2019年广州市初中毕业生学业考试

数 学

（满分150分，考试时间120分钟）

第一部分 选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．|﹣6|＝（　　）

A．﹣6 B．6 C．﹣ D．

2．广州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生态廊道，使之成为老百姓美好生活的好去处．到今年底各区完成碧道试点建设的长度分别为（单位：千米）：5，5.2，5，5，5，6.4，6，5，6.68，48.4，6.3，这组数据的众数是（　　）

A．5 B．5.2 C．6 D．6.4

3．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（　　）

A．75m B．50m C．30m D．12m

4．下列运算正确的是（　　）

A．﹣3﹣2＝﹣1 B．3×（﹣）2＝﹣ C．x3•x5＝x15 D．•＝a

5．平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（　　）

A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条

6．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝

7．如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（　　）

A．EH＝HG B．四边形EFGH是平行四边形

C．AC⊥BD D．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍

8．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3

9．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为（　　）

A．4 B．4 C．10 D．8

10．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（　　）

A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2

第二部分 非选择题（共120分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11．如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝6cm，PB＝5cm，PC＝7cm，则点P到直线l的距离是　 　cm．

12．代数式有意义时，x应满足的条件是　 　．

13．分解因式：x2y+2xy+y＝　 　．

14．一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为　 　．

15．如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为　 　．（结果保留π）

16．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：

①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值a2．

其中正确的结论是　 　．（填写所有正确结论的序号）

三、解答题（本大题共9小题，满分102分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。）

17．（9分）解方程组：．

18．（9分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌CFE．

19．（10分）已知P＝﹣（a≠±b）

（1）化简P；

（2）若点（a，b）在一次函数y＝x﹣的图象上，求P的值．

20．（10分）某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．

频数分布表

请根据图表中的信息解答下列问题：

（1）求频数分布表中m的值；

（2）求B组，C组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图；

（3）已知F组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从F组中随机选取2名学生，恰好都是女生．

21．（12分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．

（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？

（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．

22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，P两点．

（1）求m，n的值与点A的坐标；

（2）求证：△CPD∽△AEO；

（3）求sin∠CDB的值．

23．（12分）如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．

（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．

24．（14分）如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．

（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；

（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．

25．（14分）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．

（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；

（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．

参考答案与解析

第一部分 选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．|﹣6|＝（　　）

A．﹣6 B．6 C．﹣ D．

【知识考点】绝对值．

【思路分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．

【解题过程】解：﹣6的绝对值是|﹣6|＝6．

故选：B．

【总结归纳】本题考查了绝对值的性质，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

2．广州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生态廊道，使之成为老百姓美好生活的好去处．到今年底各区完成碧道试点建设的长度分别为（单位：千米）：5，5.2，5，5，5，6.4，6，5，6.68，48.4，6.3，这组数据的众数是（　　）

A．5 B．5.2 C．6 D．6.4

【知识考点】众数．

【思路分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．

【解题过程】解：5出现的次数最多，是5次，所以这组数据的众数为5

故选：A．

【总结归纳】本题主要考查众数的定义，是需要熟练掌握的概念．

3．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（　　）

A．75m B．50m C．30m D．12m

【知识考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．

【思路分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决．

【解题过程】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，

∴tan∠BAC＝，

解得，AC＝75，

故选：A．

【总结归纳】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

4．下列运算正确的是（　　）

A．﹣3﹣2＝﹣1 B．3×（﹣）2＝﹣ C．x3•x5＝x15 D．•＝a

【知识考点】实数的运算；同底数幂的乘法．

【思路分析】直接利用有理数混合运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．

【解题过程】解：A、﹣3﹣2＝﹣5，故此选项错误；

B、3×（﹣）2＝，故此选项错误；

C、x3•x5＝x8，故此选项错误；

D、•＝a，正确．

故选：D．

【总结归纳】此题主要考查了有理数混合运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

5．平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（　　）

A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条

【知识考点】切线的性质．

【思路分析】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案．

【解题过程】解：∵⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，

∴d＞r，

∴点P与⊙O的位置关系是：P在⊙O外，

∵过圆外一点可以作圆的2条切线，

故选：C．

【总结归纳】此题主要考查了对点与圆的位置关系，切线的定义，切线就是与圆有且只有1个公共点的直线，理解定义是关键．

6．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝

【知识考点】由实际问题抽象出分式方程．

【思路分析】设甲每小时做x个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得出方程解答即可．

【解题过程】解：设甲每小时做x个零件，可得：，

故选：D．

【总结归纳】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

7．如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（　　）

A．EH＝HG B．四边形EFGH是平行四边形

C．AC⊥BD D．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍

【知识考点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质．

【思路分析】根据题意和图形，可以判断各个选项中的结论是否成立，本题得以解决．

【解题过程】解：∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，

∴EH＝AD＝2，HG＝AB＝1，

∴EH≠HG，故选项A错误；

∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，

∴EH＝，

∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；

由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；

∵点E、F分别为OA和OB的中点，

∴EF＝，EF∥AB，

∴△OEF∽△OAB，

∴，

即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，

故选：B．

【总结归纳】本题考查平行四边形的面积、三角形的相似、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

8．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3

【知识考点】反比例函数图象上点的坐标特征．

【思路分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．

【解题过程】解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，

∴y1＝＝﹣6，y2＝＝3，y3＝＝2，

又∵﹣6＜2＜3，

∴y1＜y3＜y2．

故选：C．

【总结归纳】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．

9．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为（　　）

A．4 B．4 C．10 D．8

【知识考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．

【思路分析】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA＝OC，AE＝CE，证明△AOF≌△COE得出AF＝CE＝5，得出AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝8，由勾股定理求出AB＝＝4，再由勾股定理求出AC即可．

【解题过程】解：连接AE，如图：

∵EF是AC的垂直平分线，

∴OA＝OC，AE＝CE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，AD∥BC，

∴∠OAF＝∠OCE，

在△AOF和△COE中，，

∴△AOF≌△COE（ASA），

∴AF＝CE＝5，

∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝3+5＝8，

∴AB＝＝＝4，

∴AC＝＝＝4；

故选：A．

【总结归纳】本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．

10．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（　　）

A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2

【知识考点】根的判别式；根与系数的关系．

【思路分析】由根与系数的关系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2，结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3可求出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△≥0可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而可确定k的值，此题得解．

【解题过程】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的两个实数根为x1，x2，

∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．

∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3，

∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3，

解得：k＝±2．

∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有实数根，

∴△＝[﹣（k﹣1）]2﹣4×1×（﹣k+2）≥0，

解得：k≥2﹣1或k≤﹣2﹣1，

∴k＝2．

故选：D．

【总结归纳】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，求出k的值是解题的关键．

第二部分 非选择题（共120分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11．如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝6cm，PB＝5cm，PC＝7cm，则点P到直线l的距离是　 　cm．

【知识考点】点到直线的距离．

【思路分析】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案．

【解题过程】解：∵PB⊥l，PB＝5cm，

∴P到l的距离是垂线段PB的长度5cm，

故答案为：5．

【总结归纳】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度．

12．代数式有意义时，x应满足的条件是　 　．

【知识考点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．

【思路分析】直接利用分式、二次根式的定义求出x的取值范围．

【解题过程】解：代数式有意义时，

x﹣8＞0，

解得：x＞8．

故答案为：x＞8．

【总结归纳】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．

13．分解因式：x2y+2xy+y＝　 　．

【知识考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【思路分析】首先提取公因式y，再利用完全平方进行二次分解即可．

【解题过程】解：原式＝y（x2+2x+1）＝y（x+1）2，

故答案为：y（x+1）2．

【总结归纳】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

14．一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为　 　．

【知识考点】角的计算．

【思路分析】分情况讨论：①DE⊥BC；②AD⊥BC．

【解题过程】解：分情况讨论：

①当DE⊥BC时，∠BAD＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴α＝90°﹣∠BAD＝15°；

②当AD⊥BC时，α＝90°﹣∠C＝90°﹣30°＝60°．

故答案为：15°或60°

【总结归纳】本题主要考查了垂直的定义，旋转的定义以及一副三角板的各个角的度数，理清定义是解答本题的关键．

15．如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为　 　．（结果保留π）

【知识考点】等腰直角三角形；弧长的计算；圆锥的计算；简单几何体的三视图；由三视图判断几何体．

【思路分析】根据圆锥侧面展开扇形的弧长＝底面圆的周长即可解决问题．

【解题过程】解：∵某圆锥的主视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，

∴斜边长为2，

则底面圆的周长为2π，

∴该圆锥侧面展开扇形的弧长为2π，

故答案为2π．

【总结归纳】本题考查三视图，圆锥等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

16．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：

①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值a2．

其中正确的结论是　 　．（填写所有正确结论的序号）

【知识考点】二次根式的应用；勾股定理；相似三角形的判定与性质．

【思路分析】①正确．如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS），即可解决问题．

②③错误．如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS），即可解决问题．

④正确．设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．

【解题过程】解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．

∵BE＝BH，∠EBH＝90°，

∴EH＝BE，∵AF＝BE，

∴AF＝EH，

∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，

∴∠FAE＝∠EHC＝135°，

∵BA＝BC，BE＝BH，

∴AE＝HC，

∴△FAE≌△EHC（SAS），

∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH，

∵∠ECH+∠CEB＝90°，

∴∠AEF+∠CEB＝90°，

∴∠FEC＝90°，

∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，

如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），

∴∠ECB＝∠DCH，

∴∠ECH＝∠BCD＝90°，

∴∠ECG＝∠GCH＝45°，

∵CG＝CG，CE＝CH，

∴△GCE≌△GCH（SAS），

∴EG＝GH，

∵GH＝DG+DH，DH＝BE，

∴EG＝BE+DG，故③错误，

∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AG+GH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，

设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，

∴S△AEF＝•（a﹣x）×x＝﹣x2+ax＝﹣（x2﹣ax+a2﹣a2）＝﹣（x﹣a）2+a2，

∵﹣＜0，

∴x＝a时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，

故答案为①④．

【总结归纳】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

三、解答题（本大题共9小题，满分102分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。）

17．（9分）解方程组：．

【知识考点】解二元一次方程组．

【思路分析】运用加减消元解答即可．

【解题过程】解：，

②﹣①得，4y＝2，解得y＝2，

把y＝2代入①得，x﹣2＝1，解得x＝3，

故原方程组的解为．

【总结归纳】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

18．（9分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌CFE．

【知识考点】全等三角形的判定．

【思路分析】利用AAS证明：△ADE≌CFE．

【解题过程】证明：∵FC∥AB，

∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，

在△ADE与△CFE中：

∵，

∴△ADE≌△CFE（AAS）．

【总结归纳】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是关键，三角形全等的判定方法有：AAS，SSS，SAS．

19．（10分）已知P＝﹣（a≠±b）

（1）化简P；

（2）若点（a，b）在一次函数y＝x﹣的图象上，求P的值．

【知识考点】一次函数图象上点的坐标特征．

【思路分析】（1）P＝﹣＝＝＝；

（2）将点（a，b）代入y＝x﹣得到a﹣b＝，再将a﹣b＝代入化简后的P，即可求解；

【解题过程】解：（1）P＝﹣＝＝＝；

（2）∵点（a，b）在一次函数y＝x﹣的图象上，

∴b＝a﹣，

∴a﹣b＝，

∴P＝；

【总结归纳】本题考查分式的化简，一次函数图象上点的特征；熟练掌握分式的化简，理解点与函数解析式的关系是解题的关键．

20．（10分）某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．

频数分布表

请根据图表中的信息解答下列问题：

（1）求频数分布表中m的值；

（2）求B组，C组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图；

（3）已知F组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从F组中随机选取2名学生，恰好都是女生．

【知识考点】频数（率）分布表；扇形统计图；列表法与树状图法．

【思路分析】（1）用抽取的40人减去其他5个组的人数即可得出m的值；

（2）分别用360°乘以B组，C组的人数所占的比例即可；补全扇形统计图；

（3）画出树状图，即可得出结果．

【解题过程】解：（1）m＝40﹣2﹣10﹣12﹣7﹣4＝5；

（2）B组的圆心角＝360°×＝45°，

C组的圆心角＝360°或＝90°．

补全扇形统计图如图1所示：

（3）画树状图如图2：

共有12个等可能的结果，

恰好都是女生的结果有6个，

∴恰好都是女生的概率为＝．

【总结归纳】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、频数分布表的应用，要熟练掌握．

21．（12分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．

（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？

（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．

【知识考点】一元二次方程的应用．

【思路分析】（1）2020年全省5G基站的数量＝目前广东5G基站的数量×4，即可求出结论；

（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2020年底及2022年底全省5G基站数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解题过程】解：（1）1.5×4＝6（万座）．

答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．

（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，

依题意，得：6（1+x）2＝17.34，

解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（舍去）．

答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．

【总结归纳】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，P两点．

（1）求m，n的值与点A的坐标；

（2）求证：△CPD∽△AEO；

（3）求sin∠CDB的值．

【知识考点】反比例函数综合题．

【思路分析】（1）根据点P的坐标，利用待定系数法可求出m，n的值，联立正、反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点A的坐标（利用正、反比例函数图象的对称性结合点P的坐标找出点A的坐标亦可）；

（2）由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB∥CD，利用平行线的性质可得出∠DCP＝∠OAE，结合AB⊥x轴可得出∠AEO＝∠CPD＝90°，进而即可证出△CPD∽△AEO；

（3）由点A的坐标可得出AE，OE，AO的长，由相似三角形的性质可得出∠CDP＝∠AOE，再利用正弦的定义即可求出sin∠CDB的值．

【解题过程】（1）解：将点P（﹣1，2）代入y＝mx，得：2＝﹣m，

解得：m＝﹣2，

∴正比例函数解析式为y＝﹣2x；

将点P（﹣1，2）代入y＝，得：2＝﹣（n﹣3），

解得：n＝1，

∴反比例函数解析式为y＝﹣．

联立正、反比例函数解析式成方程组，得：，

解得：，，

∴点A的坐标为（1，﹣2）．

（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AB∥CD，

∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE．

∵AB⊥x轴，

∴∠AEO＝∠CPD＝90°，

∴△CPD∽△AEO．

（3）解：∵点A的坐标为（1，﹣2），

∴AE＝2，OE＝1，AO＝＝．

∵△CPD∽△AEO，

∴∠CDP＝∠AOE，

∴sin∠CDB＝sin∠AOE＝＝＝．

【总结归纳】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法反比例函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出m，n的值；（2）利用菱形的性质，找出∠DCP＝∠OAE，∠AEO＝∠CPD＝90°；（3）利用相似三角形的性质，找出∠CDP＝∠AOE．

23．（12分）如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．

（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．

【知识考点】作图—复杂作图．

【思路分析】（1）以C为圆心，CB为半径画弧，交⊙O于D，线段CD即为所求．

（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x，构建方程求出x即可解决问题．

【解题过程】解：（1）如图，线段CD即为所求．

（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x．

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∴BC＝＝＝6，

∵BC＝CD，

∴＝，

∴OC⊥BD于E．

∴BE＝DE，

∵BE2＝BC2﹣EC2＝OB2﹣OE2，

∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，

解得x＝，

∵BE＝DE，BO＝OA，

∴AD＝2OE＝，

∴四边形ABCD的周长＝6+6+10+＝．

【总结归纳】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．

24．（14分）如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．

（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；

（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．

【知识考点】三角形综合题．

【思路分析】（1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得∠DFC＝∠A，可证DF∥AB；

（2）过点D作DM⊥AB交AB于点M，由题意可得点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，由△ACD的面积为S1的值是定值，则当点F在DM上时，S△ABF最小时，S最大；

（3）过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，由勾股定理可求BG的长，通过证明△BGD∽△BHE，可求EC的长，即可求AE的长．

【解题过程】解：（1）∵△ABC是等边三角形

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°

由折叠可知：DF＝DC，且点F在AC上

∴∠DFC＝∠C＝60°

∴∠DFC＝∠A

∴DF∥AB；

（2）存在，

过点D作DM⊥AB交AB于点M，

∵AB＝BC＝6，BD＝4，

∴CD＝2

∴DF＝2，

∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，

∴当点F在DM上时，S△ABF最小，

∵BD＝4，DM⊥AB，∠ABC＝60°

∴MD＝2

∴S△ABF的最小值＝×6×（2﹣2）＝6﹣6

∴S最大值＝×2×3﹣（6﹣6）＝﹣3+6

（3）如图，过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，

∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE

∴DF＝DC＝2，∠EFD＝∠C＝60°

∵GD⊥EF，∠EFD＝60°

∴FG＝1，DG＝FG＝

∵BD2＝BG2+DG2，

∴16＝3+（BF+1）2，

∴BF＝﹣1

∴BG＝

∵EH⊥BC，∠C＝60°

∴CH＝，EH＝HC＝EC

∵∠GBD＝∠EBH，∠BGD＝∠BHE＝90°

∴△BGD∽△BHE

∴

∴

∴EC＝﹣1

∴AE＝AC﹣EC＝7﹣

【总结归纳】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键．

25．（14分）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．

（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；

（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．

【知识考点】二次函数综合题．

【思路分析】（1）抛物线有最低点即开口向上，m＞0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值．

（2）写出抛物线G的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G1的顶点式，进而得到抛物线G1顶点坐标（m+1，﹣m﹣3），即x＝m+1，y＝﹣m﹣3，x+y＝﹣2即消去m，得到y与x的函数关系式．再由m＞0，即求得x的取值范围．

（3）法一：求出抛物线恒过点B（2，﹣4），函数H图象恒过点A（2，﹣3），由图象可知两图象交点P应在点A、B之间，即点P纵坐标在A、B纵坐标之间．

法二：联立函数H解析式与抛物线解析式组成方程组，整理得到用x表示m的式子．由x与m的范围讨论x的具体范围，即求得函数H对应的交点P纵坐标的范围．

【解题过程】解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点

∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3；

（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3

∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3

∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）

∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3

∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2

即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2

∵m＞0，m＝x﹣1

∴x﹣1＞0

∴x＞1

∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）；

（3）法一：如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线

x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4

∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4）

∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3

x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3

∴抛物线G恒过点A（2，﹣3）

由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB＜yP＜yA

∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜yP＜﹣3

法二：

整理的：m（x2﹣2x）＝1﹣x

∵x＞1，且x＝2时，方程为0＝﹣1不成立

∴x≠2，即x2﹣2x＝x（x﹣2）≠0

∴m＝＞0

∵x＞1

∴1﹣x＜0

∴x（x﹣2）＜0

∴x﹣2＜0

∴x＜2即1＜x＜2

∵yP＝﹣x﹣2

∴﹣4＜yP＜﹣3

【总结归纳】本题考查了求二次函数的最值，二次函数的平移，二次函数与一次函数的关系．解题关键是在无图的情况下运用二次函数性质解题，第（3）题结合图象解题体现数形结合的运用．

2019年广东省广州市中考数学试题及参考答案（word解析版）