《高等几何》课程论文

数学与计算机科学学院

06020105

王晓英

2004．12．30

以高等几何为例谈大学数学学习

[摘 要] 以高等几何的学习为例，论述了大学数学的难度及数学学习的重要性，总结了数学学习的一些方法，包括培养兴趣，如何读书，多反思，学会推广等，以及数学本身对个人创新思维和逻辑思维的培养。

[关键字] 高等几何 数学学习 兴趣 方法

数学是什么？在不同的时代人们对这一问题的回答各有不同，中学数学大纲中有一个定义：数学是研究空间形式（几何学）和数量关系（代数学）的科学。而到了大学，更多的是接触分析学——沟通形与数且涉及极限运算的部分。如今，数学的应用触角，已经直接或间接地伸及到了人类社会生活的几乎一切领域。数学的重要性不言自明。

一．问题的提出

刚进校的大学生首先要接受的既是基础数学教育，然而无论是数学专业的学生还是非数学专业的学生，都存在着数学学习方面的误区和困难。越来越多的学生对数学学习的压力不是来自数学本身，而是来自考试的压力，这必然会导致很多学生不可能对数学产生感情，而是生搬硬套，甚至用死记硬背来应付数学考试，对数学理解肤浅，以致丢掉了数学的灵魂。因此，面对难度较大的大学数学，如何更好地学习和掌握这一学科显得尤为重要。

二、问题的解决

1、培养对数学的审美感，提高数学学习的兴趣

任何学科都具有独特的审美视角。罗素说过：“数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且也具有至高的美。”数学的美不同于音乐、美术的形象化的感性的美，她是抽象化的理性的，不易被感知的，所以，需要欣赏者具备一定的数学素养，即对数学有一定基础的了解和认识。简单来说，数学具有简洁美、对称美、和谐美、奇异美、统一美等。如：在射影平面内，根据平面对偶运算构成的对偶图形就具有对称美，其中以完全四点形与完全四线形这一对对偶图形最为典型。通过对对偶原则的深入了解可以知道一个命题的对偶命题，可以使得点几何问题和线几何问题相互转化，起到事半功倍的作用。另外还有古老而著名的Desargues定理及

由此得到的Desargues构图（右图）

图中的每个点和每条直线的地位都

是平等的。所谓平等，是指可以把

图中的任一个点作为Desargues点，

在图中可以找到一对透视的对应三

点形和一条透视轴 。通过预先设计、思考后作出的这张图，充分体现了数学的和谐美。再如：Maclaurin定理，把二阶曲线与二级曲线统一了起来。其实，数学的美俯拾皆是，关键是要有发现美的眼睛，而只有感受到了数学的美，才找到了数学的灵魂，才会对数学产生兴趣，而兴趣则是最好的老师。

2、在有兴趣的基础上解读数学教科书

“读书百遍，其义自现。”数学学习同样需要读书，当然首先要学会读教材，其实，教科书的每一章节就是一篇逻辑严谨的说明文。进入大学以后，数学的课本学习和初等数学的学习有很大的不同，其中最突出的一点是：高等数学的内容多，涉及面深而广，更为抽象，系统，虽源于现实，但却超越了现实，从而进入了一个全新的领域。像高维空间，弯曲空间都是以二、三维欧氏空间为模型，是在三维空间（生存空间）上抽象而来的。初接触这些概念的时候总会感觉很生疏，因为在实际生活中很难找到它所对应的载体。要缓解这种情况，只有靠多读书，多领悟，充分发挥我们的几何想象力，要把每一个知识点放到整本书中去看，联系前后的知识点加以思考，这样便于摸清整个知识系统的的脉络。

例如：在读到F.Klein变换群观点时，他认为每一种几何都是又一种变换群所刻画，射影几何学（射影变换群）→仿射几何学（仿射变换群）→欧氏几何学（正交变换群），箭头所指后者是前者的子几何，子几何学研究的内容比原几何学丰富。而射影几何学具有最大的变换群，因而拥有最少的内容，欧氏几何学却具有最多的内容。初看这些结论似乎和我们平常的思维有些反常，而且抽象的概念一时又难于理解，但是通过对教科书那一整章节的阅读，了解了不变性和不变量以后就不难理解了。

3、在平时读书时多反思，作业时寻求一题多解，从而提高数学的思维能力。

“问题是数学的心脏”，善于发现问题，解决问题才是真正地学习数学的目的。所谓反思，即是从一个新的角度，多层次，多角度地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析和思考。通过反思，可以深化对问题的理解，优化思维过程，揭示问题本质，探索一般规律，从而产生新的发现。一般，教师在教学时会注意到我们学生在这方面的培养，比如：教师要求学生积极地发现作业、试卷乃至课本上的错误，并通过思考后提出改正方案；作业时要求学生尽可能地寻找多种方法加以解决。这样就不致盲目依赖书本，从而培养独立思考的习惯，发挥我们的主观能动性与创造性。

以蝴蝶定理的证明为例：

在没有学习高等几何以前，把

它看成是一个平面几何题。（右图）

我们思考，可以用综合法证明，只

用到圆与三角形全等的基础知识就

可以给出完整的证明。此外，还有

面积证法、三角证法、解析几何证法等等。在学习了射影几何后，利用同弧上的圆周角相等、四直线交比的三角函数表示和交比为射影不变量的性质有：（AG，OB）=（AO，HB），再利用交比的初等几何表示即可给出简单的证明。

二维情形，另外还有一些文献曾用射影几何的理论研究过。通过对蝴蝶定理一些证法的总结，把所学的知识联系起来，就可以更系统地了解这一著名的平面几何题了。

4、在掌握了坚实的基础知识后，发挥想象力，注意培养自己的逻辑思维和创新思维。

数学的高度抽象性和数学问题的解决过程是有利于培养创新思维的能力的。通过多年的数学学习，我们学会了数学的许多特殊的思想方法，比如：由特殊到一般，由有限到无限，归纳法，倒推法（演绎法），类比法等，其本质都是创造性的思维方法。比如：由平面几何类比发展了空间解析几何，而随着微积分的创立和解析几何的发展，微分几何的历史也就开始了。可见创新思维对于数学的发展起着逻辑思维不可替代的作用。比如在看到射影平面上的Desargues定理时，书上只给出了同一平面内的情形，但又不可能在平面内得到证明，于是我们又想到了两个三点形不在同一平面上的情形，并可以得到证明。下面还是以蝴蝶定理为例来详细谈谈一些思路的推广。

首先，蝴蝶定理的直接条件中包含有：一个圆、二弦。另外还有一个隐含的条件：在二维平面上。然后我们想，在椭圆中会是什么样一种状况呢，此时，平面几何的证法已经无能为力，解析几何证法的优越性凸现，事实上，在椭圆中确实也有类似的结论，更有推广到任一条非退化的二次曲线中的情形。而由二弦我们也容易想到多弦的问题，比如，在圆中拓广可成“三翅蝴蝶问题”。但是以上都是在二维平面上的推广情形，说到这，我们就不自觉的要去想三维空间乃至实n维欧氏空间Eⁿ中的二次超曲面的情形，虽然我们是往那一方面思考了，但离问题的解决还有很大的一段距离，具体定理及证明可以参考有关高维蝴蝶定理的一些资料。另外像Menelaus定理也可以推广到n维空间中。通过具体的事例，让我们感受到在数学上要敢于联想，敢于突破条条框框，才能有所创新。我们会发现，一些伟大的发现是这样顺利成章，又是这样不可思议！

三．总结

在对数学学习中的一些问题进行了一番思考后，虽对一些方法有了比较清醒的认识，但是“知易行难”，对很多问题还要再思，三思。古人云：“天下事有难易乎，为之难者亦易矣，不为则易者亦难矣。”数学学习也是如此，我想在揭开了数学学习的难题之后，必将会窥测到数学的无穷奥秘。

参考文献：1、梅向明 刘增贤 门树慧 .《高等几何》. 高等教育出版社 1988，10

2、G.波利亚 .《怎样解题》 .上海科技教育出版社 2002，6

3、白红 等 . 谈大学数学教学中调动学生参与意识的重要性及某些尝试 . 大学数学 2002，4

4、曹广福 . 面对素质教育，我们能做什么？——谈谈数学素质教育 .

大学数学 2004，5

5、陈维桓 . 关于在大学数学教育中加强几何教学的几点建议 .

高等数学研究 2002，4

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