Sobolev空间

一、定义：

(一)弱导数的定义：

设，对于给定的重指标，称为的阶弱导数，如果存在函数，使得对于成立

.

并记.

(二)Sobolev空间的定义：

对p1,m是非负整数，定义Sobolev空间

.

在中引入范数

下面证明按范数

是赋范空间.

()非负性：

当时，任意的，则，

且对任意均成立；

当时，任意的，则，

且对任意均成立；

()齐次性：

当时，任意，，有

；

当时，任意，，有

；

()三角不等式性：

当时，任意，，有

；

当时，任意，，有

.

所以，Sobolev空间是一个赋范空间.

二、Sobolev空间的主要性质：

（一）完备性：是Banach空间.

证明 只要证明是完备的.

任取中的Cauchy序列，则.

而

.

即是中的Cauch列，由的完备性知，存在，使得.

在弱收敛的意义下，，即对任意，有

.

特别对任意，有

.

这是因为

(应用Holder不等式）

令得

.

其中.

在利用弱导数的定义得，对于任意时有

.

即当时，在内弱收敛于，记成

由极限的唯一性，得 且

.

这就说明，若是中的Cauchy序列，则必存在，使得 .

即，是完备的.

从而是Banach空间.

（二）可分性：当时，是可分的.

证明 只要证明当时，是可分的，也就是说中存在稠密的可列集.事实上，对每个正整数，作

.

设表示所有有理数多项式全体，，，

则在中稠密. 事实上，对，任意的，由在中稠密知，存在，使得

.

另外容易看出，.

故属于某个，利用weierstrass定理知，在中稠密，也就是说，存在，使得，.

因为有界，故有

故

.

其中，.

这就说明在中稠密，且是一个可列集，因而是可列的稠密集，即是可分的，从而也是可分的.

(3)自反性:设，则是自反空间.

三、Sobolev空间的嵌入定理：

(一)设具有锥性质

表示与中一上维平面的交集，，为正整数，为非负整数，，则有下列嵌入关系

情形A 假设且则

，

，

，.

情形B 假设，则对，有

，.

特别

，.

若，则，这时当时，上两式仍成立.

情形C 假设，则

.

(2)设具有强局部Lipschitz性质

情形 假设，则

，.

情形 假设，则

，.

若，则上式对也成立.

四、建立Sobolev空间的意义：

随着科技的不断发展，在工程中提出了许多形式各样的偏微分方程，其中有相当一部分在古典理论上是不存在解的. 但实际背景表明，它们是存在唯一解的，这时，偏微分广义解的提出，很大程度上解决了这一数学与实际相冲突的问题. 广义解的另一优点是，它把偏微分方程的解的唯一性问题，分解成某个Sobolev空间中广义解的存在与广义解的正则性两个问题来研究，解决了一些新的偏微分方程定解问题，特别是在非线性偏微分方程中，由于直接寻找古典解是相当困难的，而寻找弱解则相对容易，进而确定弱解的正则性后就获得古典解.

在偏微分方程的数值计算中，现在比较流行的方法，如有限元法和有限体积法，它们的理论基础就是广义函数与Sobolev空间. 它们都是利用守恒原理，在偏微分方程两边与某个区域进行积分，再进行一定的简化，将其等价的化为一个变分问题，再在某个Sobolev空间中求解这个变分问题，其实我们求出来的变分问题的解就是其对应的偏微分方程的古典解.

综上所述，广义微商及Sobolev空间的建立，很大程度上促进了偏微分方程理论及其数值解理论的发展，在偏微分方程发展中揭开了新的一页.

（完整版）Sobolev空间的建立