第一章

例1：将n只球随机地放入N(N≥n)个盒子中去,试求下列事件的概率：

（1）每个盒子至多有一只球；

（2）某指定的n个盒子各有一个质点；

（3）任意n个盒子中各有一个质点；

（4）某指定盒中恰有m个质点。

例2：袋中有a只白球, b只红球, k个人依次在袋中取一只球,

(1)作放回抽样；

(2)作不放回抽样,

求第i(i=1,2,...,k)个人取到白球(记为事件B)的概率(k≤a+b).

例3：8只乒乓球队中，有两个强队，将8个球队任意分为两组（每组4个队）进行比赛，求这两个强队被分在一个组内的概率是多少？

例5：将一枚硬币抛掷两次, 观察其出现正反面的情况.

设事件A为“至少有一次为H”,

事件B为“两次掷出同一面“.

现在求已知事件A已经发生条件下事件B发生的概率.

例6：已知某批产品的合格率为0.9，检验员检验时，将合格品误认为次品的概率为0.02,而一个次品被误认为合格的概率为0.05.求：

(1)检查任一产品被认为是合格品的概率

(2)被认为是合格品的产品确实合格的概率

例7.：甲乙两人独立对目标射击一次，其命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被击中，求是被甲击中的概率。

例8.：设10件产品中有4件不合格，从中任取2件，求:

（1）两件都不合格的概率。

（2）已知第一件合格，第二件也合格的概率。

（3）在这2件中已知有1件不合格，另一件也不合

格的概率。

例9：对以往数据分析结果表明, 当机器调整得良好时, 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时, 其合格率为55%. 每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%,试求已知某日早上第一件产品是合格品时, 机器调整良好的概率是多少?

例10： 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0、1、2只次品的概率分别是0.8，0.1，0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，购买时，随意抽取一箱，顾客开箱随机查看4只，若无次品则购买。

求 （1）顾客买下该箱的概率

（2）顾客买下的一箱中，确实没有次

品的概率

例11：设三次独立试验中事件A出现的概率相等，已知A至少发生一次的概率为19/27,求A最多发生一次的概率。

例12：已知P(A)= P(B)= P(C)=1/4, P(AB)=0,

P(AC)=P(BC)=1/8,求A,B,C全不发生的概率。

第二章

例1：某种彩票每周开奖一次，每次中大奖的概率为十万分之一，若每周买一张彩票，坚持买了十年，试求从未中过大奖的概率。

例2：设1小时内进入某图书馆的读者人数服从泊松分布，已知1小时内无人进入图书馆的概率为0.01，求一小时内至少有两人进入图书馆的概率。

例3：

例4:电子元件的寿命X(年）服从参数为1/3的

指数分布

(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。

(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还

能使用两年的概率为多少？

例5:设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管的使用寿命X的概率密度函数为 ：

求（1）开始150小时内没有电子管损坏的概率；

（2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率；

（3）分布函数F(x)

例6:设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率。

例7:一民航送客车载有20位旅客自机场开出, 旅客有10个车站可以下车. 如到达一个车站没有旅客下车就不停车. 以X表示停车的次数, 求E(X)

(设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立).

例8：

例9：求二项分布方差;求泊松分布方差；

例10：

例11：.用抽样调查检查某地人口普查的质量，抽查了1000户的登记卡片，发现某些卡片有1个错误，少数有两个错误，极少有3个错误，总的来看，错误的多少与卡片的数目成比例，这1000张卡片共有30个错误。试求随机抽取10张卡片而没有发现错误的概率。

例12：某超市平均每小时72人光顾，那么在3分钟之内到达4名顾客的概率是多少？

例13：已知某工厂生产的笔记本的使用寿命服从参数=0.4的指数分布。厂家承诺，如果电池在半年之内不能使用的话，可以免费更换。已知能够正常使用的电池的平均利润为每个200元，更换电池的成本每个600元，该厂家最终的平均利润是多少？

第三章

考点一：样本均数：

样本方差：

标准样本方差：

样本的偏度和峰度：

考点二：样本标准误：

考点三：

t分布：设，X Y相互独立

则称 T 服从自由度为 n 的T 分布

F分布：设，X Y相互独立

则称 F 服从为第一自由度为n ,第二自由度为 m 的F 分布

第四章

考点一：正态总体均数的估计

(1)方差σ 2已知，μ 的置信区间：

(2)方差σ 2未知，μ 的置信区间：

(3)当μ未知时，方差σ 2 的置信区间：

例1：已知某地幼儿的身高服从正态分布。现从该地一幼儿园大班抽查9名幼儿，测的身高（单位：厘米）分别为：

115，120，115，131，109，115，115，105 ，110

设大班幼儿园身高总体的标准差为7厘米，在置信水平

为0.95下，求总体均值的置信区间。

例2：设X的样本方差为1，样本容量为100，样本均值为5,求总体均值置信水平为0.95的置信区间。

例3：为了估计产品使用寿命的均值和方差，测试了10件产品，求得样本均值为1500，标准差为20，已知产品使用寿命服从正态分布，求总体均值和标准差置信度为0.95的置信区间。

考点二：正态总体均数之差的区间估计

（1）已知，的置信区间：

（2）未知，的置信区间：

同方差大样本：

同方差小样本：

异方差大样本：

异方差小样本：

例5：甲医院治愈2570名病人，平均住院天数为13.60天，乙医院治愈2000名病人，平均住院天数为14.36天，根据经验，住院天数的标准差甲院为1.25天，乙院为1.16天，做出两院平均住院天数差的区间估计。

(假设两院住院天数服从正态分布，给定1-α=0.95)

例6：为研究正常成年男女血液红细胞的平均数之差别，检查某地正常成年男子156名，正常成年女子74名，计算得男性红细胞平均数为465.13万/(mm)3，样本标准差为54.80万/(mm)3；女性红细胞平均数为422.16万/(mm)3，样本标准差为49.2万/(mm)3。试计算该地正常成年男女的红细胞平均数之差的置信区间(置信度为0.99)

例7：设超大牵伸纺机的抗拉强度和普通纺机的抗拉强度服从正态分布，标准差分别为2.18,1.76。现对前者抽取样本容量为200的样本，对后者抽取100的样本，经计算均值分别为5.32和5.76.求均值之差置信度为0.95的置信区间。

例8：从甲乙两厂生产的蓄电池产品中，分

别抽取一批样品，测得蓄电池的电容量如下：

甲厂：144 141 138 142 141 138 143 137

乙厂：142 143 139 140 138 141 140 138 142 136

求（1）电容量方差之比置信度为0.95的置信区间

（2）电容量均值之差置信度为0.95的置信区间

（设总体方差相等）

考点三：例9：用某种中医疗法治疗青少年近视眼15例，有效例数10例，试求有效总体率的95%的置信区间。

例10：某医院用复方当归注射液静脉滴注治疗脑动脉硬化症188例，其中显效83例，试估计当归注射液显效率的置信区间(α=0.05)。

第五章

例1：某药厂用一台包装机包装硼酸粉，额定标准为每袋净重0.5kg,设每袋硼酸粉重服从正态分布，且根据长期的经验知其标准差(0.014kg)。某天开工后，为检验包装机的工作是否正常，随机抽取它所包装的硼酸粉10袋，称得净重(kg)为

0.496 0.510 0.515 0.506 0.518

0.497 0.488 0.511 0.512 0.524

问这天包装机的工作是否正常？

例2：某药厂原来生产的一种安眠药，经临床使用测得平均睡眠时间为18.6小时，标准差为1.5小时，该厂技术人员为了增加睡眠时间，改进了旧工艺，为检验是否达到了预期的目的，收集了一组改进工艺后生产的安眠药的睡眠时间：

23.4，25.6，24.3，21.2，21，

26，25.5，26.2，24.3，24。

试问，从收集到的数据能否说明改进了工艺后生产的安眠药提高了疗效。(假定睡眠时间服从正态分布显著水平为0.05)

例3：某药厂生产某种中药丸，要求有效期不得低于1000天，现从某一天生产的药丸中随机抽取25个，测得其有效期平均值为950天。已知该种药丸的有效期服从标准差为σ=100天的正态分布，试在显著水平0.05下检验这天生产的药丸有效期的均值是否小于1000天。

例4：某中药厂用旧设备生产的六味地黄丸，

丸重的均数为8.9g，更新了设备后，从所生产的产品

中随机抽取9丸，其重量为：

9.2，10，9.6，9.8，8.6，10.3，9.9，9.1，8.9。

问设备更新前后药丸的平均重量是否有变化？

(假设丸重服从正态分布，α=0.10)

例5：甲药厂进行有关麻疹疫苗效果的研究，用X表示一个人用这种疫苗注射后的抗体强度，假定随机变量X是服从正态分布，另一家与之竞争的乙药厂生产的同种疫苗的平均抗体强度为1.9，若甲厂为证实其产品有更高的平均抗体强度，从产品中随机地抽取了16个样本值：

1.2 2.5 1.9 1.5 2.7 1.7 2.2 2.2

3.0 2.4 1.8 2.6 3.1 2.3 2.4 2.1

试问据该样本值能否证实甲厂平均抗体强度高于乙厂(α=0.05)。

例6：某药厂生产甘草流浸膏，现从产品中随机地抽取4个样品，测得甘草酸含量的均数=8.30(%)，标准差S=0.03(%)，设测定值总体服从正态分布，据以往的经验，甘草流膏中甘草酸含量的均数为8.32(%)，试在显著水平0.05下，检验此厂生产的甘草流浸膏中甘草酸的含量是否低于总体水平。

例7：某剂型药物正常的生产过程中，含碳量服从正

态分布N（1.408,0.048*0.048），今从某班产品中

任取5件，测量其含碳量为

1.32，1.55，1.36，1.40和1.44 (%) 。问这个班

生产的药物含碳量的总体方差是否正常?(α=0.10)

例8：某药厂准备生产一批新药 通常收率的标准差在5%以内认为是稳定的，现试产9批，得收率(%)为

73.2，78.6，75.4，75.7，74.1，76.3，

72.8，74.5，76.6。问此药的生产是否稳

定?(α=0.01)

例9：甲乙两厂生产同一药物，现分别从其产品中抽取若干样品测定其含量，结果如下：

甲厂0.51 0.49 0.52 0.55 0.48 0.47

乙厂0.56 0.58 0.52 0.59 0.49 0.57 0.54

在显著性水平0.05下判断两厂药物含量的总体方差

是否相等?

例10：合成车间某中间体生产的工艺条件改革后，收率似有提高，但工人师傅反映新工艺的条件不易控制，收率波动较大，为此，对新老工艺分别抽查若干批，试解释工人师傅的问题?(显著性水平0.05)

老工艺收率：

83.5 83.3 82.5 82.0 84 83.1 84.1 82.1 83.4

新工艺收率：

86.5 87.7 88.0 87.5 85.6 84.2 86.0 83.2 87.0 86.1

例11：在平炉进行一项试验以确定改变操作方法的 建议是否会增加钢的得率，试验是

同一只平炉上进行的。每炼一炉钢时除操作方法外，其它条件都尽可能做到相同。

用标准方法炼一炉，然后用建议的新方法炼一炉，以后交替进行，各炼了10炉，

得率分别为

标准方法 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3

新方法 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1

例12：甲乙两厂生产同一药物，现分别从其产品中抽取若干样品测定其含量，结果如下：

甲厂0.51 0.49 0.52 0.55 0.48 0.47

乙厂0.56 0.58 0.52 0.59 0.49 0.57 0.54

已知甲乙药物含量的总体方差相等，在显著性水平

0.05下判断两厂药物含量的总体均数是否相等?

例13：在中成药的研究中，需镜检六味地黄丸中茯苓的菌丝数。检测75次，得其均数为56.5，方差为9.4；镜检熟地的棕色核状物数，检测65次，得其均数为65，方差为5.5。给定显著性水平为0.05问镜检六味地黄丸中菌丝数与熟地的棕色核状物数的差异是否有显著意义？

例14：某中西医结合医院科研室，成组比较单味大黄与西药(氨甲苯酸)治疗急性上消化道出血的效果，以止血天数为指标，结果如下：

西药治疗组 n1=20 X1=6.90天 S1=6.90天

单味大黄治疗组 n2=30 X2=1.50天 S2=0.88天

取α=0.05，试问均数是否有差别?

例15：根据以往经验，一般胃溃疡病患者20%发生胃出血症状。某医院观察65岁以上胃溃疡病人304例，有96例发生胃出血症状。问老年患者是否比较容易出血(α=0.01)？

例16：抽检库房保存的两批首乌注射液。第一批随机抽240支，发现有15支变质；第二批随机抽180支，发现有14支变质。试问两批的变质率是否有显著差异(α=0.05)？

数理统计复习过程