人教版 数学 必修1函数的基本性质 教案
发布时间:2019-05-27 02:26:03
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课程标题 函数的基本性质
学习目标(1)掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性),能应用函数的基本性质解决一些问题。
(2)从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法.
(3)了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。
重点与难点 (1)判断或证明函数的单调性;
(2)奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。
学习过程
一、 函数的单调性
1.单调函数的定义
(1)增函数:一般地,设函数的定义域为:如果对于属于内某个区间上的任意两个自变量的值、,当时都有,那么就说在这个区间上是增函数。
(2)减函数:如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值、,当时都有,那么就说在这个区间上是减函数。
(3)单调性:如果函数在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做的单调区间。
2、单调性的判定方法
(1)定义法:
判断下列函数的单调区间:
(2)图像法:从左往右,图像上升即为增函数,从左往右,图像下降即为减函数。
(3)复合函数的单调性的判断:
设,,,都是单调函数,则在上也是单调函数。
①若是上的增函数,则与定义在上的函数的单调性相同。
②若是上的减函数,则与定义在上的函数的单调性相同。
即复合函数的单调性:当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数;当内外层函数的
单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说:同增异减(类似于“负负得正”)
练习:(1)函数的单调递减区间是 ,单调递增区间为 .
(2)的单调递增区间为 .
3、函数单调性应注意的问题:
①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.
②对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数).
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在上是增(或减)函数
4.例题分析
证明:函数在上是减函数。
证明:设任意,∈(0,+∞)且,
则,
由,∈(0,+∞),得,又,得,
∴,即
所以,在上是减函数。
说明:一个函数的两个单调区间是不可以取其并集,比如:不能说
是原函数的单调递减区间;
练习:1..根据单调函数的定义,判断函数的单调性。
2.根据单调函数的定义,判断函数的单调性。
二、函数的奇偶性
1.奇偶性的定义:
(1)偶函数:一般地,如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫做偶函数。例如:函数,等都是偶函数。
(2)奇函数:一般地,如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫做奇函数。例如:函数,都是奇函数。
(3)奇偶性:如果函数是奇函数或偶函数,那么我们就说函数具有奇偶性。
说明:从函数奇偶性的定义可以看出,具有奇偶性的函数:
(1)其定义域关于原点对称;
(2)或必有一成立。
因此,判断某一函数的奇偶性时,首先看其定义域是否关于原点对称,若对称,再计算,看是等于还是等于,然后下结论;若定义域关于原点不对称,则函数没有奇偶性。
(3)无奇偶性的函数是非奇非偶函数。
(4)函数既是奇函数也是偶函数,因为其定义域关于原点对称且既满足也满足。
(5)一般的,奇函数的图象关于原点对称,反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于轴对称,反过来,如果一个函数的图形关于轴对称,那么这个函数是偶函数。
(6)奇函数若在时有定义,则.
2、函数的奇偶性判定方法
(1)定义法
(2)图像法
(3)性质罚
3.例题分析:
判断下列函数的奇偶性:
(1)( ) (2)( )
说明:在判断与的关系时,可以从开始化简;也可以去考虑或;当不等于0时也可以考虑与1或的关系。
五.小结:1.函数奇偶性的定义;
2.判断函数奇偶性的方法;
3.特别要注意判断函数奇偶性时,一定要首先看其定义域是否关于原点对称,否则将会导致结论错误或做无用功。
二、函数的最大值或最小值
学习评价
※ 自我评价 你完成本节学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
经典例题
1.下面说法正确的选项 ( )
A.函数的单调区间可以是函数的定义域
B.函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间
C.具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称
D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象
2.在区间上为增函数的是 ( )
A. B.
C. D.
3.函数是单调函数时,的取值范围 ( )
A. B. C . D.
4.如果偶函数在具有最大值,那么该函数在有 ( )
A.最大值 B.最小值 C .没有最大值 D. 没有最小值
课后作业
1.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是 ( )
A.y=2x+1 B.y=3x2+1
C.y= D.y=2x2+x+1
2.函数y=(x-1)-2的减区间是___ _.
3.偶函数在上单调递增,则从小到大排列的顺
序是 ;
4.已知是R上的偶函数,当时,,求的解析式。
5.(12分)判断下列函数的奇偶性
①; ②;