2013年全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数

一、选择题

．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））已知,则

A. B. C. D.

【答案】C

．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定

【答案】B

．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC中,则= (A) (B) (C) (D)

【答案】C

．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为

(A) (B) (C)0 (D)

【答案】B

．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））在,内角所对的边长分别为且,则

A. B. C. D.

【答案】A

．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知函数,下列结论中错误的是

(A)的图像关于中心对称 (B)的图像关于直线对称

(C)的最大值为 (D)既奇函数,又是周期函数

【答案】C

．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））函数的图象大致为

【答案】D

．（2013年高考四川卷（理））函数的部分图象如图所示,则的值分别是( )

(A) (B) (C) (D)

【答案】A

．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）既是偶函数又在区间上单调递减的函数是( )

(A) (B) (C) (D)

【答案】B

．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）） ( )

A. B. C. D.【答案】C ．（2013年高考湖南卷（理））在锐角中,角所对的边长分别为.若

A. B. C. D.

【答案】D

．（2013年高考湖北卷（理））将函数的图像向左平移个长度单位后,所得到的图像关于轴对称,则的最小值是( )

A. B. C. D.

【答案】B

二、填空题

．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））中, ,是的中点,若,则________.

【答案】

．（2013年高考新课标1（理））设当时,函数取得最大值,则______

【答案】.

．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））如图中,已知点D在BC边上,ADAC,则的长为_______________

【答案】

．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数的最小正周期是_____________

【答案】

．（2013年高考四川卷（理））设, ,则的值是_________.

【答案】

．（2013年高考上海卷（理））若,则

【答案】.

．（2013年高考上海卷（理））已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c,若,则角C的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)

【答案】

．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知是第三象限角, ,则____________.

【答案】

．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））函数的最小正周期为___________.

【答案】

．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在中,角所对边长分别为,若,则_______

【答案】7

．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设的内角所对边的长分别为.若,则则角_____.

【答案】

．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））设为第二象限角,若,则________.

【答案】

．（2013年高考江西卷（理））函数的最小正周期为为_________.

【答案】

．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数的最大值是_______________

【答案】5

三、解答题

．（2013年高考北京卷（理））在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A.

()求cosA的值; ()求c的值.

【答案】解:()因为a=3,b=2,∠B=2∠A. 所以在△ABC中,由正弦定理得.所以.故. ()由()知,所以.又因为∠B=2∠A,所以.所以. 在△ABC中,. 所以.

．（2013年高考陕西卷（理））已知向量, 设函数. (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值.

【答案】解:(Ⅰ) =. 最小正周期. 所以最小正周期为. (Ⅱ).. 所以,f (x) 在上的最大值和最小值分别为.

．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在中,内角的对边分别是,且.

(1)求; (2)设,求的值.

【答案】 由题意得

．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知函数.

(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期;

(Ⅱ) 求f(x)在区间上的最大值和最小值.

【答案】

．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））设向量

()若 ()设函数

【答案】

．（2013年高考上海卷（理））(6分+8分)已知函数,其中常数;

(1)若在上单调递增,求的取值范围;

(2)令,将函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图像,区间(且)满足:在上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的中,求的最小值.

【答案】(1)因为,根据题意有(2),或, 即的零点相离间隔依次为和, 故若在上至少含有30个零点,则的最小值为. ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））设的内角的对边分别为,.

()求

()若,求.

【答案】 ．（2013年高考四川卷（理））在中,角的对边分别为,且.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)若, ,求向量在方向上的投影.

【答案】解:由,得, 即, 则,即 由,得, 由正弦定理,有,所以,. 由题知,则,故. 根据余弦定理,有, 解得或(舍去). 故向量在方向上的投影为

．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设△的内角所对的边分别为,且, ,.

(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值.

【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理,得, 又, , ,所以,解得,. (Ⅱ)在△中, , 由正弦定理得, 因为,所以为锐角,所以因此 .

．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））已知函数的最小正周期为.

(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)讨论在区间上的单调性.

【答案】解: (Ⅰ) .所以(Ⅱ)所以

．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知函数的周期为,图像的一个对称中心为,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.

(1)求函数与的解析式;

(2)是否存在,使得按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定的个数;若不存在,说明理由.

(3)求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点.

【答案】解:(Ⅰ)由函数的周期为, ,得又曲线的一个对称中心为, 故,得,所以将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象,再将的图象向右平移个单位长度后得到函数(Ⅱ)当时, , 所以问题转化为方程在内是否有解 设, 则因为,所以,在内单调递增 又, 且函数的图象连续不断,故可知函数在内存在唯一零点, 即存在唯一的满足题意 (Ⅲ)依题意, ,令当,即时, ,从而不是方程的解,所以方程等价于关于的方程, 现研究时方程解的情况 令, 则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况,令,得或当变化时,和变化情况如下表

当且趋近于时,趋向于当且趋近于时,趋向于当且趋近于时,趋向于当且趋近于时,趋向于故当时,直线与曲线在内有无交点,在内有个交点; 当时,直线与曲线在内有个交点,在内无交点; 当时,直线与曲线在内有个交点,在内有个交点 由函数的周期性,可知当时,直线与曲线在内总有偶数个交点,从而不存在正整数,使得直线与曲线在内恰有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,由周期性, ,所以综上,当,时,函数在内恰有个零点

．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分14分.已知,.

(1)若,求证:;(2)设,若,求的值.

【答案】解:(1)∵ ∴ 即, 又∵,∴∴∴(2)∵ ∴即 两边分别平方再相加得: ∴ ∴ ∵∴

．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））已知函数,.

(Ⅰ) 求的值; (Ⅱ) 若, ,求.

【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)因为, ,所以, 所以, 所以.

．（2013年高考湖南卷（理））已知函数.

()若是第一象限角,且.求的值;

()求使成立的x的取值集合.

【答案】解: (). ()

．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现有甲.乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量, ,.

(1)求索道的长;

(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?

【答案】解:(1)∵, ∴∴, ∴根据得(2)设乙出发t分钟后,甲.乙距离为d,则∴∵即∴时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由正弦定理得(m) 乙从B出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V,则∴∴∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在范围内 法二:解:(1)如图作BD⊥CA于点D, 设BD=20k,则DC=25k,AD=48k, AB=52k,由AC=63k=1260m, 知:AB=52k=1040m. (2)设乙出发x分钟后到达点M, 此时甲到达N点,如图所示. 则:AM=130x,AN=50(x+2), 由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2 AM·ANcosA=7400 x2-14000 x+10000, 其中0≤x≤8,当x= (min)时,MN最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由(1)知:BC=500m,甲到C用时: = (min). 若甲等乙3分钟,则乙到C用时: +3= (min),在BC上用时: (min) . 此时乙的速度最小,且为:500÷=m/min. 若乙等甲3分钟,则乙到C用时: -3= (min),在BC上用时: (min) . 此时乙的速度最大,且为:500÷=m/min. 故乙步行的速度应控制在[,]范围内.

．（2013年高考湖北卷（理））在中,角, ,对应的边分别是, ,.已知.

()求角的大小;

()若的面积, ,求的值.

【答案】解:()由已知条件得: ,解得,角() ,由余弦定理得:,

．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））△在内角的对边分别为,已知.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,求△面积的最大值.

【答案】

．（2013年高考新课标1（理））如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°

(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA

【答案】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=,∴∠PBA=30o,在△PBA中,由余弦定理得==,∴PA=; (Ⅱ)设∠PBA=,由已知得,PB=,在△PBA中,由正弦定理得,,化简得,, ∴=,∴=.

．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第一小题满分4分,第二小题满分9分.在平面直角坐标系中,点在轴正半轴上,点在轴上,其横坐标为,且 是首项为1、公比为2的等比数列,记,.

(1)若,求点的坐标;

(2)若点的坐标为,求的最大值及相应的值.

[解](1)

(2)

【答案】[解](1)设,根据题意,.由,知, 而, 所以,解得或. 故点的坐标为或. (2)由题意,点的坐标为,.. 因为,所以, 当且仅当,即时等号成立. 易知在上为增函数, 因此,当时,最大,其最大值为.

．（2013年高考江西卷（理））在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0.

(1) 求角B的大小;若a+c=1,求b的取值范围

【答案】解:(1)由已知得 即有 因为,所以,又,所以, 又,所以. (2)由余弦定理,有. 因为,有. 又,于是有,即有.

2013年全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数 Word版含答案