初中数学经典几何模型
发布时间:2017-08-18 16:17:43
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初中数学几何模型
【模型1】倍长
1、 倍长中线;2、倍长类中线;3、中点遇平行延长相交
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【模型2】遇多个中点,构造中位线
1、 直接连接中点;2、连对角线取中点再相连
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【例1】在菱形ABCD和正三角形BEF中,∠ABC=60°,G是DF的中点,连接GC、GE.
(1)如图1,当点E在BC边上时,若AB=10,BF=4,求GE的长;
(2)如图2,当点F在AB的延长线上时,线段GC、GE有怎样的数量和位置关系,写出你的猜想;并给予证明;
(3)如图3,当点F在CB的延长线上时,(2)问中关系还成立吗?写出你的猜想,并给予证明.
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【例2】如图,在菱形ABCD中,点E、F分别是BC、CD上一点,连接DE、EF,且AE=AF,.
(1)求证:CE=CF;
(2)若,点G是线段AF的中点,连接DG,EG.求证:DG上GE.
【例3】如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别为BC、AD中点,BA交EF延长线于G,CD交EF于H.求证:∠BGE=∠CHE.
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【模型1】构造轴对称
【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形
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【例4】如图,平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD交BC边于E,EF⊥AE交CD边于F,交AD边于H,延长BA到点G,使AG=CF,连接GF.若BC=7,DF=3,EH=3AE,则GF的长为.
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【条件】
【结论】
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【例5】如图,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC、BD的交点,点E在CD上,且DE=2CE,过点C作CF⊥BE,垂足为F,连接OF,则OF的长为 .
【例6】如图,中,,AB=AC,AD⊥BC于点D,点E在AC边上,连结BE,AG⊥BE于F,交BC于点G,求
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【例7】如图,在边长为的正方形ABCD中,E是AB边上一点,G是AD延长线上一点,BE=DG,连接EG,CF⊥EG于点H,交AD于点F,连接CE、BH。若BH=8,则FG=.
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【模型1】
【条件】如图,四边形ABCD中,AB=AD,
【结论】AC平分
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【模型2】
【条件】如图,四边形ABCD中,AB=AD,
word/media/image37_1.png【结论】
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word/media/image40_1.png【例8】如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=5,G为CD中点,DE=DG,FG⊥BE于F,则DF为.
【例9】如图,正方形ABCD的边长为3,延长CB至点M,使BM=1,连接AM,过点B作,垂足为N,O是对角线AC、BD的交点,连接ON,则ON的长为.
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【例10】如图,正方形ABCD的面积为64,是等边三角形,F是CE的中点,AE、BF交于点G,则DG的长为.
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【模型1】
word/media/image46_1.png【条件】如图,四边形ABCD中,AB=AD,,
【结论】
【模型2】
【条件】在正方形ABCD中,已知E、F分别是边BC、CD上的点,且满足∠EAF=45°,AE、AF分别与对角线BD交于点M、N.
【结论】
(1) BE+DF=EF;(2) S△ABE+S△ADF=S△AEF;(3) AH=AB;(4) C△ECF=2AB;
(5) BM2+DN2=MN2;
(6) △ANM∽△DNF∽△BEM∽△AEF∽△BNA∽△DAM;
(由AO:AH=AO:AB=1:可得到△ANM和△AEF的相似比为1:);
(7) S△AMN=S四边形MNFE;(8) △AOM∽△ADF,△AON∽△ABE;
(9) △AEN为等腰直角三角形,∠AEN=45°;△AFM为等腰直角三角形,∠AFM=45°.
(1. ∠EAF=45°;2.AE:AN=1:);
(10)A、M、F、D四点共圆,A、B、E、N四点共圆,M、N、F、C、E五点共圆.
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【模型2变型】
word/media/image51_1.png【条件】在正方形ABCD中,已知E、F分别是边CB、DC延长线上的点,且满足∠EAF=45°
【结论】BE+EF=DF
【模型2变型】
word/media/image52_1.png【条件】在正方形ABCD中,已知E、F分别是边CB、DC延长线上的点,且满足∠EAF=45°
【结论】DF+EF=BE
【例11】如图,和是两个全等的等腰直角三角形,,的顶点E与的斜边BC的中点重合.将绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,射线EF与线段AB相交于点G,与射线CA相交于点Q.若AQ=12,BP=3,则PG=.
来源:学科网]
word/media/image57_1.png【例12】如图,在菱形ABCD中,AB=BD,点E、F分别在AB、AD上,且AE=DF.连接BF与DE交于点G,连接CG与BD交于点H,若CG=1,则.
源:学
【条件】
【结论】
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【例13】如图,正方形ABCD中,点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点,EB=3,GC=4,连接EF、FG、GE恰好构成一个等边三角形,则正方形的边长为.
源:学
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【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段
【结论】新构成了同心的正方形
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word/media/image66_1.png【例14】如图,点E为正方形ABCD边AB上一点,点F在DE的延长线上,AF=AB,AC与FD交于点G,∠FAB的平分线交FG于点H,过点D作HA的垂线交HA的延长线于点.若,,则DG=.
【例15】如图,中,,AB=AC,AD⊥BC于点D,点E是AC重点,连结BE,作AG⊥BE于F,交BC于点G,连接EG,求证:AG+EG=BE.
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【两点之间线段最短】
1、将军饮马
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2、费马点
【垂线段最短】
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【两边之差小于第三边】
【例16】
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【例17】
word/media/image88_1.png如图,E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于G,连接BE交AG于点H,若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是.
【例18】
如图所示,在矩形ABCD中,,E是线段AB的中点,F是线段BC上的动点,沿直线EF翻折到,连接,最短为.
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【例19】如图1,ABCD中,AE⊥BC于E,AE=AD,EG⊥AB于G,延长GE、DC交于点F,连接AF.
(1)若BE=2EC,AB =,求AD的长;
(2)求证:EG=BG+FC;
(3)如图2,若AF=,EF=2,点是线段AG上的一个动点,连接,将沿翻折得,连接,试求当取得最小值时的长.
课后练习题
word/media/image105_1.png【练习1】如图,以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形,,、交于。已知、的长分别为3cm、5cm,求三角形的面积.
【练习2】
问题1:如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=CD,点M,N分别在AD,CD上,∠MBN=∠ABC,试探究线段MN,AM,CN有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想;
问题2:如图2,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC+∠ADC=180°,点M,N分别在DA,CD的延长线上,若∠MBN=∠ABC仍然成立,请你进一步探究线段MN,AM,CN又有怎样的数量关系?写出你的猜想,并给予证明.
【练习3】已知:如图1,正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
⑴求证:EG=CG且EG⊥CG;
⑵将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图2所示,取DF中点G,连接EG,CG.问⑴中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
⑶将图1中△BEF绕B点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?
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附录