重庆市渝中区名校2019-2020学年中考数学模拟教学质量检测试题

一、选择题

1．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（ ）

A．word/media/image2_1.png B．word/media/image3_1.png C．word/media/image4_1.png D．word/media/image5_1.png

2．将一副三角板按照如图所示的位置摆放在同一水平面上，两条斜边互相平行，两个直角顶点重合，则∠1的度数是（　　）

A.30o B.45o C.75o D.105o

3．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）

A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570

C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570

4．如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA

5．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（　　）

A．word/media/image9_1.png B．word/media/image10_1.png C．word/media/image11_1.png D．word/media/image12_1.png

6．下列事件是必然事件的是

A．抛掷一次硬币，正面向上

B．13名同学中，至少有两名同学出生的月份相同

C．射击运动员射击一次，命中9环

D．买一张电影票，座位号是奇数

7．如图，在锐角word/media/image13_1.png中，延长word/media/image14_1.png到点word/media/image15_1.png，点word/media/image16_1.png是word/media/image17_1.png边上的一个动点，过点word/media/image16_1.png作直线word/media/image18_1.png，word/media/image19_1.png分别交word/media/image20_1.png、word/media/image21_1.png的平分线于word/media/image22_1.png，word/media/image23_1.png两点，连接word/media/image24_1.png、word/media/image25_1.png.在下列结论中.①word/media/image26_1.png；②word/media/image27_1.png；③若word/media/image28_1.png，word/media/image29_1.png，则word/media/image30_1.png的长为6；④当word/media/image31_1.png时，四边形word/media/image32_1.png是矩形.其中正确的是( )

A．①④ B．①② C．①②③ D．②③④

8．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心word/media/image16_1.png，则折痕word/media/image34_1.png的长度为（ ）

A．word/media/image36_1.png B．2 C．word/media/image37_1.png D．word/media/image38_1.png

9．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

10．已知x=2﹣，则代数式（7+4）x2+（2+）x+ 的值是（　　）

A.0 B. C.2+ D.2﹣

11．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE．下列结论：

①∠ACD=30°，②S▱ABCD=AC•BC；③OE：AC=word/media/image44_1.png：6；④S△OCF=2S△OEF，⑤△OEF∽△BCF成立的个数有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

12．下列运算正确的是（ )

A．word/media/image46_1.png B．word/media/image47_1.png C．word/media/image48_1.png D．word/media/image49_1.png

二、填空题

13．已知a，b为两个连续的整数，且a＜word/media/image50_1.png＜b，则a+b=______．

14．如图，在反比例函数图象中，△AOB是等边三角形，点A在双曲线的一支上，将△AOB绕点O顺时针旋转α （0°＜α＜360° ），使点A仍在双曲线上，则α＝_____．

15．word/media/image52_1.png________.

16．古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第 个三角形数是55，第n个三角形 数是 ．

17．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AEC＝40°，则∠BDC的度数为_____．

18．关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0的一个根是x＝﹣1，则k的值是_____．

三、解答题

19．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．

（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD＝word/media/image44_1.png，BE＝1．求阴影部分的面积．

20．计算：word/media/image55_1.png

21．定义：经过三角形一边中点，且平分三角形周长的直线叫做这个三角形在该边上的中分线，其中落在三角形内部的部分叫做中分线段．

（1）如图，△ABC中，AC＞AB，DE是△ABC在BC边上的中分线段，F为AC中点，过点B作DE的垂线交AC于点G，垂足为H，设AC＝b，AB＝c．

①求证：DF＝EF；

②若b＝6，c＝4，求CG的长度；

（2）若题（1）中，S△BDH＝S△EGH，求word/media/image56_1.png的值．

22．如图，已知△ABC，且∠ACB＝90°．

（1）请用直尺和圆规按要求作图（保留作图痕迹，不写作法和证明）：

①以点A为圆心，BC边的长为半径作⊙A；

②以点B为顶点，在AB边的下方作∠ABD＝∠BAC．

（2）请判断直线BD与⊙A的位置关系，并说明理由．

23．解方程：word/media/image59_1.png．

24．某校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：

数据收集：从全校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下(单位：min)：

整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：

分析数据：补全下列表格中的统计量：

得出结论：

⑴用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的情况等级为_____；

⑵如果该校现有学生400人，估计等级为“B”的学生有多少人？

⑶假设平均阅读一本课外书的时间为320分钟，请你选择样本中的一种统计量估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读多少本课外书?

25．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，DE⊥BC于E，连接BD，设AD＝m，DC＝n，BE＝p，DE＝q．

（1）若tanC＝2，BE＝3，CE＝2，求点B到CD的距离；

（2）若m＝n， BD＝3word/media/image62_1.png，求四边形ABCD的面积．

【参考答案】***

一、选择题

二、填空题

13．11

14．30°、180°、210°

15．5

16．word/media/image64_1.png .

17．130°

18．1

三、解答题

19．（1）见解析；（2）word/media/image65_1.png

【解析】

【分析】

（1）连接OD，作OF⊥AC于F，如图，利用等腰三角形的性质得AO⊥BC，AO平分∠BAC，再根据切线的性质得OD⊥AB，然后利用角平分线的性质得到OF=OD，从而根据切线的判定定理得到结论；

（2）设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，利用勾股定理得到word/media/image66_1.png，解得r=1，则OD=1，OB=2，利用含30度的直角三角三边的关系得到∠B=30°，∠BOD=60°，则∠AOD=30°，于是可计算出word/media/image67_1.png，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S△AOD-S扇形DOF进行计算．

【详解】

解：（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图，

∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，

∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，

∵AB与⊙O相切于点D，

∴OD⊥AB，

而OF⊥AC，

∴OF＝OD，

∴AC是⊙O的切线；

（2）在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，

∴r2+（word/media/image44_1.png）2＝（r+1）2，解得r＝1，

∴OD＝1，OB＝2，

∴∠B＝30°，∠BOD＝60°，

∴∠AOD＝30°，

在Rt△AOD中，word/media/image69_1.png，

∴阴影部分的面积＝2S△AOD﹣S扇形DOF

word/media/image70_1.png

word/media/image71_1.png

【点睛】

本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了等腰三角形的性质．

20．word/media/image44_1.png-2

【解析】

【分析】

首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．

【详解】

解：word/media/image55_1.png

=2-1+2×word/media/image72_1.png-3

=1+word/media/image44_1.png-3

=word/media/image44_1.png-2

【点睛】

此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

21．（1）①详见解析；②2；（2）word/media/image73_1.png

【解析】

【分析】

（1）①由题意得出DF是△CAB的中位线，得出DF＝word/media/image74_1.pngAB＝word/media/image74_1.pngc，AF＝word/media/image74_1.pngAC＝word/media/image74_1.pngb，CE＝word/media/image74_1.png（b+c），AE＝word/media/image74_1.png（b﹣c），求出EF＝AF﹣AE＝word/media/image74_1.pngc，即可得出结论；

②过点A作AP⊥BG于P，由中位线定理得出DF∥AB，得出∠DFC＝∠BAC，求出∠DEF＝∠EDF，∠BAP+∠PAC＝2∠DEF，由ED⊥BG，AP⊥BG，得出DE∥AP，得出∠PAC＝∠DEF，∠BAP＝∠DEF＝∠PAC，再由AP⊥BG，得出AB＝AG＝4，即可得出结果；

（2）连接BE、DG，由S△BDH＝S△EGH，得出S△BDG＝S△DEG，推出BE∥DG，再由DF∥AB，得出△ABE∽△FDG，得出word/media/image75_1.png，推出FG＝word/media/image76_1.png（b﹣c），CF＝word/media/image74_1.pngb＝FG+CG＝word/media/image76_1.png（b﹣c）+（b﹣c），即可得出结果．

【详解】

（1）①证明：∵F为AC中点，DE是△ABC在BC边上的中分线段，

∴DF是△CAB的中位线，

∴DF＝word/media/image74_1.pngAB＝word/media/image74_1.pngc，AF＝word/media/image74_1.pngAC＝word/media/image74_1.pngb，CE＝word/media/image74_1.png（b+c），

∴AE＝b﹣CE＝b﹣word/media/image74_1.png（b+c）＝word/media/image74_1.png（b﹣c），

∴EF＝AF﹣AE＝word/media/image74_1.pngb﹣word/media/image74_1.png（b﹣c）＝word/media/image74_1.pngc，

∴DF＝EF；

②解：过点A作AP⊥BG于P，如图1所示：

∵DF是△CAB的中位线，

∴DF∥AB，

∴∠DFC＝∠BAC，

∵∠DFC＝∠DEF+∠EDF，EF＝DF，

∴∠DEF＝∠EDF，

∴∠BAP+∠PAC＝2∠DEF，

∵ED⊥BG，AP⊥BG，

∴DE∥AP，

∴∠PAC＝∠DEF，

∴∠BAP＝∠DEF＝∠PAC，

∵AP⊥BG，

∴AB＝AG＝4，

∴CG＝AC﹣AG＝6﹣4＝2；

（2）解：连接BE、DG，如图2所示：

∵S△BDH＝S△EGH，

∴S△BDG＝S△DEG，

∴BE∥DG，

∵DF∥AB，

∴△ABE∽△FDG，

∴word/media/image77_1.png，

∴FG＝word/media/image74_1.pngAE＝word/media/image74_1.png×word/media/image74_1.png（b﹣c）＝word/media/image76_1.png（b﹣c），

∵AB＝AG＝c，

∴CG＝b﹣c，

∴CF＝word/media/image74_1.pngb＝FG+CG＝word/media/image76_1.png（b﹣c）+（b﹣c），

∴3b＝5c，

∴word/media/image78_1.png．

【点睛】

本题是三角形综合题，考查了新定义、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、同底三角形面积相等则高相等等知识；熟练掌握中位线定理与平行线的性质是解题的关键．

22．（1）详见解析；（2）直线BD与⊙A相切，理由详见解析．

【解析】

【分析】

（1）①以点A为圆心，以BC的长度为半径画圆即可；

②以点A为圆心，以任意长为半径画弧，与边AB、AC相交于两点E、F，再以点B为圆心，以同等长度为半径画弧，与AB相交于一点M，再以点M为圆心，以EF长度为半径画弧，与前弧相交于点N，作射线BN即可得到∠ABD；

（2）根据内错角相等，两直线平行可得AC∥BD，再根据平行线间的距离相等可得点A到BD的距离等于BC的长度，然后根据直线与圆的位置关系判断直线BD与⊙A相切．

【详解】

解：（1）如图所示；

（2）直线BD与⊙A相切．

∵∠ABD＝∠BAC，

∴AC∥BD，

∵∠ACB＝90°，⊙A的半径等于BC，

∴点A到直线BD的距离等于BC，

∴直线BD与⊙A相切．

【点睛】

本题考查了复杂作图，主要利用了作一个角等于已知角，直线与圆的位置关系的判断，是基本作图，难度不大．

23．x＝﹣1.

【解析】

【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【详解】

去分母得：3x＝x﹣2，

解得：x＝﹣1，

经检验x＝﹣1是分式方程的解．

【点睛】

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

24．整理数据：5；4；分析数据：81；81；得出结论：(1)B；(2)160人；(3)13本.

【解析】

【分析】

整理数据：从表格中的数据直接找出40≤x<80有5人，120≤x<160有4人；中位数：先把数据从小到大(或从大到小)进行排列，如果数据的个数是奇数，那么最中间的那个数据就是中位数，如果数据的个数是偶数，那么最中间的那两个数据的平均数就是中位数；众数：是一组数据中出现次数最多的数据；据此求出即可.

(1)根据分析数据统计显示，平均数是80 ，中位数与众数都是81，都是B等级，据此可估计该校学生每周用于课外阅读时间的情况等级为B.

(2)直接用400乘以B等级在样本中所占比列即得.

(3)根据题意选择样本平均数来估计.

【详解】

解：整理数据：5；4.

分析数据：81；81.

得出结论：⑴B

⑵等级为“B”的学生有word/media/image82_1.png×400=160(人)

⑶以平均数来估计：word/media/image83_1.png×52=13，

∴假设平均阅读一本课外书的时间为320分钟，以样本的平均数来估计，该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读13本课外书。

【点睛】

此题考查用样本估计总体，中位数，众数，解题关键在于掌握运算法则

25．（1）word/media/image84_1.png;（2）9．

【解析】

【分析】

（1）要求点B到CD的距离，于是作垂线构造直角三角形，又知tanC=2，BE=3，CE=2，可以得到BF=2FC，设未知数根据勾股定理列方程可以求解；

（2）m=n，即AD=DC，通过作垂线，构造全等三角形将问题转化为求正方形BEDG的面积即可．

【详解】

（1）过点B作BF⊥CD，垂足为F，则∠BFC＝90°，

∵DE⊥BC，

∴∠DEC＝∠DEB＝90°，

在Rt△DEC中，∵tanC＝2，EC＝2，

∴DE＝4，

在Rt△BFC中，∵tanC＝2，∴BF＝2FC，

设BF＝x，则FC＝word/media/image74_1.pngx，∵BF2+FC2＝BC2，

∴x2+（word/media/image74_1.pngx）2＝（3+2）2，

解得：x＝word/media/image84_1.png，即：BF＝word/media/image84_1.png，

答：点B到CD的距离是word/media/image84_1.png；

（2）过点D作DG⊥AB，交BA的延长线相交于点G，

∵四边形ABCD的内角和是360°，∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴∠C+∠BAD＝180°，

又∵∠BAD+∠GAD＝180°，

∴∠C＝∠GAD，

∵∠DEC＝∠G＝90°，AD＝CD

∴△DEC≌△DGA，（AAS）

∴DE＝DG，

∴四边形BEDG是正方形，

∴S四边形ABCD＝S正方形BEDG＝word/media/image74_1.pngBD2＝9．

答：四边形ABCD的面积是9．

【点睛】

考查解直角三角形，勾股定理、和全等三角形等知识，作垂线构造直角三角形是常用的辅助线作法，通过作辅助线将问题转化求正方形的面积．

重庆市渝中区名校2019-2020学年中考数学模拟教学质量检测试题