x﹣5）2+（5）2，

解得，x=5，

则∠BOF=60°，∠BOC=120°，

则阴影部分面积为：矩形ABCD的面积﹣（扇形BOCE的面积﹣△BOC的面积）

=10×5﹣+×10×5

=75﹣，

故答案为：75﹣．

【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握矩形的性质、切线的性质和扇形的面积公式S=是解题的关键．

18．直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为　（0，4）　．

【考点】二次函数的性质；一次函数的性质．

【专题】推理填空题．

【分析】根据直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，可以联立在一起，得到关于x的一元二次方程，从而可以得到两个之和与两根之积，再根据OA⊥OB，可以求得b的值，从而可以得到直线AB恒过的定点的坐标．

【解答】解：∵直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，

∴kx+b=，

化简，得 x2﹣4kx﹣4b=0，

∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，

又∵OA⊥OB，

∴=，

解得，b=4，

即直线y=kx+4，故直线恒过顶点（0，4），

故答案为：（0，4）．

【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，知道两条直线垂直时，它们解析式中的k的乘积为﹣1．

三、解答题（本大题共10小题，共66分）

19．计算（+1）2﹣π0﹣|1﹣|

【考点】实数的运算；零指数幂．

【分析】直接利用完全平方公式以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简求出答案．

【解答】解：原式=2+2+1﹣1﹣（﹣1）

=2+2﹣+1

=3+．

【点评】此题主要考查了完全平方公式以及零指数幂的性质、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．

20．已知a+b=3，ab=2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】先提取公因式ab，再根据完全平方公式进行二次分解，然后代入数据进行计算即可得解．

【解答】解：a3b+2a2b2+ab3

=ab（a2+2ab+b2）

=ab（a+b）2，

将a+b=3，ab=2代入得，ab（a+b）2=2×32=18．

故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是18．

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

21．关于x的两个不等式①＜1与②1﹣3x＞0

（1）若两个不等式的解集相同，求a的值；

（2）若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围．

【考点】不等式的解集．

【专题】计算题；一元一次不等式(组)及应用．

【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可；

（2）根据不等式①的解都是②的解，求出a的范围即可．

【解答】解：（1）由①得：x＜，

由②得：x＜，

由两个不等式的解集相同，得到=，

解得：a=1；

（2）由不等式①的解都是②的解，得到≤，

解得：a≥1．

【点评】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值利用不等关系求解．

22．某车间计划加工360个零件，由于技术上的改进，提高了工作效率，每天比原计划多加工20%，结果提前10天完成任务，求原计划每天能加工多少个零件？

【考点】分式方程的应用．

【分析】关键描述语为：“提前10天完成任务”；等量关系为：原计划天数=实际生产天数+10．

【解答】解：设原计划每天能加工x个零件，

可得：，

解得：x=6，

经检验x=6是原方程的解，

答：原计划每天能加工6个零件．

【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题需注意应设较小的量为未知数．

23．为了了解某学校初四年纪学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校初四年级m名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图（图一）和扇形统计图（图二）：

（1）根据以上信息回答下列问题：

①求m值．

②求扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数．

③补全条形统计图．

（2）直接写出这组数据的众数、中位数，求出这组数据的平均数．

【考点】众数；扇形统计图；条形统计图；加权平均数；中位数．

【分析】（1）①根据2小时所占扇形的圆心角的度数确定其所占的百分比，然后根据条形统计图中2小时的人数求得m的值；

②求得总人数后减去其他小组的人数即可求得第三小组的人数；

（2）利用众数、中位数的定义及平均数的计算公式确定即可．

【解答】解：（1）①∵课外阅读时间为2小时的所在扇形的圆心角的度数为90°，

∴其所占的百分比为=，

∵课外阅读时间为2小时的有15人，

∴m=15÷=60；

②第三小组的频数为：60﹣10﹣15﹣10﹣5=20，

补全条形统计图为：

（2）∵课外阅读时间为3小时的20人，最多，

∴众数为 3小时；

∵共60人，中位数应该是第30和第31人的平均数，且第30和第31人阅读时间均为3小时，

∴中位数为3小时；

平均数为：≈2.92小时．

【点评】本题考查了众数、中位数、平均数及扇形统计图和条形统计图的知识，解题的关键是能够结合两个统计图并找到进一步解题的有关信息，难度不大．

24．如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E．

（1）求证：AG=CG．

（2）求证：AG2=GE•GF．

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．

【专题】证明题．

【分析】根据菱形的性质得到AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，推出△ADG≌△CDG，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）由全等三角形的性质得到∠EAG=∠DCG，等量代换得到∠EAG=∠F，求得△AEG∽△FGA，即可得到结论．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，

∴∠F∠FCD，

在△ADG与△CDG中，，

∴△ADG≌△CDG，

∴∠EAG=∠DCG，

∴AG=CG；

（2）∵△ADG≌△CDG，

∴∠EAG=∠F，

∵∠AGE=∠AGE，

∴△AEG∽△FGA，

∴，

∴AG2=GE•GF．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．

25．如图，P1、P2是反比例函数y=（k＞0）在第一象限图象上的两点，点A1的坐标为（4，0）．若△P1OA1与△P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点P1、P2为直角顶点．

（1）求反比例函数的解析式．

（2）①求P2的坐标．

②根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y=的函数值．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；等腰直角三角形．

【分析】（1）先根据点A1的坐标为（4，0），△P1OA1为等腰直角三角形，求得P1的坐标，再代入反比例函数求解；（2）先根据△P2A1A2为等腰直角三角形，将P2的坐标设为（4+a，a），并代入反比例函数求得a的值，得到P2的坐标；再根据P1的横坐标和P2的横坐标，判断x的取值范围．

【解答】解：（1）过点P1作P1B⊥x轴，垂足为B

∵点A1的坐标为（4，0），△P1OA1为等腰直角三角形

∴OB=2，P1B=OA1=2

∴P1的坐标为（2，2）

将P1的坐标代入反比例函数y=（k＞0），得k=2×2=4

∴反比例函数的解析式为

（2）①过点P2作P2C⊥x轴，垂足为C

∵△P2A1A2为等腰直角三角形

∴P2C=A1C

设P2C=A1C=a，则P2的坐标为（4+a，a）

将P2的坐标代入反比例函数的解析式为，得

a=，解得a1=，a2=（舍去）

∴P2的坐标为（，）

②在第一象限内，当2＜x＜2+时，一次函数的函数值大于反比例函数的值．

【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决问题的关键是根据等腰直角三角形的性质求得点P1和P2的坐标．等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．

26．由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少，已知原有蓄水量y1（万m3）与干旱持续时间x（天）的关系如图中线段l1所示，针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水，注水量y2（万m3）与时间x（天）的关系如图中线段l2所示（不考虑其它因素）．

（1）求原有蓄水量y1（万m3）与时间x（天）的函数关系式，并求当x=20时的水库总蓄水量．

（2）求当0≤x≤60时，水库的总蓄水量y（万m3）与时间x（天）的函数关系式（注明x的范围），若总蓄水量不多于900万m3为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x的范围．

【考点】一次函数的应用．

【分析】（1）根据两点的坐标求y1（万m3）与时间x（天）的函数关系式，并把x=20代入计算；

（2）分两种情况：①当0≤x≤20时，y=y1，②当20＜x≤60时，y=y1+y2；并计算分段函数中y≤900时对应的x的取值．

【解答】解：（1）设y1=kx+b，

把（0，1200）和（60，0）代入到y1=kx+b得：

解得，

∴y1=﹣20x+1200

当x=20时，y1=﹣20×20+1200=800，

（2）设y2=kx+b，

把（20，0）和（60，1000）代入到y2=kx+b中得：

解得，

∴y2=25x﹣500，

当0≤x≤20时，y=﹣20x+1200，

当20＜x≤60时，y=y1+y2=﹣20x+1200+25x﹣500=5x+700，

y≤900，则5x+700≤900，

x≤40，

当y1=900时，900=﹣20x+1200，

x=15，

∴发生严重干旱时x的范围为：15≤x≤40．

【点评】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握利用待定系数法求一次函数的解析式：设直线解析式为y=kx+b，将直线上两点的坐标代入列二元一次方程组，求解；注意分段函数的实际意义，会观察图象．

27．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH．

（1）求证：MH为⊙O的切线．

（2）若MH=，tan∠ABC=，求⊙O的半径．

（3）在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）连接OH、OM，易证OH是△ABC的中位线，利用中位线的性质可证明△COH≌△MOH，所以∠HCO=∠HMO=90°，从而可知MH是⊙O的切线；

（2）由切线长定理可知：MH=HC，再由点M是AC的中点可知AC=3，由tan∠ABC=，所以BC=4，从而可知⊙O的半径为2；

（3）连接CN，AO，CN与AO相交于I，由AC、AN是⊙O的切线可知AO⊥CN，利用等面积可求出可求得CI的长度，设CE为x，然后利用勾股定理可求得CE的长度，利用垂径定理即可求得NQ．

【解答】解：（1）连接OH、OM，

∵H是AC的中点，O是BC的中点，

∴OH是△ABC的中位线，

∴OH∥AB，

∴∠COH=∠ABC，∠MOH=∠OMB，

又∵OB=OM，

∴∠OMB=∠MBO，

∴∠COH=∠MOH，

在△COH与△MOH中，

，

∴△COH≌△MOH（SAS），

∴∠HCO=∠HMO=90°，

∴MH是⊙O的切线；

（2）∵MH、AC是⊙O的切线，

∴HC=MH=，

∴AC=2HC=3，

∵tan∠ABC=，

∴=，

∴BC=4，

∴⊙O的半径为2；

（3）连接OA、CN、ON，OA与CN相交于点I，

∵AC与AN都是⊙O的切线，

∴AC=AN，AO平分∠CAD，

∴AO⊥CN，

∵AC=3，OC=2，

∴由勾股定理可求得：AO=，

∵AC•OC=AO•CI，

∴CI=，

∴由垂径定理可求得：CN=，

设OE=x，

由勾股定理可得：CN2﹣CE2=ON2﹣OE2，

∴﹣（2+x）2=4﹣x2，

∴x=，

∴CE=，

由勾股定理可求得：EN=，

∴由垂径定理可知：NQ=2EN=．

【点评】本题考查圆的综合问题，涉及垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，切线的判等知识内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．

28．若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1=﹣2x2+4x+2与C2：u2=﹣x2+mx+n为“友好抛物线”．

（1）求抛物线C2的解析式．

（2）点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ+OQ的最大值．

（3）设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为（﹣1，4），问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）先求得y1顶点坐标，然后依据两个抛物线的顶点坐标相同可求得m、n的值；

（2）设A（a，﹣a2+2a+3）．则OQ=x，AQ=﹣a2+2a+3，然后得到OQ+AQ与a的函数关系式，最后依据配方法可求得OQ+AQ的最值；

（3）连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D．接下来证明△BCM≌△MDB′，由全等三角形的性质得到BC=MD，CM=B′D，设点M的坐标为（1，a）．则用含a的式子可表示出点B′的坐标，将点B′的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而得到点M的坐标．

【解答】解：（1）∵y1=﹣2x2+4x+2=﹣﹣2（x﹣1）2+4，

∴抛物线C1的顶点坐标为（1，4）．

∵抛物线C1：与C2顶点相同，

∴=1，﹣1+m+n=4．

解得：m=2，n=3．

∴抛物线C2的解析式为u2=﹣x2+2x+3．

（2）如图1所示：

设点A的坐标为（a，﹣a2+2a+3）．

∵AQ=﹣a2+2a+3，OQ=a，

∴AQ+OQ=﹣a2+2a+3+a=﹣a2+3a+3=﹣（a﹣）2+．

∴当a=时，AQ+OQ有最大值，最大值为．

（3）如图2所示；连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D．

∵B（﹣1，4），C（1，4），抛物线的对称轴为x=1，

∴BC⊥CM，BC=2．

∵∠BMB′=90°，

∴∠BMC+∠B′MD=90°．

∵B′D⊥MC，

∴∠MB′D+∠B′MD=90°．

∴∠MB′D=∠BMC．

在△BCM和△MDB′中，，

∴△BCM≌△MDB′．

∴BC=MD，CM=B′D．

设点M的坐标为（1，a）．则B′D=CM=4﹣a，MD=CB=2．

∴点B′的坐标为（a﹣3，a﹣2）．

∴﹣（a﹣3）2+2（a﹣3）+3=a﹣2．

整理得：a2﹣7a﹣10=0．

解得a=2，或a=5．

当a=2时，M的坐标为（1，2），

当a=5时，M的坐标为（1，5）．

综上所述当点M的坐标为（1，2）或（1，5）时，B′恰好落在抛物线C2上．

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的顶点坐标公式、二次函数的图象和性质、全等三角形的性质和判定、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，用含a的式子表示点B′的坐标是解题的关键．

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