(2019年高考全国Ⅱ卷理数)已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为−word/media/image1.gif.记M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.

（i）证明：word/media/image2.gif是直角三角形；

（ii）求word/media/image2.gif面积的最大值.

解：（1）由题设得word/media/image3.gif，化简得word/media/image4.gif，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．

（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为word/media/image5.gif．

由word/media/image6.gif得word/media/image7.gif．

记word/media/image8.gif，则word/media/image9.gif．

于是直线word/media/image10.gif的斜率为word/media/image11.gif，方程为word/media/image12.gif．

由word/media/image13.gif得

word/media/image14.gif．①

设word/media/image15.gif，则word/media/image16.gif和word/media/image17.gif是方程①的解，故word/media/image18.gif，由此得word/media/image19.gif．

从而直线word/media/image20.gif的斜率为word/media/image21.gif．

所以word/media/image22.gif，即word/media/image2.gif是直角三角形．

（ii）由（i）得word/media/image23.gif，word/media/image24.gif，所以△PQG的面积word/media/image25.gif．

设t=k+word/media/image26.gif，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．

因为word/media/image27.gif在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为word/media/image28.gif．

因此，△PQG面积的最大值为word/media/image28.gif．

（2019年高考全国卷理数）已知点A,B,动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为 记M的轨迹为曲线C