高三数学诊断性试题(文科)

注意事项：

1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．

2．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B铅笔．要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效．

3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．

1．复数在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2.已知命题,使 命题,都有 给出下列结论：

① 命题“”是真命题 ② 命题“”是假命题

③ 命题“”是真命题 ④ 命题“”是假命题

其中正确的是

A．① ② ③ B．③ ④ C．② ④ D．② ③

3．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题正确的是

A. B. C. D.

4．右图的程序框图输出结果S等于

A. 20 B. 35 C. 40 D. 45

5．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A. B. C. 1 D. 2

6.设等差数列的前项和为、是方程的两个根，则等于

A. B.5 C. D.-5

7. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是

A． B． C． D．

8．甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛得分的茎叶图如图

所示，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是

A．66 B．65 C．64 D．63

9.若△的三个内角满足，则△

A.一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形，也可能是直锐角三角形，也可能是钝__________________________________________________________________________________________________________________角三角形

10．从集合{1，2，3，4，5}中随机抽取一个数为，从集合{1，2，3}中随机抽取一个数为，则的概率是

A． B． C． D．

11．把函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是

A． B． C． D．

12．定义在上的奇函数对任意都有，当 时，，则的值为

A． B． C．2 D．

二、填空题.本大题共有4个小题，每小题4分，共16分.

把正确答案填在答题卡的相应位置.

13．某个容量为100的样本的频率分布直方图如图所示，则数据在区间上的频数是

14.设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为

15.已知圆的圆心在直线上,其中，则的最小值是

16.已知向量,，若函数在区间上存在增区间，则的取值范围为

三、解答题.本大题共6个小题，共74分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.

17. （本小题满分12分）

已知函数．

（1）求函数的最小正周期和值域；

（2）若为第二象限角，且，求的值．

18. （本小题满分12分）

已知数列满足，.

⑴求证：数列是等比数列，并写出数列的通项公式；

⑵若数列满足,求的值.

19.（本小题满分12分）

某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为，其中为标准，为标准，产品的等级系数越大表明产品的质量越好. 已知某厂执行标准生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准．从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：

3 5 3 3 8 5 5 6 3 4

6 3 4 7 5 3 4 8 5 3

8 3 4 3 4 4 7 5 6 7

该行业规定产品的等级系数的为一等品，等级系数的为二等品，等级系数的为三等品．

（1）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；

（2）从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽得2件产品等级系数都是8的概率．

20. （本小题满分12分）

如图所示，四棱锥中，为正方形， ，分别是线段的中点. 求证：

（1）//平面 ；

（2）平面⊥平面.

21．（本小题满分12分）

定义在上的函数同时满足以下条件：

① 在上是减函数，在上是增函数； ② 是偶函数；

③ 在处的切线与直线垂直.

（1）求函数的解析式；

（2）设，若存在，使，求实数的取值范围.

22．（本小题满分14分）

给定椭圆：. 称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”. 若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.

（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；

（2）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线，使得与椭圆都只有一个交点，试判断是否垂直？并说明理由.

高三数学诊断性试题(文科)答案

一、 选择题: BDBAC AADCD DA

二、 填空题: 13. 30 14. 10 15. 16.

三、解答题

17.解：（1）因为 ，…3分

所以函数的周期为，值域为． ………………5分

（2）因为 ，所以 ，即．…6分

因为 ………………8分

， ……10分

因为为第二象限角， 所以 ． ………………11分

所以 ． …………………12分

18.证明：（1），，

又，∴≠0，≠0，∴，

∴数列是首项为2，公比为2的等比数列.

，因此． 　　　…………………6分

（2）∵，∴，

∴， 即. ………………9分

∴

. ……………12分

19. 解：（1）由样本数据知，30件产品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件. …………3分

∴样本中一等品的频率为，

故估计该厂生产的产品的一等品率为, ………4分

二等品的频率为，故估计该厂产品的二等品率为, …5分

三等品的频率为，故估计该厂产品的三等品率为．…6分

（2）样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的也有3件， ……………………7分

记等级系数为7的3件产品分别为、、，等级系数为8的3件产品分别为、、,则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为： ,,，，，,, ,,，,,, 共15种， …………10分

记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数都是8”为事件，

则包含的基本事件有 共3种， ………11分

故所求的概率. ……………………12分20．（1）证明：分别是线段的中点， …2分

又∵为正方形，，

……4分

又平面，平面，

∴//平面. ………6分

（2）证明：∵,又,

∴⊥. ………8分

又为正方形，∴,

又,∴⊥平面, …10分

又平面，∴平面⊥平面. ………12分

21. 解：（1），

∵ 在上是减函数，在上是增函数，

∴， () ……………………1分

由是偶函数得：， …………………2分

又在处的切线与直线垂直，， ……………………3分

代入()得：即. …………………4分

（2）由已知得：若存在，使，即存在，使.

设，

则， …………………6分

令＝0，∵，∴， …………………7分

当时，，∴在上为减函数，

当时，，∴在上为增函数，

∴在上有最大值. ……………………9分

又，∴最小值为. … 11分

于是有为所求. ……………………12分

22. 解：（1），

椭圆方程为， ………… 4分

准圆方程为. ……………………5分

（2）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，

因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为，

当方程为时，此时与准圆交于点，

此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是（或），即为（或），显然直线垂直；

同理可证方程为时，直线也垂直. ………………8分

②当都有斜率时，设点，其中.

设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，

则由消去，得

. ………10分

由化简整理得：.

因为，所以有 . …11分

设的斜率分别为，因为与椭圆只有一个公共点，

所以满足上述方程，

所以，即垂直. …………………13分

综合①②知垂直. ……………………14分

山东省烟台市2012届高三3月诊断性测试 文科数学试题（2012烟台一模）