1980年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案

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普通高等学校招生全国统一考试
数学（理科）
一．（本题满分6分）
将多项式x5y-9xy5分别在下列范围内分解因式：1．有理数范围;2.实数范围;3.复数范围
解：1.x5y-9xy5=xy(x2+3y2(x2-3y2.2.x5y-9xy5=xy(x2+3y2(x+3y(x-3y.
3.x5y-9xy5=xy(x+3yi(x-3yi(x+3y(x-3y.二．（本题满6分）
半径为1、2、3的三个圆两两外切证明：以这三个圆的圆心为顶
点的三角形是直角三角形


证：设⊙O1⊙O2⊙O3的半径为1、2、3
O333因这三个圆两两外切，故有

O1O2=1+2=3，O2O3=2+3=5，O1O3=1+3=4，12
O1O212则有O1O22+O1O32=32+42=52=O2O32
根据勾股定理的逆定理，
△O1O2O3为直角三角形
三．（本题满分10分）
用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点
1

证：取△ABC最长一边BC所在的直线为X轴，经过A的高线为Y轴，设A、B、C的坐标分别为A（0，a）、B（b，0）、C（c，0），根据所选坐标系，如图，有a>0,b<0,c>0
x
bx
AC的方程为
c
YA(0,a
AB的方程为
yaya
bED
其斜率为1，
aa
其斜率为1，
cB(b,0OC(c,0X
bac
高线BD的方程为y(xb(2
a
高线CE的方程为y(xc(1
解（1）、（2），得：（b-cx=0
∵b-c≠0∴x=0
即高线CE、BD的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO上
因此，三条高线交于一点
四．（本题满分10分）证明对数换底公式：logbN解：见课本
logaN
(a`b`N都是正数,a1,b1logab
五．（本题满分10分）
直升飞机上一点P在地面M上的正射影是A，从P看地面上一物体B（不同于A）直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N（如图）证
明：平面N必与平面M相交，且交线垂直于AB
2

证：用反证法假如平面N与平面M平行，则PA也垂直于N，因此PA
与PB重合，B点与A点重合，但这与题设矛盾，
所以平面N与平面M相交
PNMBAL
设平面N与平面M的交线为L
∵PA⊥平面M，∴PA⊥L
又∵PB⊥平面N，∴PB⊥L
∴L⊥平面PAB，∴L⊥AB
六．（本题满分12分）设三角函数f(xsin(
k
,其中k≠053
1．写出f(x极大值M、极小值m与最小正周期;
2．试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x至少有一个值是M与一个值是m
解：1.M=1，m=-1，T
5210
.kk
2.f(x在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m而任意两个整数间的距离都≥1因此要使任意两个整数间函数f(x
至少有一个值是M与一个值是m，必须且只须使f(x的周期≤1即：
10
1,k1031.4.k
可见，k=32就是这样的最小正整数
七．（本题满分14分）

3

CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高，已知△ACD、△CBD、△ABC的面积成等比数列，求∠B（用反三角函数表示）
解：设CD=h，AB=c，BD=x，则AD=c-x
因此，△ACD的面积为h(cx，
△CBD的面积为hx，
21
12
CADB
△ABC的面积为hc，依题意，
111(hxh(cxhc,222
即x2c(cx,即x2cxc20,
cc24c2x.
2
12
∵取负号不合题意，∴取正号，得x又依直角三角形的性质，有
51
c.2
AC2=AD·AB=c(c-x.但x2=c(c-x∴AC2=x2∴AC=x=DB=
51
c.2
在直角三角形ABC中，sinB故Barcsin
51
.2
AC
AB
51
c
512
c2
八．（本题满分14分）
已知0＜α＜π，证明：2sinctg;并讨论α为何值时等号成立


2
4

解：即证：2sin2
1cos
.sin
两端乘以sinα，问题化为证明2sinαsin2α≤1+cosα.而2sinαsin2α=4sinαcos2α=4(1-cos2αcosα
=4(1-cosα(1+cosαcosα
所以问题又化为证明不等式(1+cosα[4(1-cosαcosα-1]≤0
2
1
（1+cosα4cos≤0
2
∴不等式得证
∵0＜α＜π,∴等号成立当且仅当cosα-=0即α=600九．（本题满分18分）
抛物线的方程是y2=2x，有一个半径为1的圆，圆心在x轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂
1
2
直（注：设P（x0,y0是抛物线y2=2px上一点，则抛物线在P点处的
切线斜率是
P
）y0
解：设圆的方程为（x-k2+y2=1
再设圆与抛物线的一个交点为P（x0,y0在P点圆半径的斜率=
y0x0k
.
Yy=2x2P(x0,y0·K(K,0OX
5
在P点抛物线的切线斜率=
1y0
在P点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径


与抛物线在P点相切

y01.(1y0x0k
因P（x0,y0是圆与抛物线的交点，∴y02=2x0,(2(x0-k2+y02=1.(3
由（1）、（2）式消去y0,得x0=-k,
将（2）代入（3），得(x0-k2+2x0-1=0,将x0=-k代入，得
4k2-2k-1=0，∴k
15
.4
由于抛物线在y轴的右方，所以k=-x0≤0故根号前应取负号，即
k
15152
.故所求圆的方程为(xy21.44
由对称性，圆与抛物线的另一交点（x0,-y0处的切线也互相垂直附加题（成绩不计入总分，只作参考）设直线（L）的参数方程是
xt,
（t是参数）
ybmt;
x1acos,(a0
椭圆（E）的参数方程是（θ是参数）
ysin
问a、b应满足什么条件，使得对于任意m值来说，直线（L）与椭圆（E）总有公共点
解：消去参数，得
(x12
y21.（L）：ymxb;（E）：2
a
6

消去y，整理得(1a2m2x22(a2mb1xa2b2a210
（L）、（E）有交点的条件是上式的判别式≥0，即
(a2mb12(1a2m2(a2b2a210
王新敞奎屯新疆
化简并约去a2得
(a21m22bm(1b20.
对任意m的值，要使这个式子永远成立，条件是
a210,a210,(12或(222
b0.b(a1(1b0;
|a|1,
|a|1,
解得(1a21a21或(2
b0|a|b|a|

或（1）、（2）合写成：
|a|1,
a21a21即所求的条件
|a|b|a|.
（注：也可数形结合，由点P（0，b）在椭圆（E）内或（E）上求解
）


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