陕西省西安市经开区2019-2020学年九年级（上）期中数学试（含答案解析）

发布时间：2020-01-19 09:45:09

陕西省西安市经开区2019-2020学年九年级（上）期中数学试

一．选择题（共10小题）

1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（　　）

A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣2＝（x+3）2

C．x2+﹣5＝0 D．x2＝0

2．将一个正方体沿正面相邻两条棱的中点连线截去一个三棱柱，得到一个如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．

3．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2

4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，

l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则的值为

（　　）

A． B．2 C． D．

5．若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2＝0的一个根，则a的值为（　　）

A．1或4 B．﹣1或﹣4 C．﹣1或4 D．1或﹣4

6．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，图中相似的三角形有（　　）对．

A．3 B．4 C．5 D．6

7．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件，是（　　）

A．四边形ABCD是梯形 B．四边形ABCD是菱形

C．对角线AC＝BD D．AD＝BC

8．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE＝4，S△CDE＝16，则△ACD的面积为（　　）

A．64 B．72 C．80 D．96

9．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在BC和CD边上，分别连接AE、AF、EF，若∠EAF＝45°，则△CEF的周长是（　　）

A．6+2 B．8.5 C．10 D．12

10．如图在△ABC中∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AC于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM＝PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC＝45°时，当BN＝BC，其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

二．填空题（共6小题）

11．如果3x＝2y（x，y均不为0），那么x：y＝　　．

12．在“阳光体育”活动时间，张海亮、张红武、李优、王安进行一次羽毛球单打比赛，要从中选出两位同学打第一次比赛，则恰好选中李优、王安两位同学的概率是　　．

13．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点C处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少　　m处？（结果精确到0.01）

14．为了估计鱼塘里有多少条鱼，我们从鱼塘里捕上100条鱼做上标记，然后放回鱼塘里去，待带标记的鱼完全混合于鱼群后，再捕第二次样品鱼200条，其中百标记的鱼有25条，试估计鱼塘里约有鱼　　条．

15．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为xm，根据条件，可列出方程：　　．

16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM﹣PO的最大值为　　．

三．解答题（共9小题）

17．解下列方程

（1）x（x﹣5）＝14

（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x

18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标系分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，﹣2）．

（1）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A1B1C1，并直接写出C1点坐标；

（2）如果点D（a，b）在线段AB上，请直接写出经过（1）的变化后点D的对应点D1的坐标．

19．已知关于x的一元二次方程方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0有两个实数根．

（1）求m的取值范围．

（2）若该方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝1﹣x1x2，求m的值．

20．“五一”小长假期间，某超市为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”、“30元”的字样．规定：顾客在本超市一次性购物满500元以上均可获得两次摸球的机会（摸出小球后放回）．超市根据两小球所标金额的和返还相应的代金券．

（1）顾客甲购物1000元，则他最少可获　　元代金券，最多可获　　元代金券．

（2）请用树形图或列表方法，求出顾客甲获得不低于30元（含30元）代金券的概率．

21．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F．

（1）求证：AB＝AF；

（2）当AB＝3，BC＝5时，求的值．

22．如图是位于陕西省西安市荐福寺内的小雁塔，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，并作为丝绸之路的一处重要遗址点，被列入《世界遗产名录》．小铭、小希等几位同学想利用一些测量工具和所学的几何知识测量小雁塔的高度，由于观测点与小雁塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，于是在阳光下，他们首先利用影长进行测量，方法如下：小铭在小雁塔的影子顶端D处竖直立一根木棒CD，并测得此时木棒的影长DE＝2.4米；然后，小希在BD的延长线上找出一点F，使得A、C、F三点在同一直线上，并测得DF＝2.5米．已知图中所有点均在同一平面内，木棒高CD＝1.72米，AB⊥BF，CD⊥BF，试根据以上测量数据，求小雁塔的高度AB．

23．如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．

（1）求证：△ABF≌△ECF；

（2）若∠AFC＝2∠D，连接AC、BE，求证：四边形ABEC是矩形．

24．因抖音等新媒体的传播，西安已成为最著名的网红旅游城市之一，2016年“十一”黄金周期间，西安接待游客近1000万人次，2018年“十一”黄金周期间，接待游客已达1690万人次，古城西安美食无数，一家特色小面店希望在长假期间获得较好的收益，经测算知，该小面的成本价为每碗6元，借鉴以往经验；若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗

（1）求出2016年至2018年十一长假期间游客人次的年平均增长率；

（2）为了维护城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天盈利6300元？

25．如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF．

（1）图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△EDF，求AE的长；

（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．

①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；

②求EF的长；

（3）如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN＝1，CE＝，求的值．

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（　　）

A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣2＝（x+3）2

C．x2+﹣5＝0 D．x2＝0

【分析】根据一元二次方程的定义判断．

【解答】解：A、当a＝0时，ax2+bx+c＝0，不是一元二次方程；

B、x2﹣2＝（x+3）2整理得，6x+11＝0，不是一元二次方程；

C、x2+﹣5＝0，不是整式方程，不是一元二次方程；

D、x2＝0，是一元二次方程；

故选：D．

2．将一个正方体沿正面相邻两条棱的中点连线截去一个三棱柱，得到一个如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据左视图的定义，画出左视图即可判断．

【解答】解：根据左视图的定义，从左边观察得到的图形，是选项C．

故选：C．

3．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2

【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac的意义得到m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，

∴m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，解得m≤3，

∴m的取值范围是 m≤3且m≠2．

故选：D．

4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，

l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则的值为

（　　）

A． B．2 C． D．

【分析】求出AB，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可解答本题．

【解答】解：∵AH＝2，HB＝1，

∴AB＝AH+BH＝3，

∵l1∥l2∥l3，BC＝5，

∴；

故选：D．

5．若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2＝0的一个根，则a的值为（　　）

A．1或4 B．﹣1或﹣4 C．﹣1或4 D．1或﹣4

【分析】将x＝﹣2代入关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2＝0，再解关于a的一元二次方程即可．

【解答】解：∵x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2＝0的一个根，

∴4+5a+a2＝0，

∴（a+1）（a+4）＝0，

解得a1＝﹣1，a2＝﹣4，

故选：B．

6．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，图中相似的三角形有（　　）对．

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】由等边三角形的性质得出∠BAC＝∠B＝∠C＝∠DAE＝∠ADE＝∠E＝60°，得出△ABC∽△ADE，再证出∠BAD＝∠FAE，得出△ABD∽△AEF；由∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，证出△AEF∽△DCF，得出△ABD∽△DCF；由∠DAF＝∠CAD，∠ADF＝∠C，即可得出△ADF∽△ACD．

【解答】解：图中的相似三角形有△ABC∽△ADE，△ABD∽△AEF，△AEF∽△DCF，△ABD∽△DCF，△ADF∽△ACD；理由如下：

∵△ABC和△ADE均为等边三角形，

∴∠BAC＝∠B＝∠C＝∠DAE＝∠ADE＝∠E＝60°，

∴△ABC∽△ADE；

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠FAE，

∴△ABD∽△AEF；

∵∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，

∴△AEF∽△DCF，

∴△ABD∽△DCF；

∵∠DAF＝∠CAD，∠ADF＝∠C，

∴△ADF∽△ACD，

故选：C．

7．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件，是（　　）

A．四边形ABCD是梯形 B．四边形ABCD是菱形

C．对角线AC＝BD D．AD＝BC

【分析】利用三角形中位线定理可以证得四边形EFGH是平行四边形；然后由菱形的判定定理进行解答．

【解答】解：∵在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，

∴EF∥AD，HG∥AD，

∴EF∥HG；

同理，HE∥GF，

∴四边形EFGH是平行四边形；

A、若四边形ABCD是梯形时，AD≠CD，则GH≠FE，这与平行四边形EFGH的对边GH＝FE相矛盾；故本选项错误；

B、若四边形ABCD是菱形时，点EFGH四点共线；故本选项错误；

C、若对角线AC＝BD时，四边形ABCD可能是等腰梯形，证明同A选项；故本选项错误；

D、当AD＝BC时，GH＝GF；所以平行四边形EFGH是菱形；故本选项正确；

故选：D．

8．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE＝4，S△CDE＝16，则△ACD的面积为（　　）

A．64 B．72 C．80 D．96

【分析】由S△BDE＝4，S△CDE＝16，得到S△BDE：S△CDE＝1：4，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出＝，然后求出△DBE和△ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，然后求出△ACD的面积．

【解答】解：∵S△BDE＝4，S△CDE＝16，

∴S△BDE：S△CDE＝1：4，

∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，

∴＝，

∵DE∥AC，

∴△DBE∽△ABC，

∴S△DBE：S△ABC＝1：25，

∴S△ACD＝80．

故选：C．

9．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在BC和CD边上，分别连接AE、AF、EF，若∠EAF＝45°，则△CEF的周长是（　　）

A．6+2 B．8.5 C．10 D．12

【分析】将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，根据旋转的性质可得HD＝BE，AH＝AE，∠DAH＝∠BAE，然后求出∠FAH＝∠EAF，再利用“边角边”证明△AEF和△AHF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF＝FH，然后求出△CEF的周长＝BC+CD，再根据正方形的边长求解即可．

【解答】解：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，

由旋转的性质得，HD＝BE，AH＝AE，∠DAH＝∠BAE，

所以，∠FAH＝∠DAH+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣∠EAF，

∵∠EAF＝45°，

∴∠FAH＝90°﹣45°＝45°，

∴∠FAH＝∠EAF，

在△AEF和△AHF中，

，

∴△AEF≌△AHF（SAS），

∴EF＝FH，

∴△CEF的周长＝EF+CF+CE，

＝FH+CF+CE，

＝FD+DH+CF+CE，

＝DF+BE+CF+CE，

＝（BE+CE）+（DF+CF），

＝BC+CD，

∵正方形ABCD的边长为5，

∴△CEF的周长为5+5＝10．

故选：C．

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

【分析】可先证明Rt△MBC和Rt△NBC，由斜边中点可判定①正确，由△AMB∽△ANC可判定②错误，证点M，N，B，C共圆，可对③进行判断，证△BNC为以BC为斜边的等腰直角三角形，可判断④正确．

【解答】解：∵BM⊥AC于点M，CN⊥AC于点N，P为BC边的中点，

∴点P是Rt△MBC和Rt△NBC的斜边的中点，

∴MP＝NP＝BC，

故①正确；

∵BM⊥AC于点M，CN⊥AC于点N，

∴∠AMB＝∠ANC＝90°，

又∵∠A＝∠A，

∴△AMB∽△ANC，

∴＝，

故②错误；

∵BM⊥AC于点M，CN⊥AC于点N，P为BC边的中点，

∴点P是Rt△MBC和Rt△NBC的斜边的中点，

∴MP＝NP＝BP＝CP＝BC，

∴点M，N，B，C共圆，

∴∠NPM＝2∠ABM，

在Rt△ABM中，∠A＝60°，

∴∠ABM＝30°，

∴∠NPM＝60°，

∵PN＝PM，

∴△PMN是等边三角形，

故③正确；

当∠ABC＝45°时，△BNC为以BC为斜边的等腰直角三角形，

∴BN＝BC，

故④正确；

故选：C．

二．填空题（共6小题）

11．如果3x＝2y（x，y均不为0），那么x：y＝　2：3　．

【分析】内项之积等于外项之积，根据比例的性质，即可得到结论．

【解答】解：∵3x＝2y，

∴x：y＝2：3，

故答案为：2：3．

【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选中A，C两位同学进行比赛的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：设李优、张海亮、王安，张红为A，B，CD，

武画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中选中李优、王安两位同学进行比赛的结果数为2，

所以选中李优、王安两位同学进行比赛的概率＝＝，

故答案为：．

13．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点C处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少　7.64　m处？（结果精确到0.01）

【分析】黄金分割是指将整体分成两部分，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618．

【解答】解：∵＝0.618，

∴AC＝0.618AB＝12.36，

∴当BC＝12.36时，C也是黄金分割点，此时AC最小，为7.64米，

故答案为：7.64．

14．为了估计鱼塘里有多少条鱼，我们从鱼塘里捕上100条鱼做上标记，然后放回鱼塘里去，待带标记的鱼完全混合于鱼群后，再捕第二次样品鱼200条，其中百标记的鱼有25条，试估计鱼塘里约有鱼　800　条．

【分析】设鱼塘里约有鱼x条，由于从鱼塘里捕上100条鱼做上标记，然后放回鱼塘里去，待带标记的鱼完全混合于鱼群后，再捕第二次样品鱼200条，其中百标记的鱼有25条，由此可以列出方程200：25＝x：100，解此方程即可求解．

【解答】解：设鱼塘里约有鱼x条，

依题意得200：25＝x：100，

∴x＝800，

∴估计鱼塘里约有鱼800条．

故答案为：800．

15．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为xm，根据条件，可列出方程：　x2﹣35x+34＝0　．

【分析】设小道进出口的宽度为xm，根据矩形的面积以及平行四边形的面积结合种植花草的面积为532m2，即可列出关于x的一元二次方程，整理后即可得出结论．

【解答】解：设小道进出口的宽度为xm，

根据题意，得：30×20﹣20×2x﹣30x+2x•x＝532，

整理，得：x2﹣35x+34＝0．

故答案为：x2﹣35x+34＝0．

16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM﹣PO的最大值为　　．

【分析】连接MO并延长交BC于P，则此时，PM﹣PO的值最大，且PM﹣PO的最大值＝OM，根据全等三角形的性质得到AM＝CP＝3，OM＝OP，求得PB＝1，过M作MN⊥BC于N，得到四边形MNCD是矩形，得到MN＝CD，CN＝DM，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD＝4，MD＝1，

∴AM＝3，

连接MO并延长交BC于P，

则此时，PM﹣PO的值最大，且PM﹣PO的最大值＝OM，

∵AM∥CP，

∴∠MAO＝∠PCO，

∵∠AOM＝∠COP，AO＝CO，

∴△AOM≌△COP（ASA），

∴AM＝CP＝3，OM＝OP，

∴PB＝1，

过M作MN⊥BC于N，

∴四边形MNCD是矩形，

∴MN＝CD，CN＝DM，

∴PN＝4﹣1﹣1＝2，

∴MP＝＝，

∴OM＝，

故答案为：．

三．解答题（共9小题）

17．解下列方程

（1）x（x﹣5）＝14

（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x

【分析】（1）根据因式分解法即可求出答案；

（2）根据因式分解法即可求出答案．

【解答】解：（1）∵x（x﹣5）＝14，

∴x2﹣5x﹣14＝0，

∴（x﹣7）（x+2）＝0，

∴x＝7或x＝﹣2；

（2）∵3x（x﹣1）＝2﹣2x，

∴3x（x﹣1）﹣（2﹣2x）＝0，

∴3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，

∴（x﹣1）（3x+2）＝0，

∴x＝1或x＝；

18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标系分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，﹣2）．

（1）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A1B1C1，并直接写出C1点坐标；

（2）如果点D（a，b）在线段AB上，请直接写出经过（1）的变化后点D的对应点D1的坐标．

【分析】（1）利用位似比为1：2，进而将各对应点坐标扩大为原来的2倍，进而得出答案；

（2）利用（1）中位似比得出对应点坐标关系．

【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求，

C1点坐标为（﹣6，4）；

（2）如果点D（a，b）在线段AB上，经过（1）的变化后点D的对应点D1的坐标为；（2a，2b）．

19．已知关于x的一元二次方程方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0有两个实数根．

（1）求m的取值范围．

（2）若该方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝1﹣x1x2，求m的值．

【分析】（1）利用判别式的意义得到（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）≥0，然后解关于m的不等式即可；

（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝2m，x1x2＝m2﹣m﹣1，则2m＝1﹣（m2﹣m﹣1），然后解关于m的方程得到m1＝1，m2＝﹣2，最后利用m的范围确定m的值．

【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）≥0，

解得m≥﹣1；

（2）根据题意得x1+x2＝2m，x1x2＝m2﹣m﹣1，

∵x1+x2＝1﹣x1x2，

∴2m＝1﹣（m2﹣m﹣1），

整理得m2+m﹣2＝0，解得m1＝1，m2＝﹣2，

∵m≥﹣1，

∴m的值为1．

（1）顾客甲购物1000元，则他最少可获　0　元代金券，最多可获　60　元代金券．

（2）请用树形图或列表方法，求出顾客甲获得不低于30元（含30元）代金券的概率．

【分析】（1）至少得到的金额数为0+0＝0元，至多得到的金额数为30+30＝60元；

（2）列举出所有情况，看该顾客所获得购物券的金额不低于30元的情况数占总情况数的多少即可．

【解答】解：（1）至少得到的金额数为0+0＝0元，至多得到的金额数为30+30＝60元，

故答案为0、60；

（2）画树状图如下：

共16种情况，不低于30元的情况数有10种，

所以所求的概率为＝．

21．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F．

（1）求证：AB＝AF；

（2）当AB＝3，BC＝5时，求的值．

【分析】（1）由在▱ABCD中，AD∥BC，利用平行线的性质，可求得∠2＝∠3，又由BF是∠ABC的平分线，易证得∠1＝∠3，利用等角对等边的知识，即可证得AB＝AF；

（2）易证得△AEF∽△CEB，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得的值．

【解答】解：（1）如图，在▱ABCD中，AD∥BC．

∴∠2＝∠3，

∵BF是∠ABC的平分线，

∴∠1＝∠2，

∴∠1＝∠3，

∴AB＝AF；

（2）∵∠AEF＝∠CEB，∠2＝∠3，

∴△AEF∽△CEB，

∵AF＝AB＝3，

∴＝＝，

∴＝．

【分析】根据相似三角形的性质得到＝，＝，等量代换得到＝，代入数据即可得到结论．

【解答】解：由题意得，∠ABD＝∠CDE＝90°，∠ADB＝∠CED，

∴△CDE∽△ABD，

∴＝，

∵∠F＝∠F，

∴△CDF∽△ABF，

∴＝，

即＝，

∴BD＝60，

∴＝，

∴AB＝43，

答：小雁塔的高度AB是43米．

23．如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．

（1）求证：△ABF≌△ECF；

（2）若∠AFC＝2∠D，连接AC、BE，求证：四边形ABEC是矩形．

【分析】（1）先由已知平行四边形ABCD得出AB∥DC，AB＝DC，⇒∠ABF＝∠ECF，从而证得△ABF≌△ECF；

（2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA＝FE＝FB＝FC，AE＝BC，得证．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，AB＝DC，

∴∠ABF＝∠ECF，

∵EC＝DC，∴AB＝EC，

在△ABF和△ECF中，

∵∠ABF＝∠ECF，∠AFB＝∠EFC，AB＝EC，

∴△ABF≌△ECF（AAS）．

（2）∵AB＝EC，AB∥EC，

∴四边形ABEC是平行四边形，

∴FA＝FE，FB＝FC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC＝∠D，

又∵∠AFC＝2∠D，

∴∠AFC＝2∠ABC，

∵∠AFC＝∠ABC+∠BAF，

∴∠ABC＝∠BAF，

∴FA＝FB，

∴FA＝FE＝FB＝FC，

∴AE＝BC，

∴四边形ABEC是矩形．

（1）求出2016年至2018年十一长假期间游客人次的年平均增长率；

（2）为了维护城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天盈利6300元？

【分析】（1）可设年平均增长率为x，根据等量关系：2016年“十一”黄金周期间，西安接待游客近1000万人次，2018年“十一”黄金周期间，接待游客已达1690万人次，列出方程求解即可；

（2）可设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，根据利润的等量关系列出方程求解即可．

【解答】解：（1）可设年平均增长率为x，依题意有

1000（1+x）2＝1690，

解得x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（舍去）．

答：年平均增长率为30%；

（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，依题意有

（y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300，

解得y1＝20，y2＝21，

∵每碗售价不得超过20元，

∴y＝20．

答：当每碗售价定为20元时，店家才能实现每天利润6300元．

25．如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF．

（1）图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△EDF，求AE的长；

（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．

①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；

②求EF的长；

（3）如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN＝1，CE＝，求的值．

【分析】（1）先利用折叠的性质得到EF⊥AB，△AEF≌△DEF，则S△AEF＝S△DEF，则易得S△ABC＝4S△AEF，再证明Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根据相似三角形的性质得到＝（）2，再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长；

（2）①通过证明四条边相等判断四边形AEMF为菱形；

②连结AM交EF于点O，如图②，设AE＝x，则EM＝x，CE＝4﹣x，先证明△CME∽△CBA得到＝＝，解出x后计算出CM＝，再利用勾股定理计算出AM，然后根据菱形的面积公式计算EF；

（3）如图③，作FH⊥BC于H，先证明△NCE∽△NFH，利用相似比得到FH：NH＝4：7，设FH＝4x，NH＝7x，则CH＝7x﹣1，BH＝3﹣（7x﹣1）＝4﹣7x，再证明△BFH∽△BAC，利用相似比可计算出x＝，则可计算出FH和BH，接着利用勾股定理计算出BF，从而得到AF的长，于是可计算出的值．