3.2 简单的三角恒等变换（第1课时）

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1．半角公式(不要求记忆)

sinword/media/image2_1.png＝±word/media/image3_1.png，cosword/media/image4_1.png＝±word/media/image5_1.png，tanword/media/image6_1.png＝±word/media/image7_1.png＝word/media/image8_1.png＝word/media/image9_1.png．符号由word/media/image10_1.png所在的象限决定．

思考 半角公式根号前的符号如何确定？

提示：确定半角的正弦、余弦、正切表示式前符号的原则：(1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号；(2)若给出α的具体范围(即某一区间)时，则先求所在范围，然后再根据word/media/image12_1.png所在范围选用符号；(3)如给出的α是某一象限的角时，则根据下表决定符号：

2．常见的三角恒等变换

(1)asin x＋bcos x＝word/media/image17_1.pngsin(x＋φ)(ab≠0)，其中tan φ＝word/media/image18_1.png，φ所在象限由a和b的符号确定．这个公式也叫做辅助角公式．

(2)sin2x＝word/media/image19_1.png，cos2x＝word/media/image20_1.png，sin xcos x＝word/media/image21_1.pngsin_2x．

名师点拨 几种常见的三角变换技巧：

(1)常值代换

用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数，使之代换后能运用相关公式使化简得以顺利进行．我们把这种代换称为常值代换．如前面所讲到的“1”的代换就是一种特殊的常值代换．

(2)切化弦

当待化简式中既含有正弦、余弦，又含有正切时，利用同角的基本三角函数关系式tan α＝word/media/image22_1.png将正切化为正弦

和余弦，这就是“切化弦”的思想方法，切化弦的好处在于减少了三角函数名称，转化为正弦、余弦的恒等变换．

(3)降幂与升幂

由C2α变形后得到公式：sin2α＝word/media/image23_1.png (1－cos 2α)，cos2α＝word/media/image24_1.png (1＋cos 2α)，运用它就是降幂．

反过来，直接运用倍角公式或变形公式1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α，就是升幂．

(4)角的变换

角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系，使公式顺利运用，解题过程被简化．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝word/media/image25_1.png [(α＋β)＋(α－β)]，α＝word/media/image26_1.png [(α＋β)－(β－α)]，α＋β＝(2α＋β)－α等．

(5)配方法

如1±sin α＝word/media/image27_1.png2，

4sin2α－4sin α＋1＝(2sin α－1)2．

(6)换元法

利用公式中角的任意性，根据需要变换角的形式．例如由Cα－β推出Cα＋β，再推出C2α等．

(7)公式的逆用和变用

灵活逆用和变用公式可以丰富三角恒等变换的方法．例如：T(α＋β)，可变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；asin α＋bcos α＝word/media/image28_1.pngsin(α＋φ)或asin α＋bcos α＝word/media/image29_1.pngcos(α－φ)实为S(α＋β)(或C(α－β))的逆用．

一、选择题

1．下列属于相对脆弱的自然生态系统的是(　　)

A．绿洲荒漠交界带　　　　 B．水土流失严重区

C．地质灾害易发区 D．高寒带生态系统

解析：选D　相对脆弱的自然生态系统常见的有海岛生态系统、干旱区生态系统和高寒带生态系统等。

2．下列属于非洲的荒漠化问题特别严重的自然原因是(　　)

A．气候干旱 B．乱垦滥伐

C．过度放牧 D．破坏植被

解析：选A　非洲北部为热带沙漠气候，降水稀少，气候干旱，荒漠化问题特别严重；乱垦滥伐、过度放牧和破坏植被为人为原因。

新中国成立以来，我国沙漠化土地面积不断扩大，河北怀来沙漠离北京天安门已不足70 km。我国形成的沙漠化土地有85%是滥垦、滥牧和滥伐森林的结果；10%是水资源利用不当和工矿建设破坏林草造成的；5%是沙丘入侵农田和草场所致。据此完成3～4题。

3．这些沙漠化土地主要分布在(　　)

A．华南、华东和华北地区

B．西北、西南和东北地区

C．西北、东北和华北地区

D．东北、华北和西南地区

4．这些沙漠化土地的形成(　　)

A．主要是人类对土地进行不合理的开发和利用，使植被受到破坏所致

B．是人类发展工农业所致

C．主要是由于降水减少，蒸发加剧

D．是由于气候干旱，沙丘不断向农牧业土地推进

解析：3.C　4.A　第3题，沙漠化土地主要分布在干旱、半干旱和具有旱害的半湿润地区，在我国主要分布在东北、华北和西北地区。第4题，由材料可知，我国形成的沙漠化土地有85%是滥垦、滥牧和滥伐森林的结果。

位于长江中上游的某茶场，茶园面积600亩，每年四月、七月、十一月要锄草三次，久而久之，茶园“消瘦”了。同时，锄草需要大量劳动力，困惑之际，茶场主人想到“羊喜吃嫩草，却不吃嫩茶”，于是把羊引进茶园，既节约人力、物力，又保持了水土，肥沃了茶园，可谓一举两得。据此完成5～7题。

5．长江中上游植被破坏后，给下游地区带来的危害是(　　)

A．泥沙淤积河、湖，洪水排泄不畅，致使洪涝灾害频繁

B．水土流失日趋严重

C．气候恶化，导致全球气候变暖

D．河流径流的季节变化减小

6．根据长江流域地理特征可以推知，三次锄草中，水土流失最严重的是(　　)

A．四月、七月 B．四月

C．七月 D．十一月

7．茶园“消瘦”的主要原因是(　　)

A．缺乏分解者

B．缺少枯枝落叶

C．土壤中有机质被微生物分解

D．表层土壤被大量冲走

解析：5.A　6.C　7.D　第5题，长江中上游植被破坏后，导致水土流失加重，河流含沙量增大，因而造成下游淤积严重，洪水排泄不畅，致使洪涝灾害频繁。第6题，长江流域降水夏季最为集中，在暴雨冲刷下，水土流失严重，因此四月、七月、十一月相比，水土流失最严重的是七月。第7题，从材料中可以看出茶园“消瘦”的主要原因是水土流失造成的表层土壤被大量冲走。

二、综合题

2019高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换第1课时预习导航学案新人教A版必修12