培优点二十 带电粒子在匀强磁场中运动

1. 本知识点是高考的重点，近几年主要是结合几何知识考查带电粒子在有界匀强磁场及复合场、组合场中的运动。

2. 注意“运动语言”与“几何语言”间的翻译，如：速度对应圆周半径；时间对应圆心角或弧长或弦长等。

典例1. (2018全国I卷25)如图，在y>0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E，在y<0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场。一个氕核word/media/image2_1.png和一个氘核word/media/image3_1.png先后从y轴上y = h点以相同的动能射出，速度方向沿x轴正方向。已知word/media/image4_1.png进入磁场时，速度方向与x轴正方向的夹角为60°，并从坐标原点O处第一次射出磁场。word/media/image5_1.png的质量为m，电荷量为q，不计重力。求：

(1)word/media/image6_1.png第一次进入磁场的位置到原点O的距离；

(2)磁场的磁感应强度大小；

(3)word/media/image7_1.png第一次离开磁场的位置到原点O的距离。

【解析】 (1)word/media/image9_1.png在电场中做类平抛运动，在磁场中做圆周运动，运动轨迹如图所示。设word/media/image10_1.png在电场中的加速度大小为a1，初速度大小为v1，它在电场中的运动时间为t1，第一次进入磁场的位置到原点O的距离为s1。由运动学公式有

word/media/image11_1.png ① word/media/image12_1.png ②

由题给条件，word/media/image13_1.png进入磁场时速度的方向与x轴正方向夹角word/media/image14_1.png。word/media/image15_1.png进入磁场时速度y分量的大小为word/media/image16_1.png ③

联立以上各式得word/media/image17_1.png ④

(2)word/media/image18_1.png在电场中运动时，由牛顿第二定律有word/media/image19_1.png ⑤

设word/media/image20_1.png进入磁场时速度的大小为word/media/image21_1.png，由速度合成法则有word/media/image22_1.png ⑥

设磁感应强度大小为B，word/media/image23_1.png在磁场中运动的圆轨道半径为R1，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有

word/media/image24_1.png ⑦

由几何关系得word/media/image25_1.png ⑧

联立以上各式得word/media/image26_1.png ⑨

(3)设word/media/image27_1.png在电场中沿x轴正方向射出的速度大小为v2，在电场中的加速度大小为a2，由题给条件得word/media/image28_1.png ⑩

由牛顿第二定律有word/media/image29_1.png ⑪

设word/media/image30_1.png第一次射入磁场时的速度大小为word/media/image31_1.png，速度的方向与x轴正方向夹角为θ2，入射点到原点的距离为s2，在电场中运动的时间为t2。由运动学公式有

word/media/image32_1.png⑫ word/media/image33_1.png⑬ word/media/image34_1.png⑭ word/media/image35_1.png⑮

联立以上各式得word/media/image36_1.png，word/media/image37_1.png，word/media/image38_1.png⑯

设word/media/image39_1.png在磁场中做圆周运动的半径为R2，由⑦⑯式及粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径公式得

word/media/image40_1.png ⑰

所以出射点在原点左侧。设word/media/image41_1.png进入磁场的入射点到第一次离开磁场的出射点的距离为word/media/image42_1.png，由几何关系有word/media/image43_1.png ⑱

联立④⑧⑯⑰⑱式得，word/media/image44_1.png第一次离开磁场时得位置到原点O的距离为word/media/image45_1.png⑲

1．(多选)如图所示，正方形abcd区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，甲、乙两带电粒子从a点沿与ab成30°角的方向垂直射入磁场。甲粒子垂直于bc边离开磁场，乙粒子从ad边的中点离开磁场。已知甲、乙两带电粒子的电荷量之比为1 : 2，质量之比为1 : 2，不计粒子重力。 以下判断正确的是( )

A．甲粒子带负电，乙粒子带正电

B．甲粒子的动能是乙粒子动能的16倍

C．甲粒子所受洛伦兹力是乙粒子所受洛伦兹力的word/media/image47_1.png倍

D．甲粒子在磁场中的运动时间是乙粒子在磁场中运动时间的word/media/image48_1.png倍

【答案】CD

2. (多选)如图，一个质量为m、带电量为+q的圆环，可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑动，细杆处于磁感应强度为B的匀强磁场中。现给圆环一个水平向右的初速度v0，在以后的运动中下列说法正确的是( )

A. 圆环可能做匀减速运动

B. 圆环可能做匀速直线运动

C. 圆环克服摩擦力所做的功可能为word/media/image50_1.png

D. 圆环克服摩擦力所做的功不可能为word/media/image51_1.png

【答案】BC

3．如图所示，在直角坐标系xOy的第一象限中有两个全等的直角三角形区域Ⅰ和Ⅱ，充满了方向均垂直纸面向里的匀强磁场，区域Ⅰ的磁感应强度大小为B0，区域Ⅱ的磁感应强度大小可调，C点坐标为（4L，3L），M点为OC的中点。质量为m带电量为-q的粒子从C点以平行于y轴方向射入磁场Ⅱ中，速度大小为word/media/image53_1.png，不计粒子所受重力，粒子运动轨迹与磁场区域相切时认为粒子能再次进入磁场。

(1)若粒子无法进入区域Ⅰ中，求区域Ⅱ磁感应强度大小范围；

(2)若粒子恰好不能从AC边射出，求区域Ⅱ磁感应强度大小。

【解析】(1)粒子速度越大，半径越大，当运动轨迹恰好与x轴相切时，恰好不能进入Ⅰ区域。

故粒子运动半径word/media/image54_1.png

粒子运动半径满足：word/media/image55_1.png

联立解得：word/media/image56_1.png。

(2)粒子在区域Ⅰ中的运动半径word/media/image57_1.png

若粒子在区域Ⅱ中的运动半径R较小，则粒子会从AC边射出磁场。恰好不从AC边射出时满足∠O2O1Q = 2θ

word/media/image59_1.png

又word/media/image60_1.png，word/media/image61_1.png

联立解得：word/media/image62_1.png。

4．如图所示，虚线OL与y轴的夹角θ = 45°，在OL上侧有平行于OL向下的匀强电场，在OL下侧有垂直纸面向外的匀强磁场，一质量为m、电荷量q(q > 0)的粒子以速率v0从y轴上的M(OM = d)点垂直于y轴射入匀强电场，该粒子恰好能够垂直于OL进入匀强磁场，不计粒子重力。

(1)求此电场的场强大小E；

(2)若粒子能在OL与x轴所围区间内返回到虚线OL上，求粒子从M点出发到第二次经过OL所需要的最长时间。

【解析】(1)粒子在电场中运动，只受电场力作用：word/media/image64_1.png，word/media/image65_1.png

沿垂直电场线方向X和电场线方向Y建立坐标系，则在X方向位移关系有：

dsin θ = v0cos θ∙t

该粒子恰好能够垂直于OL进入匀强磁场，所以在Y方向上，速度关系有：word/media/image67_1.png

联立解得：word/media/image68_1.png

(2)根据(1)可知粒子在电场中运动的时间word/media/image69_1.png

粒子在磁场中只受洛伦兹力的作用，在洛伦兹力作用下做圆周运动，设圆周运动的周期为T。粒子能在OL与x轴所围区间内返回到虚线OL上，则粒子从M点出发到第二次经过OL在磁场中运动了半个圆周，所以，在磁场中运动时间为word/media/image70_1.png

粒子在磁场中运动，洛伦兹力作为向心力，所以有word/media/image71_1.png

根据(1)可知，粒子恰好能够垂直于OL进入匀强磁场，速度v就是初速度v0在X方向上的分量，即word/media/image72_1.png

粒子在电场中运动，在Y方向上的位移word/media/image73_1.png

所以，粒子进入磁场的位置在OL上距离O点word/media/image74_1.png

粒子能在磁场中返回OL，则：word/media/image75_1.png，即word/media/image76_1.png

所以word/media/image77_1.png

所以，粒子从M点出发到第二次经过OL所需要的最长时间word/media/image78_1.png。

5．如图，以竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系，该真空中存在方向沿x轴正向、场强为E的匀强电场和方向垂直xOy平面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，原点O处的离子源连续不断地发射速度大小和方向一定、质量为m、电荷量为-q（q > 0）的粒子束，粒子恰能在xOy平面内做直线运动，重力加速度为g，不计粒子间的相互作用。

(1)求粒子运动到距x轴为h时所用的时间；

(2)若在粒子束运动过程中，突然将电场变为竖直向下、场强大小变为word/media/image80_1.png，求从O点射出的所有粒子第一次打在x轴上的坐标范围（不考虑电场变化产生的影响）；

(3)若保持E、B初始状态不变，仅将粒子束的初速度变为原来的2倍，求运动过程中，粒子速度大小等于原来初速度的点所在直线方程。

【解析】(1)粒子恰能在xOy平面内做直线运动，则粒子在垂直速度方向上所受合外力一定为零，又有电场力和重力为恒力，其在垂直速度方向上的分量不变，而要保证该方向上合外力为零，则洛伦兹力大小不变，因为洛伦兹力word/media/image81_1.png，所以受到大小不变，即粒子做匀速直线运动，重力、电场力和磁场力三个力的合力为零。

设重力与电场力合力与-y轴夹角为θ，粒子受力如图所示，则：

word/media/image83_1.png，word/media/image84_1.png

则v在y方向上分量大小word/media/image85_1.png

因为粒子做匀速直线运动，根据运动的分解可得，粒子运动到距x轴为h处所用的时间

word/media/image86_1.png。

(2)若在粒子束运动过程中，突然将电场变为竖直向下，电场强度大小变为word/media/image87_1.png，则电场力word/media/image88_1.png，电场力方向竖直向上。

所以粒子所受合外力就是洛伦兹力，则有，洛伦兹力充当向心力，即：word/media/image89_1.png

所以word/media/image90_1.png

如图所示，由几何关系可知，当粒子在O点就改变电场时，第一次打在x轴上的横坐标最小：

word/media/image92_1.png

当改变电场时粒子所在处与粒子第一次打在x轴上的位置之间的距离为2r时，第一次打在x轴上的横坐标最大：

word/media/image93_1.png

所以从O点射出的所有粒子第一次打在x轴上的坐标范围为word/media/image94_1.png。

(3)粒子束的初速度变为原来的2倍，则粒子不能做匀速直线运动，粒子必发生偏转，而洛伦兹力不做功，电场力和重力对粒子所做的总功必不为零

那么设离子运动到位置坐标（x，y）满足速率word/media/image95_1.png，则根据动能定理有：word/media/image96_1.png

所以word/media/image97_1.png。

6. 如图所示，xOy平面内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B = 0.1 T，在原点O有一粒子源，它可以在xOy平面内向各个方向发射出质量m = 6.4×10-27 kg、电荷量q = 3.2×10-19 C、速度v = 1.0×106 m/s的带正电的粒子。一感光薄板平行于x轴放置，其中点O′的坐标为(0，a)，且满足a >0。不考虑粒子的重力以及粒子之间的相互作用，结果保留三位有效数字。

(1)若薄板足够长，且a = 0.2 m，求感光板下表面被粒子击中的长度；

(2)若薄板长l = 0.32 m，为使感光板下表面全部被粒子击中，求a的最大值；

(3)若薄板长l = 0.32 m，a = 0.12 m，要使感光板上表面全部被粒子击中，粒子的速度至少为多少?

【解析】(1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。有：word/media/image99_1.png

解得：r = 0.2 m

如图1，沿y轴正向发射的粒子击中薄板的最左端D点，有x1= r = 0.2 m

而击中簿板的最右端的粒子恰好运动了半个圆周，由几何关系word/media/image100_1.png= 0.346 m

所以，感光板下表面被粒子击中的长度L = 0.546 m。

(2)如图2，粒子恰能击中薄板的最左端D点，由几何关系word/media/image103_1.png

解得：word/media/image104_1.png

如图3，若粒子恰能击中薄板的最右端E点，由几何关系word/media/image105_1.png> 0.320 m

综上可得，为使感光板下表面全部被粒子击中，a的最大值：word/media/image106_1.png

(3)如图4，粒子恰能沿水平方向击中薄板最右端的E点，由几何关系

word/media/image107_1.png，word/media/image108_1.png

如图5，恰能击中薄板最右端的D点，由几何关系word/media/image109_1.png

综上可得，要使感光板上表面被击中，必须满足word/media/image111_1.png

而word/media/image112_1.png

解得粒子的速度word/media/image113_1.png。

（最新）2019届高考物理 专题二十 带电粒子在匀强磁场中运动精准培优专练