2019年辽宁省辽阳市中考数学试卷

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）﹣8的绝对值是（　　）

A．8 B． C．﹣8 D．﹣

2．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．a12÷a3＝a4 B．（3a2）3＝9a6

C．2a•3a＝6a2 D．（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2

3．（3分）如图是由6个大小相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（　　）

A． B．

C． D．

4．（3分）下列调查适合采用抽样调查的是（　　）

A．某公司招聘人员，对应聘人员进行面试

B．调查一批节能灯泡的使用寿命

C．为保证火箭的成功发射，对其零部件进行检查

D．对乘坐某次航班的乘客进行安全检查

5．（3分）将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝130°，则∠BFG的度数为（　　）

A．130° B．120° C．110° D．100°

6．（3分）某校七年级举办“诵读大赛”，10名学生的参赛成绩分别为：85分，90分，94分，85分，90分，95分，90分，96分，95分，100分，则这10名学生成绩的众数是（　　）

A．85分 B．90分 C．92分 D．95分

7．（3分）若ab＜0且a＞b，则函数y＝ax+b的图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

8．（3分）某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路x公里，根据题意列出的方程正确的是（　　）

A．﹣＝60 B．﹣＝60

C．﹣＝60 D．﹣＝60

9．（3分）如图，直线EF是矩形ABCD的对称轴，点P在CD边上，将△BCP沿BP折叠，点C恰好落在线段AP与EF的交点Q处，BC＝4，则线段AB的长是（　　）

A．8 B．8 C．8 D．10

10．（3分）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论：

四、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）

19．（10分）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3tan30°﹣（）﹣1+．

20．（12分）我市某校准备成立四个活动小组：A．声乐，B．体育，C．舞蹈，D．书画，为了解学生对四个活动小组的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中必须选择而且只能选择一个小组，根据调查结果绘制如下两幅不完整的统计图．

请结合图中所给信息，解答下列问题：

（1）本次抽样调查共抽查了　 　名学生，扇形统计图中的m值是　 　；

（2）请补全条形统计图；

（3）喜爱“书画”的学生中有两名男生和两名女生表现特别优秀，现从这4人中随机选取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

21．（12分）为了进一步丰富校园活动，学校准备购买一批足球和篮球，已知购买7个足球和5个篮球的费用相同；购买40个足球和20个篮球共需3400元．

（1）求每个足球和篮球各多少元？

（2）如果学校计划购买足球和篮球共80个，总费用不超过4800元，那么最多能买多少个篮球？

22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边BC交x轴于点D，AD⊥x轴，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，点D的坐标为（3，0），AB＝BD．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）点P为y轴上一动点，当PA+PB的值最小时，求出点P的坐标．

五、解答题（满分12分）

23．（12分）我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？

六、解答题（满分12分）

24．（12分）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若CE＝AE＝2，求阴影部分的面积．

七、解答题（满分12分）

25．（12分）如图1，△ABC（AC＜BC＜AC）绕点C顺时针旋转得△DEC，射线AB交射线DE于点F．

（1）∠AFD与∠BCE的关系是　 　；

（2）如图2，当旋转角为60°时，点D，点B与线段AC的中点O恰好在同一直线上，延长DO至点G，使OG＝OD，连接GC．

①∠AFD与∠GCD的关系是　 　，请说明理由；

②如图3，连接AE，BE，若∠ACB＝45°，CE＝4，求线段AE的长度．

八、解答题（满分14分）

26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上．

（1）求抛物线解析式；

（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？

（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．

2019年辽宁省辽阳市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．【解答】解：﹣8的绝对值是8．

故选：A．

2．【解答】解：∵a12÷a3＝a9，故选项A错误，

∵（3a2）3＝27a6，故选项B错误，

∵2a•3a＝6a2，故选项C正确，

∵，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项D错误，

故选：C．

3．【解答】解：左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，2．

故选：D．

4．【解答】解：A、某公司招聘人员，对应聘人员进行面试适合采用全面调查；

B、调查一批节能灯泡的使用寿命适合采用抽样调查；

C、为保证火箭的成功发射，对其零部件进行检查适合采用全面调查；

D、对乘坐某次航班的乘客进行安全检查适合采用全面调查；

故选：B．

5．【解答】解：∵AD∥BC，∠1＝130°，

∴∠BFE＝180°﹣∠1＝50°，

又∵∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，

∴∠EFG＝60°，

∴∠BFG＝50°+60°＝110°，

故选：C．

6．【解答】解：数据90出现了3次，最多，

所以众数为90分，

故选：B．

7．【解答】解：∵ab＜0，且a＞b，

∴a＞0，b＜0，

∴函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限．

故选：A．

8．【解答】解：设原计划每天修路x公里，则实际每天的工作效率为（1+25%）x公里，

依题意得：﹣＝60．

故选：D．

9．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C＝90°，

由题意得：BF＝BC，EF∥AB，

∴∠ABQ＝∠BQF，

由折叠的性质得：∠BQP＝∠C＝90°，BQ＝BC，

∴∠AQB＝90°，BF＝BQ，

∴∠BQF＝30°，

∴∠ABQ＝30°，

在Rt△ABQ中，AB＝2AQ，BQ＝AQ＝4，

∴AQ＝4，AB＝8；

故选：A．

10．【解答】解：

由图象可知A村、B村相离10km，故①正确，

当1.25h时，甲、乙相距为0km，故在此时相遇，故②正确，

当0≤t≤1.25时，易得一次函数的解析式为s＝﹣8t+10，故甲的速度比乙的速度快8km/h．故③正确

当1.25≤t≤2时，函数图象经过点（1.25，0）（2，6）设一次函数的解析式为s＝kt+b

代入得，解得

∴s＝8t+10

当s＝2时．得2＝8t﹣10，解得t＝1.5h

由1.5﹣1.25＝0.25h＝15min

同理当2≤t≤2.5时，设函数解析式为s＝kt+b

将点（2，6）（2.5，0）代入得

，解得

∴s＝﹣12t+30

当s＝2时，得2＝﹣12t+30，解得t＝

由﹣1.25＝h＝65min

故相遇后，乙又骑行了15min或65min时两人相距2km，④正确．

故选：D．

二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）

11．【解答】解：将10310000科学记数法表示为1.031×107．

故答案为：1.031×107．

12．【解答】解：这个正多边形的边数：360°÷72°＝5．

故答案为：5

13．【解答】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积

∴飞镖落在阴影部分的概率是＝，

故答案为：．

14．【解答】解：∵1＜＜2，

∴6﹣的整数部分是6﹣2＝4．

故答案为：4．

15．【解答】解：连接OB．

∵＝，

∴∠AOB＝∠BOC＝50°，

∴∠BDC＝∠BOC＝25°，

∵∠OED＝∠ECD+∠CDB，∠ECD＝35°，

∴∠OED＝60°，

故答案为60°．

16．【解答】解：作AD⊥直线l于D，

在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，

∴BD＝AD＝100，

在Rt△ADB中，tan∠ACD＝，

则CD＝＝100≈173.2，

∴BC＝173.2﹣100＝73.2（米），

小汽车的速度为：0.0732÷＝52.704（千米/小时），

∵52.704千米/小时＜速60千米/小时，

∴小汽车没有超速，

故答案为：没有超速．

17．【解答】解：∵点P在矩形ABOC的内部，且△APC是等腰三角形，

∴P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上；

①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO的交点即是E，如图1所示：

∵PE⊥BO，CO⊥BO，

∴PE∥CO，

∴△PBE∽△CBO，

∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（﹣8，6），

∴点P横坐标为﹣4，OC＝6，BO＝8，BE＝4，

∵△PBE∽△CBO，

∴＝，即＝，

解得：PE＝3，

∴点P（﹣4，3）；

②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P，

过点P作PE⊥BO于E，如图2所示：

∵CO⊥BO，

∴PE∥CO，

∴△PBE∽△CBO，

∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（﹣8，6），

∴AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6，

∴BC＝＝＝10，

∴BP＝2，

∵△PBE∽△CBO，

∴＝＝，即：＝＝，

解得：PE＝，BE＝，

∴OE＝8﹣＝，

∴点P（﹣，）；

综上所述：点P的坐标为：（﹣，）或（﹣4，3）；

故答案为：（﹣，）或（﹣4，3）．

18．【解答】解：由题意A（﹣1，1），可得C（0，1），

设C1（m，m），则m＝m+，解得m＝2，

∴C1（2，2），

设C2（n，n﹣2），则n﹣2＝n+，解得n＝5，

∴C2（5，3），

设C3（a，a﹣5），则a﹣5＝a+，解得a＝，

∴C3（，），同法可得C4（，），…，∁n的纵坐标为，

故答案为．

四、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）

19．【解答】解：（+）÷

＝[]

＝（）

＝

＝x+1，

当x＝3tan30°﹣（）﹣1+＝3×﹣3+2＝﹣3+2＝3﹣3时，原式＝3﹣3+1＝﹣2．

20．【解答】解：（1）10÷20%＝50，

所以本次抽样调查共抽查了50名学生，

m%＝＝32%，即m＝32；

故答案为50，32；

（2）B组的人数为50﹣6﹣16﹣10＝18（人），

全条形统计图为：

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为8，

所以所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率＝＝．

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

21．【解答】解：（1）设每个足球为x元，每个篮球为y元，

根据题意得：，

解得：．

答：每个足球为50元，每个篮球为70元；

（2）设买篮球m个，则买足球（80﹣m）个，根据题意得：

70m+50（80﹣m）≤4800，

解得：m≤40．

∵m为整数，

∴m最大取40，

答：最多能买40个篮球．

22．【解答】解：（1）∵OABC是矩形，

∴∠B＝∠OAB＝90°，

∵AB＝DB，

∴∠BAD＝∠ADB＝45°，

∴∠OAD＝45°，

又∵AD⊥x轴，

∴∠OAD＝∠DOA＝45°，

∴OD＝AD，

∵D（3，0）

∴OD＝AD＝3，即A（3，3）

把点 A（3，3）代入的y＝得，k＝9

∴反比例函数的解析式为：y＝．

答：反比例函数的解析式为：y＝．

（2）过点B作BE⊥AD垂足为E，

∵∠B＝90°，AB＝BD，BE⊥AD

∴AE＝ED＝AD＝，

∴OD+BE＝3+＝，

∴B（，），

则点B关于y轴的对称点B1（﹣，），直线AB1与y轴的交点就是所求点P，此时PA+PB最小，

设直线AB1的关系式为y＝kx+b，将 A（3，3）B1（﹣，），代入得，

解得：k＝，b＝，

∴直线AB1的关系式为y＝x+，

当x＝0时，y＝，

∴点P（0，）

答：点P的坐标为（0，）．

五、解答题（满分12分）

23．【解答】解：

（1）设一次函数关系式为y＝kx+b（k≠0）

由图象可得，当x＝30时，y＝140；x＝50时，y＝100

∴，解得

∴y与x之间的关系式为y＝﹣2x+200（30≤x≤60）．

（2）设该公司日获利为W元，由题意得

W＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝﹣2（x﹣65）2+2000

∵a＝﹣2＜0；

∴抛物线开口向下；

∵对称轴x＝65；

∴当x＜65时，W随着x的增大而增大；

∵30≤x≤60，

∴x＝60时，W有最大值；

W最大值＝﹣2×（60﹣65）2+2000＝1950．

即，销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1950元．

六、解答题（满分12分）

24．【解答】（1）证明：连接OA，过O作OF⊥AE于f，

∴∠AFO＝90°，

∴∠EAO+∠AOF＝90°，

∵OA＝OE，

∴∠EOF＝∠AOF＝AOE，

∵∠EDA＝AOE，

∴∠EDA＝∠AOF，

∵∠EAC＝∠EDA，

∴∠EAC＝∠AOF，

∴∠EAO+∠EAC＝90°，

∵∠EAC+∠EAO＝∠CAO，

∴∠CAO＝90°，

∴OA⊥AC，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：∵CE＝AE＝2，

∴∠C＝∠EAC，

∵∠EAC+∠C＝∠AEO，

∴∠AEO＝2∠EAC，

∵OA＝OE，

∠AEO＝∠EAO，

∴∠EAO＝2∠EAC，

∵∠EAO+∠EAC＝90°，

∴∠EAC＝30°，∠EAO＝60°，

∴△OAE是等边三角形，

∴OA＝AE，∠EOA＝60°，

∴OA＝2，

∴S扇形AOE＝＝2π，

在Rt△OAE中，OF＝OA•sin∠EAO＝2＝3，

∴S△AOE＝AE•OF＝3＝3，

∴阴影部分的面积＝2π﹣3．

七、解答题（满分12分）

25．【解答】解：（1）如图1，

AF与BD的交点记作点N，由旋转知，∠ACB＝∠DCE，∠A＝∠D，

∴∠BCE＝∠ACD，

∵∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ANC，∠AFD＝180°﹣∠D﹣∠DNF，∠ANC＝∠DNF，

∴∠ACD＝∠AFD，

∴∠AFD＝∠BCE，

故答案为：∠AFD＝∠BCE；

（2）①∠AFD＝∠GCD或∠AFD+∠GCD＝180°，

理由：如图2，连接AD，由旋转知，∠CAB＝∠CDE，CA＝CD，∠ACD＝60°，

∴△ACD是等边三角形，∴AD＝CD，

∵∠AMC＝∠DMF，

∴△ACM∽△DFM，

∴∠ACD＝∠AFD，

∵O是AC的中点，

∴AO＝CO，

∵OD＝OG，∠AOD＝∠COG，

∴△AOD≌△COG（SAS），

∴AD＝CG，

∴CG＝CD，

∴∠GCD＝2∠ACD＝120°，

∴∠AFD＝∠GCD或∠AFD+∠GCD＝180°，

故答案为：∠AFD＝∠GCD或∠AFD+∠GCD＝180°；

②由①知，∠GCD＝120°，∠ACD＝∠BCE＝60°，

∴∠GCA＝∠GCD﹣∠ACD＝60°，

∴∠GCB＝∠BCE，

∵∠GCB＝∠GCA+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB，

∴∠GCB＝∠ACE，

由①知，CG＝CD，CD＝CA，

∴CG＝CA，

∵BC＝EC＝4，

∴△GCB≌△ACE（SAS），

∴BC＝CE＝4，

∴GB＝AE，

∵CG＝CD，OG＝OD，

∴CO⊥GD，

∴∠COG＝∠COB＝90°

在Rt△BOC中，BO＝BC•sin∠AC∠＝2，CO＝BC•cos∠AC∠＝2，

在Rt△GOC中，GO＝CO•tan∠GCA＝2，

∴GB＝CO+BO＝2+2，

∴AE＝2+2．

八、解答题（满分14分）

26．【解答】解：（1）将点C、E的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，

则点A（1，4）；

（2）将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线AC的表达式为：y＝﹣2x+6，

点P（1，t），则点D（，t），设点Q（，），

S△ACQ＝×DQ×BC＝﹣t＝﹣t2+4t﹣6，

∵﹣＜0，故S△ACQ有最大值，当t＝8时，其最大值为10；

（3）设点P（1，m），点M（x，y），

①当EC是菱形一条边时，

当点M在x轴下方时，

点E向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C，

则点P平移3个单位、向下平移3个单位得到M，

则1+3＝x，m﹣3＝y，

而MP＝EP得：1+（m﹣3）2＝（x﹣1）2+（y﹣m）2，

解得：y＝m﹣3＝，

故点M（4，）；

当点M在x轴上方时，

同理可得：点M（﹣2，3+）；

②当EC是菱形一对角线时，

则EC中点即为PM中点，

则x+1＝3，y+m＝3，

而PE＝PC，即1+（m﹣3）2＝4+（m﹣2）2，

解得：m＝1，

故x＝2，y＝3﹣m＝3﹣1＝2，

故点M（2，2）；

综上，点M（4，）或（﹣2，3+）或M（2，2）．

辽宁省辽阳市2019年中考数学试卷（含解析）